Complément sur les fonctions continues
Image continue d’un segment
Complément sur les fonctions continues
Théorème 1
Soient a<bdeux réels et fune fonction continue sur le segment [a, b]. Alors f([a, b]) est un segment, ou encore f
est bornée et atteint ses bornes.
Pour prouver ceci (et toute la suite d’ailleurs) nous aurons besoin du fameux
Théorème 2 (Bolzano-Weierstrass)
De toute suite bornée de nombres réels on peut extraire une suite convergente.
Preuve.
C’est une conséquence directe du Lemme des pics, que nous allons prouver maintenant.
Extraire une suite
Soit (un)∈RN. Une suite extraite de (un)est une suite (vn)n∈Nde la forme ∀n∈Nvn=uϕ(n)où ϕ:N→Nest
strictement croissante.
Ainsi extraire une suite de (un)(construire (vn)) revient à trouver une suite d’indices strictement croissante.
Lemme 1 (Lemme des pics)
Soit (un)∈RN. Alors on peut extraire de (un)nune suite (vn) = (uϕ(n))qui soit monotone.
Preuve.
L’idée graphique est la suivante : on dessine les points de la suites (le graphe de cette fonction) et chaque naturel
nest associé à une “hauteur” un. Si on imagine un soleil levant (depuis l’est, donc vers +∞pour n), alors nos
points peuvent être éclairé ou non suivant qu’il y a des points plus haut “après”.
Posons E={n∈N| ∀p > n xn> xp}et O={n∈N| ∃p > n xn6xp}=N−E(respectivement l’ensemble
des indices des points éclairés et ceux des points dans l’ombre). Deux cas se présentent.
— Si Eest infini, on note ϕ(n)le nième nombre de E(considéré dans l’ordre croissant) et par définition de
Ela suite (uϕ(n))est strictement décroissante.
En effet, pour n∈Non a ϕ(n)∈Eet ϕ(n+ 1) > ϕ(n)donc uϕ(n)> uϕ(n+1).
— Si Eest fini, alors il est majoré par un N∈Net tout n > N est dans O. Notons ϕ(0) = N+ 1 /∈E. Donc
il existe p1> ϕ(0) tel que xp1>xϕ(0) (calculer la négation de N+ 1 ∈E). On pose ϕ(1) = p1. Comme
p1∈O(il est strictement plus grand que N), on peut recommencer et définir p2tel que xp2>xp1et alors
on pose ϕ(2) = p2> ϕ(1) et par récurrence on a trouvé une suite extraite croissante (non strictement
d’ailleurs).
Preuve du théorème 1
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, f([a, b]) est un intervalle I. Notons M= sup(I)∈R. Nous devons
montrer que M∈f([a, b]), c’est à dire trouver c∈[a, b]tel que f(c) = M. Ceci prouvera que Mest fini et donc que
fest majorée et que son image possède un maximum.
Pour cela construisons une première suite (yn).
— Si M= +∞, on prend une suite (yn)à valeurs dans Iqui tend vers +∞.
— Si M∈R, alors pour n∈Non peut trouver yn∈Itel que M−yn<1
n+1 (c’est à dire M−1
n+1 < yn6M)
par caractérisation de la borne supérieure.
Dans tous les cas yn→
+∞Met (yn)est à valeurs dans Ic’est à dire que chaque ynpossède au moins un antécédent par f.
Notons xnun de ces antécédents et nous disposons maintenant d’une suite (xn)dans [a, b]telle que f(xn) = yn→
+∞M
(par encadrement).
Mais (xn)est bornée car ∀n∈Na6xn6bet donc nous pouvons en extraire une suite (xϕ(n))qui converge vers
un réel c. De plus, c∈[a, b]par passage à la limite des inégalités larges.
Comme fest continue en c, f(xϕ(n))→
+∞f(c). Mais nous avons également f(xϕ(n)) = yϕ(n)→
+∞M. Par unicité de
la limite , f(c) = Mqui est bien un maximum.
De plus, −fpossède également un maximum (pour les mêmes raisons) et donc fpossède également un minimum
et le théorème est prouvé.
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