d`où 0

Mathématiques classe de T
Mathématiques classe de TMathématiques classe de T
Mathématiques classe de T
ale
aleale
ale
ES
ESES
ES/L
/L/L
/L –
––
– Devoir
Devoir Devoir
Devoir du
du du
du 28
2828
28 mars
marsmars
mars 2014
20142014
2014 -
--
- Eléments de correction
Eléments de correctionEléments de correction
Eléments de correction
Exercice 1.
Exercice 1.Exercice 1.
Exercice 1.
Dans cet exercice on utilise les deux propriétés : pour tout réel
x
, ln
x
e x
=
et pour tout réel
0
x
>
,
ln x
e x
=
.
2
3
3
2 ln 3 ln
2 ln 3 3ln 2 2
3ln 2
9
8
e
A e e
e
−
= = = =
;
3
3
49
2 ln 7 ln 2 ln 7 2 ln 7 ln 3
B e
e
= − = − + =
;
(
)
1
ln ln ln 1
C e e e
e
= − = × =
;
3
ln
ln 2 ln 3 2
3
2
D e e
− +
= = =
Exercice 2.
Exercice 2.Exercice 2.
Exercice 2.
1.
(
)
f x
existe lorsque .
0 et 1 0
x x
> − >
, d’où
]
[
0;1
f
D=
.
2. Pour tout
]
[
0;1
x∈
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 3
ln ln 1 ln 2 ln 2 1 ln 2 2
f x x x x x x x
= + − + = − = −
Exercice 3.
Exercice 3.Exercice 3.
Exercice 3.
1. Pour tout
X
∈
»
,
(
)
(
)
(
)
2 2
3 5 3 5 15 2 15
X X X X X X X P X
− + = − + − = + − =
, d’où :
X
−∞
−
5
3
+∞
(
)
P X
+
0
−
0
+
2. On en déduit donc :
(
)
(
)
(
)
(
)
ln ln 3 ln 5
A x P x x x
= = − +
;
(
)
(
)
(
)
(
)
3 5
x x x
B x P e e e
= = − +
.
3.
a.
( )
2
ln 2 ln 15 0 5 ln 3
x x x
+ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
d’après le tableau de signes. De plus la fonction exp est strictement
croissante sur
»
donc
5 3
5 ln 3
x e x e
−
− ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
. L’ensemble des solutions de cette inéquation est donc
5 3
;
e e
−
b.
2 2
2 15 2 15 0 5 ou 3
x x x x x x
e e e e e e
+ > ⇔ + − > ⇔ < − >
d’après le tableau de signes. Or pour tout réel
x
,
0
x
e
>
donc
5
x
e
< −
n’a pas de solution, et la fonction ln est strictement croissante sur
*
+
»
donc
3 ln 3
x
e x> ⇔ > . L’ensemble des solutions de cette inéquation est donc
]
[
ln 3;
+ ∞
.
Exercice 4.
Exercice 4.Exercice 4.
Exercice 4. VRAI / FAUX
1. VRAI.
(
)
ln 2 ln 2 ln 0 2 ou 1
x x x x x x x
= ⇔ − = ⇔ = =
2. VRAI.
(
)
(
)
2 3 0 2 ou 3
x x x x
e e e e
+ − = ⇔ = − =
(équation produit nul). Or pour tout réel
x
,
0
x
e
>
donc
2
x
e
= −
n’a pas de solution et
(
)
(
)
2 3 0 ln 3
x x
e e x + − = ⇔ =
.
3. FAUX. Cette inéquation est définie pour
0
x
>
et
5
10 2ln 0 ln 5 0
x x x e
− > ⇔ < ⇔ < <
car la fonction exp est
strictement croissante sur
»
4. FAUX.
(
)
0,3 1 ln 0, 3 0
x
e x
< ≤ ⇔ < ≤
car la fonction ln est strictement croissante sur
]
[
0;
+ ∞
.