TS DMF8 Pour travailler les fonctions sinus et cosinus

TS DEVOIR MAISON FACULTATIF N°8
A rendre au plus tard le Lundi 6 Mars 2017
Pour réviser la trigonométrie, les fonctions sinus et cosinus.
On décide de mettre en place un système de collecte des eaux de pluies sur la façade d'une maison. Sur cette
façade de forme rectangulaire, deux tuyaux obliques doivent récupérer l'eau de pluie pour la déverser dans
un troisième tuyau vertical aboutissant à un réservoir.
On donne ci-dessous le plan de cette façade ABCD, les dimensions étant exprimées en mètres.
Les deux premiers tuyaux sont représentés par les segments [AB] et [BM], le troisième tuyau
par le segment [MH]. La droite (MH) est la médiatrice du segment [DC].
On souhaite trouver la position du point M sur la façade permettant d'optimiser la longueur des tuyaux à
acheter donc la dépense à effectuer.
On note K le projeté orthogonal de M sur (BC) et on prend comme variable la mesure en radians  de l'angle
aigu BMK.
Soit f la fonction qui, à chaque valeur de  appartenant à ] 0 ; 
2 [, associe la longueur totale des tuyaux soit
MA + MB + MH.
1) Montrer qu'une expression de f () est f () = 10
cos  + 6 – 5 tan 
2) Calculer la dérivée de f . On rappelle que tan  = sin 
cos  .
3) Déterminer la valeur exacte de  qui minimise la longueur des tuyaux et préciser la position
recherchée du point M.
4) Donner une valeur approchée au centimètre près de la longueur minimale des tuyaux.

CORRECTION
1) Montrer qu'une expression de f () est f () = 10
cos  + 6 – 5 tan 
M étant sur la médiatrice de [CD] donc de [AB], il est donc à égale distance de A et B
donc MA = MB.
Dans le triangle MKB rectangle en K, on applique la trigonométrie :
cos  = MK
MB = 5 MB
MB = 5
cos  = MA
tan  = BK
MK = 6 – MH 5
6 – MH = 5 tan  MH = 6 – 5 tan 
Donc f () = MA + MB + MH = 2 5
cos  + 6 – 5 tan  = 10
cos  + 6 – 5 tan 
2) Calculer la dérivée de f . On rappelle que tan  = sin 
cos  .
f '() = 10 – ( – sin  )
cos²() – 5
cos²() + sin²()
cos²() = 10 sin() – 5 cos²() = 5 ( 2 sin() – 1 )
cos²()
3) Déterminer la valeur exacte de  qui minimise la longueur des tuyaux et préciser la position
recherchée du point M.
Signe de f '() : cos²() > 0 sur ] 0 ; 
2 [ donc f '() est du signe de 2 sin() – 1.
2 sin() – 1 = 0 sin() = 1
2
sin() = sin( 
6 )
 = 
6 + 2k ou  =  –  6 + 2k k
ZZ
 = 
6 + 2k ou  = 5 6 + 2k k
ZZ
Seule la valeur 
6 convient car 
] 0 ; 
2 [
Sur ] 0 ; 
2 [ , 2 sin() – 1
0 sin() 1
2
[ 
6 ;  2 [.
0
6
2
signes de
f '()
–
+
variations de
f
5 3 + 6
f ( 
6 ) = 10
cos 
6
+ 6 – 5 sin 
6
cos 
6 = 10
23 + 6 – 5 1
2
23 = 20 3
3 + 6 – 5 3 3 = 5 3 + 6
La valeur exacte qui minimise la longueur des tuyaux est  = 
6 .
MH = 6 – 5 sin 
6
cos 
6 = 6 – 5 3
3
3,11.
Le point M est donc situé sur la médiatrice de [CD], à 3,11m environ de H.
4) Donner une valeur approchée au centimètre près de la longueur minimale des tuyaux.
La longueur minimale des tuyaux est alors de 5 3 + 6 m soit environ 14,66 m.

COMPLEMENT SUR LES EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES
1) cos x = a
Exemple : Résoudre cos x = 1
2 d'abord dans IR puis dans ] –  ;  ]
puis dans [ 0 ; 2  ].
cos x = 1
2
cos x = cos 
3 ou cos x = cos 
– 
3
x = 
3 + 2 k  ou x = –  3 + 2k  k
ZZ
Dans IR , S = { 
3 + 2k  ;  3 + 2k  ; k
ZZ
}
Dans ] –  ;  ] S = { – 
3 ;  3 } Dans [ 0 ; 2  ] S = {  3 ; 5  3 }
Pour que l'équation cos x = a ait des solutions il faut que a [ – 1 ; 1 ]
On pose alors cos b = a.
cos x = cos b x = b + 2k  ou x = – b + 2k  k
ZZ
2) sin x = a
Exemple : Résoudre sin x = 1
2 d'abord dans IR puis dans ] –  ;  ]
puis dans [ 0 ; 2  ].
sin x = 1
2
sin x = sin 
6 ou sin x = sin 
 – 
6
x = 
6 + 2 k  ou x =  –  6 + 2k  = 5  6 + 2 k  k
ZZ
Dans IR , S = { 
6 + 2k  ; 5  6 + 2k  ; k
ZZ
}
Dans ] –  ;  ] S = { 
6 ; 5  6 } Dans [ 0 ; 2  ] S = {  6 ; 5  6 }
Pour que l'équation sin x = a ait des solutions il faut que a [ – 1 ; 1 ].
On pose alors sin b = a.
sin x = sin b x = b + 2k  ou x =  – b + 2k  k
ZZ

3) Equations se ramenant aux cas précédents :
Exemples : Résoudre dans [ 0 ; 2  ] sin 2x = 1
2
On a alors sin 2x = 1
2 = sin  6 donc 2x =  6 + k
2  ou 2x =  – 
6 k
2  = 5 
6 k
2 
donc x = 
12 + k
 ou x = 5 
12 + k
Les différentes valeurs de x sont 
12 ; 5  12 et 13  12 . S = {  12 ; 5  12 ; 13  12 }
Résoudre cos ( x – 
4 ) = 1 2 dans ] –  ;  ]
On a alors cos ( x – 
4 ) = 1 2 = cos  3 donc x –  4 =  3 + k
2  ou x – 
4 = –  3 + k
2 
donc x = 7 
12 + k
2  ou x = – 
12 + k
2 
Les différentes valeurs de x sont – 
12 et 7  12 . S = {–  12 ; 7  12 }
4) Résolutions d'inéquations :
Exemple : sin x 1
2 d'abord dans IR puis dans [ – 3  2 ; 3  2 ]
on résout d'abord sin x = 1
2
Dans [ 0 ; 2  ] S = { 
6 ; 5  6 }
on représente les solutions de l'inéquation sur le cercle trigonométrique.
Dans [ 0 ; 2  ] les solutions sont S = [ 
6 ; 5  6 ]
Dans [ – 3 
2 ; 3  2 ] les solutions sont S = [– 3  2 ; – 7 6 ]
[ 
6 ; 3  2 ]