π π - Tauziede

1ère S. 2003/2004.
Chp.6. Angles orientés et repérage polaire. J. TAUZIEDE.
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ANGLES ORIENTES ET REPERAGE POLAIRE.
I- GENERALITES.
1°) Orientation du plan.
Un cercle C de centre O et de rayon r,
*
+
∈IRr
, étant donnés, il existe deux
façons de parcourir ce cercle :
- dans le sens des aiguilles d’une montre, dit sens indirect ou rétrograde
ou négatif,
-
dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, dit sens direct ou
positif ou trigonométrique.
C’est le dernier cas que nous privilégieront en mathématiques.
Définition 1. On appelle cercle trigonométrique, tout cercle de centre O appelée origine, de
rayon
1=r
et muni du sens direct.
Ce sens étant celui de tous les cercles du plan, on dit que le plan est orienté.
2°) Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique.
Théorème. A tout point M du cercle trigonométrique, on
associe une famille de nombres réels, appelées abscisses
curvilignes de M.
i- Si x est l’une d’entre elles, toutes les autres sont de
la forme
π
kx 2+
avec
Zk ∈
.
ii- Il existe une et une seule abscisse curviligne
appartenant à l’intervalle
] ]
π
π ;−
; sa valeur absolue
est égale à la longueur du « petit » arc géométrique
d’extrémités I et M.
Remarques.
i- Soit x un nombre réel; il existe un point M et un seul du cercle trigonométrique
dont x est une abscisse curviligne. On dit alors que M est le point du cercle
trigonométrique associé à x.
ii- Pour exprimer que deux réels x et y diffèrent d’un multiple entier de
π 2
, on note
y
x≡
[ ]
π 2
, que l’on lit : x est congru à y modulo
π
2
, ce que l’on peut encore
écrire
π
kyx
Zk 2: +=∈
∃
. Ainsi les abscisses curvilignes d’un même point du
cercle trigonométriques sont égales à
π 2
prés.
Exemple.
On remarque que (AC) est perpendiculaire à (BD). Soit x
l’abscisse curviligne du point A. Pour repérer le point B,
il suffit d’enrouler d’un quart de tour la droite réelle
dans le sens direct, ainsi l’abscisse curviligne du point B
est
2
π
+x
, celle de C
π +x
et enfin celle de D
2
3
π
+x
.
L’abscisse curviligne de l’arc
BA
est
22
ππ
=
−+ xx
.

- 2 -
Comment déterminer la mesure principale d’un angle ?
Déterminons la mesure principale de
6
23 π
. Soit
] ]
ππα ;−∈
la mesure principale de
6
23
π
.
On cherche un entier relatif k tel que :
π
π
α k2
6
23 +=
.
On a
+=
π
π
α k2
6
23
. Or,
( )
+−≤<−−⇔
≤+
<
−⇔≤<− π
π
ππ
π
ππ
π
ππαπ
6
23
2
6
23
2
6
23 kk
−−≤<−−⇔
−≤<−⇔
−≤<− 12
5
1
12
5
2
12
17
12
29
6
17
2
6
29 kkk
π
π
π
Or, k est un entier relatif, donc
2−=k
.
Il vient alors
()
66
24
6
23
22
6
23
ππ
π
π
π
α −=−=−+=
La mesure principale de
6
23
π
est
6
π
−
.
Attention, surtout ne pas écrire que «
6
23
π
=
6
π
−
» C’EST FAUX !
On écrit :
π
ππ
k2
6
23
6+=
−
avec
Z
k∈
.
Cela signifie que les points
M
d’abscisse curviligne
6
π
−
et M’ d’abscisse curviligne
6
23
π
sont confondus sur le cercle trigonométrique, mais pourtant ces deux points n’ont pas la
même abscisse curviligne.
Comment savoir si deux points M et M’ d’abscisses curvilignes données sont confondus
sur le cercle trigonométrique ?
C’est le ii) de la remarque du 2°). Deux points
()
x
M
et
( ) y
M′
sont confondus sur le cercle
trigonométriques si et seulement si
yx −
est un multiple entier de
π 2
.
Les points
12
37
π
M
et
′
12
π
M
marquent-ils le même point sur le cercle trigonométrique.
On a
π
π
ππ
3
12
36
1212
37 ==−
. Comme
π 3
n’est pas un multiple de
π 2
, les points M et M’ ne
sont pas confondus sur le cercle trigonométrique.
3°) Rotation du plan.
Définition. Soit O un point du plan et α un nombre réel. On appelle rotation de centre O et
d’angle α, notée
( )
α ;OR
, la transformation du plan dans lui-même, qui à tout point M
distinct du point O associe le point
' M
tel que :
( )
=
=
α ' ;OM ' OM
OMOM
.

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Chp.6. Angles orientés et repérage polaire.
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II- ANGLES ORIENTES D’UN COUPLE DE VECTEURS.
1°) Mesures de l’angle orienté d’un couple de vecteurs non nuls.
i- Soit
u
et
v
deux vecteurs non nuls et O un point du
plan. Notons A’ et B’ les points tels que
uOA ='
et
vOB ='
. Les demi-droites
[
)
'OA
et
[
)
'OB
coupent
()
1
;
OC
en A et B.
ii- Les mesures de l’arc orienté
B
A
sont les mesures de
l’angle orienté du couple de vecteurs
( )
vu;
c’est à
dire celles de
( )
OBOA;
.
2°) Propriétés des angles orientés.
a- Angles et colinéarité.
Théorème. Soient
u
et
v
deux vecteurs non nuls.
i- Soit
u
et
v
sont colinéaires de même sens équivaut à
( )
[ ]
π 2 0; =vu
.
ii-
u
et
v
sont colinéaires et de sens contraires équivaut à
( )
[ ]
ππ 2 ; =
vu
.
Démonstration.
Cela résulte de la définition. Puisque Soit
u
et
v
sont colinéaires, il existe un réel k tel que
ukv =
avec
0<k
si
u
et
v
sont de sens contraires et
0>k
s’ils sont de même sens.
On a alors
()( )
[]
π
2
0;
;== u
uv
u
et
() ( )
[ ]
ππ 2 ;; =−= uuvu
.
b- Relation de Chasles.
Théorème 1. Relation de Chasles pour les angles orientés.
Pour tous vecteurs non nuls
wvu , ,
:
( ) ( ) ( )
[ ]
π 2 ;;; wuwvvu =+
.
Démonstration.
Sans restreindre au théorème, on peut supposer les vecteurs
wvu , ,
unitaires. Soit alors, A, B,
et C les points de
( )
1;OC
tels que
uOA =
,
vOB =
et
wOC =
et a, b et c les abscisses
curvilignes des points A, B, et C.
On a alors :
( )
abOBOA −=;
,
( )
bcOCOB −=;
et
( )
acOCOA −=;
. On vérifie que
( ) ( ) ( )
acbcab −=−+−
d’où le théorème.

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Corollaire.
Pour tous vecteurs
u
et
v
non nuls :
i-
( ) ( )
uvvu ;
;−=
[ ]
π
2
,
ii-
( ) ( )
π +
=− v
uvu ;;
[ ]
π 2
,
iii-
()( )
π
+=
−vu
v
u;
;
[ ]
π 2
,
iv-
( ) ( )
v
u
vu ;; =−−
[]
π 2
,
v-
,
*
IR
∈
∀ λ
()( )
vuv
u;; =
λ
λ
[ ]
π 2
.
Démonstration.
i- D’après la relation de Chasles,
()()
uvv
u;; −=
[ ]
π 2
; en prenant
uw =
, on a
( ) ( ) ( )
[ ]
π
2 ;;; uuuvvu =+
c’est à dire
( ) ( )
uvvu ;; −=
[ ]
π 2
.
ii- Toujours d’après la relation de Chasles, en prenant
vw −
=
, on a
() ( )( )
[ ]
π 2 ;;; vuv
vvu −=−+
, mais
()
[ ]
ππ 2
; =−vv
, d’où
( ) ( )
π +=− vuvu ;;
[ ]
π 2
.
iii- Même démonstration qu’en ii)
iv- De même qu’en ii),
( ) ( ) ( )
[ ]
π 2
;;
;vvvu
vu −+−
=−−
. Or d’après iii)
( ) ( )
[ ]
ππ 2 ;; +=− vuvu
et
( )
[ ]
ππ 2 ; =−vv
donc
( ) ( )
[ ]
πππ 2 ;; ++=−− vuvu
c’est à dire
( ) ( )
vuvu ;; =−−
[ ]
π 2
.
v- A voir.

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Chp.6. Angles orientés et repérage polaire.
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III- LIGNES TRIGONOMETRIQUES.
1°) Repère orthonormal direct.
Définition. On dit qu’un repère
( )
jiO ;;
du plan est orthonormal direct (en abrégé noté
ROND) lorsque :
()
[]
=
==
π
π
2
2
;
1
j
i
j
i
. Le couple de vecteurs
( )
ji;
est appelé base orthonormale
directe (et notée BOND).
2°) Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs.
a- Cosinus et sinus d’un réel x.
Définition. Soit
( )
1
;O
C
le cercle trigonométrique et A, B deux points distincts de ce cercle
tels que
()
OBOAO;;
forme un ROND. Soit M un point de C telle que x est une mesure en
radian de l’angle
( )
OMOA;
.
On appelle cosinus du réel x, et on note
xcos
l’abscisse du point M dans le ROND
()
OBOAO;;
.
On appelle sinus du réel x, et on note
xsin
, l’ordonnée du point M dans le ROND
()
OBOAO;;
.
b- Cosinus et sinus d’un angle de vecteurs.
En notant
OAu=
et
OBv=
, on a
()
xvu =;
et toute autre mesure de
( )
vu; est de la forme
π
kx 2+
avec
Zk ∈
. Ainsi,
()
x
kx cos2
cos =+
π
et
()
xk
xsin2sin =
+ π
.
Définition. Le cosinus (resp. le sinus) d’un angle orienté d’un couple de vecteurs
()
vu; est
le cosinus (resp. le sinus) de l’une quelconque de ses mesures exprimée en radians.
c- Lien entre
( )
vu;cos
et
BOA  cos
lorsque
OAu=
et
OBv=
.
Théorème. L’angle orienté du couple de vecteurs
( )
vu;
et l’angle géométrique formé par
ces deux vecteurs on le même cosinus.
Démonstration.