Algèbre bilinéaire cor

Algèbre bilinéaire
Les espaces vectoriels considérés sont des espaces sur IR
Montrer qu’une application est un produit scalaire
Définition du produit scalaire
Un produit scalaire sur un ℝ-espace vectoriel est une application 
de E X E dans ℝ ( forme ), (u,v)  (u,v)
symétrique : (u,v) = (v,u)
bilinéaire :    ℝ,  u,v,w  E , (u+v,w) =  (u,w) + (v,w)
définie : u,u) = 0  u = OE
positive : (u,u)  0
Théorème utile sur les
intégrales pour montrer que
certaines formes sont définies
si a < b, si f est une fonction positive et CONTINUE sur [ a, b ] et si 
 = 0 alors f = 0
Ce théorème s’applique aussi pour a = - et pour b = +
Produit scalaire canonique sur
IRn
Base orthonormée de IRn
< (x1 , ... , xn) , (y1,...,yn)> = 
 = tX Y avec X = 
 et Y = 
La base canonique de ℝn est une b.o.n. pour le produit scalaire usuel.
Expression du produit scalaire
dans une base orthonormée
Dans une b.o.n de E, si on note U la matrice colonne formée des coordonnées d’un vecteur
u dans la b.o.n, on a : < u , v > = tU V
Reconnaître une norme euclidienne
Définition d’une norme
euclidienne
On appelle norme euclidienne sur un ℝ-ev E toute application N de E dans ℝ+ telle qu’il
existe un produit scalaire < , > sur E vérifiant :
 u  E, N(u) = 
Passage de la norme
euclidienne au produit
scalaire associé
u,v  E, <u,v> = 
 (  )
= 
 (  )
Expression matricielle de la
norme dans une base
orthonormée
Dans une b.o.n. :  = tU . U
où U est la matrice colonne formée des coordonnées de u  E dans la b.o.n.
Cauchy-Schwarz
Inégalité
 u,v  E , | < u , v > | ≤ 
Cas d’égalité
| < u , v > | =   u et v colinéaires

Orthogonalité
Vecteurs orthogonaux
u  v  < u ,v > = 0
Famille de vecteurs
orthogonaux et familles libres
Toutes familles formées de vecteurs non nuls et deux à deux orthogonaux est libre
Espaces vectoriels
orthogonaux
Deux sev F et G de E sont orthogonaux ssi :  u  F,  v  G , <u,v>=0
Caractérisation des sev
orthogonaux à partir de leurs
bases
Soient deux sev F et G de E munis de bases respectives BF et BG.
F et G sont orthogonaux ssi tout vecteur de BF est orthogonal à tout vecteur de BG
Orthogonal d’un sev
Orthogonal de E
Orthogonal de { OE }
supplémentarité
Soit F un sev de E
On appelle orthogonal de F le sev de E noté F égal aux vecteurs orthogonaux à touts les
vecteurs de F.
E = { OE} , { OE]} = E
F  F = E . En dimension finie, dim F  = dim E – dim F
Cas des sev propres d’un
endomorphisme symétrique
Des sev propres d’un endomorphisme symétrique, associés à des valeurs propres distinctes
sont deux à deux orthogonaux
Cas des projections
orthogonales
Une projection orthogonale sur un sev F de E est une projection sur F parallèlement à F
Théorème de Pythagore
Généralisation
u  v  
Si u1,...,un sont deux à deux orthogonaux alors  
Projections orthogonales
Définition
p est une projection orthogonale ssi p est la projection sur un sev F parallèlement à F
Caractérisation à partir de
l’image et du noyau
Une projection p est une projection orthogonale ssi Ker p = Im p
Caractérisation par orthogonalité
de vecteurs
Une projection p est une projection orthogonale sur F ssi
 u  E, p(u)  F et u-p(u)  F
Expression du projeté orthogonal
d’un vecteur u sur un ev F muni
d’une base orthonormée
Si F est muni d’une b.o.n. ( e1,...,en) et si p est la projection orthogonale sur F alors
 u  E , p(u) = 
Lien entre la projection
orthogonale p sur F et la
projection orthogonale q sur F
Si p est la projection orthogonale sur F et q la projection orthogonale sur F alors
p = q = idE
Caractérisation par minimisation
de la norme
Soit u  E , F un sev de E. min {   F } =  où p est la projection
orthogonale sur F.
Lorsque x parcourt F, les normes , atteignent leur minimum pour x = p(u)
Distance d’un vecteur u à un
sev F
la distance et u à F est la norme  où p est la projection orthogonale sur F.

Bases orthonormées dans un espace euclidien
Définition d’un espace
euclidien
Un espace euclidien est un ℝ-ev de dimension finie et muni d’un produit scalaire.
Définition d’une base
orthonormée
Une base orthonormée d’un espace euclidien de dimension n est une famille de n vecteurs
unitaires de E et deux à deux orthogonaux.
Existence de bases
orthonormées
Tout espace euclidien admet une base orthonormée.
Construction de bases
orthonormées
Le procédé de Schmidt permet de construire une b.o.n. (u1,...,un) à partir d’une base
(e1,...,en) de E en respectant pour tout k  1, n  :
Vect[ e1,...,ek] = Vect[ u1,...,uk ]
Coordonnées d’un vecteur
dans une base orthonormée
Les coordonnées d’un vecteur u dans une b.o.n. (e1,...,en) sont xi = < u , ei >
Ainsi u =  
Théorème de la base
orthonormée incomplète
Toute famille de vecteurs unitaires deux à deux orthogonaux peut être complétée en une
base orthonormée de E.
Construction d’un vecteur
unitaire à partir d’un vecteur
u non nul
Si u  OE alors 
 u est unitaire
Matrice de passage d’une base
orthonormée à une autre
La matrice de passage P d’une b.o.n. à une b.o.n. vérifie P-1 = t P
Problèmes de minimisation
A partir d’une projection
orthogonale
Soit u  E , F un sev de E. min {   F } =  où p est la projection
orthogonale sur F.
Lorsque x parcourt F, les normes , atteignent leur minimum pour x = p(u)
Problème des moindres carrés
Il est lié à la norme de matrices et donne la meilleure solution approchée de AX=B.
Soit A  Mn,p (ℝ) telle que rg A = p ( = nombre des colonnes de A ), soit une matrice
colonne B  Mn,1(ℝ).
Il existe une unique matrice colonne X  Mp,1(ℝ) telle que  soit minimale. Cette
matrice est solution de tA A X = tA B.
Ajustement affine d’une série
statistique double, droite de
régression linéaire de y en x
Etant donnée une série statistique double : ( x1 , y1) , ... , (xn, yn).
Il existe une droite y = (x)= ax+b qui minimise la somme 
C’est la droite de régression linéaire de y
en x par la méthode des moindres carrés.
Son équation est : y = (x) = 
Droite de régression linéaire
de x en y par la méthode des
moindres carrés.
C’est la droite x = (y)= ay+b qui minimise la somme
 . Son équation est : x = 

Endomorphismes symétriques
Définition
Un endomorphisme  d’un espace euclidien E est symétrique ssi
 u,v  E , < (u) , v > = < u , (v) >
Caractérisation par sa matrice
dans une base orthonormée
Un endomorphisme  d’un espace euclidien E est symétrique si et seulement si sa matrice
dans une base ORTHORMÉE est symétrique .
Attention, il faut que la base soit une b.o.n.
Valeurs propres
Un endomorphisme symétrique a toutes ses valeurs propres réelles
Sev propres
Les sev propres d’un endomorphisme symétrique de E sont deux à deux orthogonaux et
leur somme est directe, égale à E.
Réduction et base de vecteurs
propres
Tout endomorphisme  symétrique de E est diagonalisable et il existe une b.o.n. de E
formée de vecteurs propres de .
Lien avec les formes
quadratiques
Si  est un endomorphisme symétrique de ℝn alors l’application ℝn  ℝ , u  < (u) , u >
est une forme quadratique sur E
Matrices réelles symétriques
Définition
Une matrice carrée M est symétrique ssi tM = M
Valeurs propres
Les valeurs propres d’une matrice symétrique à coefficients réels sont toutes réelles
Réduction
Toute matrice symétrique à coefficients réels est ℝ-diagonalisable.
Toute matrice A réelle symétrique s’écrit A = P D tP où D est une matrice diagonale
formée des valeurs propres de A, P est une matrice orthogonale, matrice de passage de la
base canonique ( b.o.n.) à une b.o.n. de vecteurs propres de A.
Décomposition à l’aide d’une
base orthonormée de
vecteurs propres
Si ( Xi)1 ≤ i ≤ n est une b.o.n. de vecteurs colonnes propres d’une matrice réelle symétrique A
telle que 1 soit la valeur propre associée à Xi alors :
A = 
Formes quadratiques
Définition
Une forme quadratique sur ℝn est un polynôme de ℝn dans ℝ homogène de degré 2.
q(x1,...,xn) = 
 où ai j  ℝ.
Matrice symétrique associée à
une forme quadratique
Soit q une forme quadratique sur ℝn. La matrice de q est la matrice M symétrique de Mn(ℝ) telle
que : q(X) = tX M X.
Ses termes diagonaux sont les coefficients ai i de xi².
Ses autres termes de ligne i et de colonne j sont 
 ai j où ai j est le coefficient de xi xj dans q(x)
Endomorphisme symétrique
associé à une forme
quadratique
Si q est une forme quadratique, on appelle endomorphisme symétrique associé à q
l’endomorphisme  de ℝn tel que q(x) = < (x) , x >.
 est l’endomorphisme de ℝn canoniquement associé à la matrice M (symétrique ) de q.
Forme bilinéaire symétrique
associée à une forme
quadratique
La forme bilinéaire symétrique associée à une forme quadratique q de ℝn est :
ℝn X ℝn  ℝ , ( X , Y )  f(X,Y) = tX M Y où M est la matrice de q et X,Y les matrices colonnes
canoniquement associées aux vecteurs de ℝn.
Si q(x) = 
 alors f(x,y) =   
 où bi i = ai i et bi j = 
 si i  j
Par conséquent : q(x) = f(x,x)
Signe d’une forme
quadratique à partir de
valeurs propres
Soit q une forme quadratique de matrice M.
q est positive (  x  ℝn, q(x)  0 ) ssi toutes les valeurs propres de M sont positives.
q est strictement positive (  x  OIRn , q(x) > 0) ssi toutes les valeurs propres de M sont dans ℝ+*
q est négative (  x  ℝn, q(x) ≤ 0 ) ssi toutes les valeurs propres de M sont négatives.
q est strictement négative (  x  OIRn , q(x) < 0) ssi toutes les valeurs propres de M sont dans ℝ-*
Décomposition en
combinaison linéaire de
carrés (2 méthodes)
q(x) se décompose en combinaison linéaire de termes du type (ai xi + ... + akxk)²
- 1ère méthode : on regroupe les termes comprenant une même variable xk et s’il y a xk² on
reconnaît le début d’un carré. S’il n’y a pas de carré , on regroupe les termes comprenant deux
même variable et utilise (a-b)(a+b)
- 2ème méthode : Si ( e1 , ... , en) est une b.o.n. de vecteurs propres de la matrice symétrique de q
associés respectivement aux valeurs propres 1 , ... , n, alors q(x) = 
où x = 
 .
Exemple
q(x,y,z,t) = 2xy – yz + xz + xt + 2yt - zt
on prend le terme en xy et on regroupe tous les termes contenant x et tous ceux contenant y :
q(x,y,z,t) = 2xy + x ( z+t) + y (-z+2t) - zt
On reconnaît dans l’encadré le début de (a+b) (a-b) :
2 (x + 
 ) ( y +   ) –   = 2 ( a+b) (a-b) - – 
avec a = 
 (x +   ) + ( y +   et b =   (x +   ) - ( y +   )....