Algèbre bilinéaire cor

Algèbre bilinéaire
Les espaces vectoriels considérés sont des espaces sur IR
Montrer qu’une application est un produit scalaire
Définition du produit scalaire
Théorème utile sur les
intégrales pour montrer que
certaines formes sont définies
Produit scalaire canonique sur
IRn
Base orthonormée de IRn
Expression du produit scalaire
dans une base orthonormée
Un produit scalaire sur un ℝ-espace vectoriel est une application 
de E X E dans ℝ ( forme ), (u,v)  (u,v)
symétrique : (u,v) = (v,u)
bilinéaire :    ℝ,  u,v,w  E , (u+v,w) =  (u,w) + (v,w)
définie : ⟦u,u) = 0  u = OE
positive : (u,u)  0
si a < b, si f est une fonction positive et CONTINUE sur [ a, b ] et si
= 0 alors f = 0
Ce théorème s’applique aussi pour a = - et pour b = +
< (x1 , ... , xn) , (y1,...,yn)> =
= tX Y avec X =
et Y =
La base canonique de ℝn est une b.o.n. pour le produit scalaire usuel.
Dans une b.o.n de E, si on note U la matrice colonne formée des coordonnées d’un vecteur
u dans la b.o.n, on a :
< u , v > = tU V
Reconnaître une norme euclidienne
Définition d’une norme
euclidienne
On appelle norme euclidienne sur un ℝ-ev E toute application N de E dans ℝ+ telle qu’il
existe un produit scalaire < , > sur E vérifiant :
 u  E, N(u) =
Passage de la norme
euclidienne au produit
scalaire associé
u,v  E, <u,v> =
(
=
(
Expression matricielle de la
norme dans une base
orthonormée
)
)
Dans une b.o.n. :
= tU . U
où U est la matrice colonne formée des coordonnées de u  E dans la b.o.n.
Cauchy-Schwarz
Inégalité
Cas d’égalité
 u,v  E , | < u , v > | ≤
|<u,v>| =
 u et v colinéaires
Orthogonalité
Vecteurs orthogonaux
Famille de vecteurs
orthogonaux et familles libres
Espaces vectoriels
orthogonaux
Caractérisation des sev
orthogonaux à partir de leurs
bases
Orthogonal d’un sev
Orthogonal de E
Orthogonal de { OE }
supplémentarité
Cas des sev propres d’un
endomorphisme symétrique
u  v  < u ,v > = 0
Toutes familles formées de vecteurs non nuls et deux à deux orthogonaux est libre
Deux sev F et G de E sont orthogonaux ssi :  u  F,  v  G , <u,v>=0
Soient deux sev F et G de E munis de bases respectives BF et BG.
F et G sont orthogonaux ssi tout vecteur de BF est orthogonal à tout vecteur de BG
Soit F un sev de E
On appelle orthogonal de F le sev de E noté F égal aux vecteurs orthogonaux à touts les
vecteurs de F.
E = { OE} , { OE]} = E
F  F = E . En dimension finie, dim F  = dim E – dim F
Des sev propres d’un endomorphisme symétrique, associés à des valeurs propres distinctes
sont deux à deux orthogonaux
Cas des projections
orthogonales
Une projection orthogonale sur un sev F de E est une projection sur F parallèlement à F
Théorème de Pythagore
u v 
Généralisation
Si u1,...,un sont deux à deux orthogonaux alors


Projections orthogonales
Définition
p est une projection orthogonale ssi p est la projection sur un sev F parallèlement à F
Caractérisation à partir de
l’image et du noyau
Caractérisation par orthogonalité
de vecteurs
Une projection p est une projection orthogonale ssi Ker p = Im p
Une projection p est une projection orthogonale sur F ssi
 u  E, p(u)  F et u-p(u)  F
Expression du projeté orthogonal
d’un vecteur u sur un ev F muni
d’une base orthonormée
Si F est muni d’une b.o.n. ( e1,...,en) et si p est la projection orthogonale sur F alors
 u  E , p(u) =
Lien entre la projection
orthogonale p sur F et la
projection orthogonale q sur F⊥
Si p est la projection orthogonale sur F et q la projection orthogonale sur F alors
p = q = idE
Caractérisation par minimisation
de la norme
Soit u  E , F un sev de E.
orthogonale sur F.
min {
Lorsque x parcourt F, les normes
Distance d’un vecteur u à un
sev F
la distance et u à F est la norme
F} =
où p est la projection
, atteignent leur minimum pour x = p(u)
où p est la projection orthogonale sur F.
Bases orthonormées dans un espace euclidien
Définition d’un espace
euclidien
Définition d’une base
orthonormée
Existence de bases
orthonormées
Construction de bases
orthonormées
Un espace euclidien est un ℝ-ev de dimension finie et muni d’un produit scalaire.
Une base orthonormée d’un espace euclidien de dimension n est une famille de n vecteurs
unitaires de E et deux à deux orthogonaux.
Tout espace euclidien admet une base orthonormée.
Le procédé de Schmidt permet de construire une b.o.n. (u1,...,un) à partir d’une base
(e1,...,en) de E en respectant pour tout k  ⟦1, n ⟧ :
Vect[ e1,...,ek] = Vect[ u1,...,uk ]
Coordonnées d’un vecteur
dans une base orthonormée
Les coordonnées d’un vecteur u dans une b.o.n. (e1,...,en) sont xi = < u , ei >
Ainsi u =
Théorème de la base
orthonormée incomplète
Construction d’un vecteur
unitaire à partir d’un vecteur
u non nul
Toute famille de vecteurs unitaires deux à deux orthogonaux peut être complétée en une
base orthonormée de E.
Matrice de passage d’une base
orthonormée à une autre
Si u  OE alors
u est unitaire
La matrice de passage P d’une b.o.n. à une b.o.n. vérifie P-1 = t P
Problèmes de minimisation
A partir d’une projection
orthogonale
Problème des moindres carrés
Ajustement affine d’une série
statistique double, droite de
régression linéaire de y en x
Soit u  E , F un sev de E. min {
F} =
où p est la projection
orthogonale sur F.
Lorsque x parcourt F, les normes
, atteignent leur minimum pour x = p(u)
Il est lié à la norme de matrices et donne la meilleure solution approchée de AX=B.
Soit A  Mn,p (ℝ) telle que rg A = p ( = nombre des colonnes de A ), soit une matrice
colonne B  Mn,1(ℝ).
Il existe une unique matrice colonne X  Mp,1(ℝ) telle que
soit minimale. Cette
matrice est solution de tA A X = tA B.
Etant donnée une série statistique double : ( x1 , y1) , ... , (xn, yn).
Il existe une droite y = (x)= ax+b qui minimise la somme

C’est la droite de régression linéaire de y
en x par la méthode des moindres carrés.
Son équation est : y = (x) =
Droite de régression linéaire
de x en y par la méthode des
moindres carrés.
C’est la droite x = (y)= ay+b qui minimise la somme

. Son équation est :
x=
Endomorphismes symétriques
Définition
Caractérisation par sa matrice
dans une base orthonormée
Un endomorphisme  d’un espace euclidien E est symétrique ssi
 u,v  E , < (u) , v > = < u , (v) >
Un endomorphisme  d’un espace euclidien E est symétrique si et seulement si sa matrice
dans une base ORTHORMÉE est symétrique .
Attention, il faut que la base soit une b.o.n.
Valeurs propres
Sev propres
Un endomorphisme symétrique a toutes ses valeurs propres réelles
Réduction et base de vecteurs
propres
Lien avec les formes
quadratiques
Tout endomorphisme  symétrique de E est diagonalisable et il existe une b.o.n. de E
formée de vecteurs propres de .
Matrices réelles symétriques
Définition
Valeurs propres
Réduction
Décomposition à l’aide d’une
base orthonormée de
vecteurs propres
Formes quadratiques
Définition
Matrice symétrique associée à
une forme quadratique
Endomorphisme symétrique
associé à une forme
quadratique
Forme bilinéaire symétrique
associée à une forme
quadratique
Signe d’une forme
quadratique à partir de
valeurs propres
Décomposition en
combinaison linéaire de
carrés (2 méthodes)
Exemple
Les sev propres d’un endomorphisme symétrique de E sont deux à deux orthogonaux et
leur somme est directe, égale à E.
Si  est un endomorphisme symétrique de ℝn alors l’application ℝn  ℝ , u  < (u) , u >
est une forme quadratique sur E
Une matrice carrée M est symétrique ssi tM = M
Les valeurs propres d’une matrice symétrique à coefficients réels sont toutes réelles
Toute matrice symétrique à coefficients réels est ℝ-diagonalisable.
Toute matrice A réelle symétrique s’écrit A = P D tP où D est une matrice diagonale
formée des valeurs propres de A, P est une matrice orthogonale, matrice de passage de la
base canonique ( b.o.n.) à une b.o.n. de vecteurs propres de A.
Si ( Xi)1 ≤ i ≤ n est une b.o.n. de vecteurs colonnes propres d’une matrice réelle symétrique A
telle que 1 soit la valeur propre associée à Xi alors :
A=

Une forme quadratique sur ℝn est un polynôme de ℝn dans ℝ homogène de degré 2.
q(x1,...,xn) =
où ai j  ℝ.
Soit q une forme quadratique sur ℝn. La matrice de q est la matrice M symétrique de Mn(ℝ) telle
que : q(X) = tX M X.
Ses termes diagonaux sont les coefficients ai i de xi².
Ses autres termes de ligne i et de colonne j sont ai j où ai j est le coefficient de xi xj dans q(x)
Si q est une forme quadratique, on appelle endomorphisme symétrique associé à q
l’endomorphisme  de ℝn tel que q(x) = < (x) , x >.
 est l’endomorphisme de ℝn canoniquement associé à la matrice M (symétrique ) de q.
La forme bilinéaire symétrique associée à une forme quadratique q de ℝn est :
ℝn X ℝn  ℝ , ( X , Y )  f(X,Y) = tX M Y où M est la matrice de q et X,Y les matrices colonnes
canoniquement associées aux vecteurs de ℝn.
Si q(x) =
alors f(x,y) =
où bi i = ai i et bi j =
si i  j
Par conséquent : q(x) = f(x,x)
Soit q une forme quadratique de matrice M.
q est positive (  x  ℝn, q(x)  0 ) ssi toutes les valeurs propres de M sont positives.
q est strictement positive (  x  OIRn , q(x) > 0) ssi toutes les valeurs propres de M sont dans ℝ+*
q est négative (  x  ℝn, q(x) ≤ 0 ) ssi toutes les valeurs propres de M sont négatives.
q est strictement négative (  x  OIRn , q(x) < 0) ssi toutes les valeurs propres de M sont dans ℝ-*
q(x) se décompose en combinaison linéaire de termes du type (ai xi + ... + akxk)²
- 1ère méthode : on regroupe les termes comprenant une même variable xk et s’il y a xk² on
reconnaît le début d’un carré. S’il n’y a pas de carré , on regroupe les termes comprenant deux
même variable et utilise (a-b)(a+b)
- 2ème méthode : Si ( e1 , ... , en) est une b.o.n. de vecteurs propres de la matrice symétrique de q
associés respectivement aux valeurs propres 1 , ... , n, alors q(x) =

où x =
.
q(x,y,z,t) = 2xy – yz + xz + xt + 2yt - zt
on prend le terme en xy et on regroupe tous les termes contenant x et tous ceux contenant y :
q(x,y,z,t) = 2xy + x ( z+t) + y (-z+2t) - zt
On reconnaît dans l’encadré le début de (a+b) (a-b) :
2 (x +
)(y+
avec a = (x +
)–
)+(y+
= 2 ( a+b) (a-b) - –
et b =
(x +
)-(y+
)....