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Feuille d'exercices 11-1
PSI
Sauf mention contraire, E désigne un espace euclidien orienté de
dimension n ∈ N∗ .
2014 - 2015
1) Montrer que : Ker(u − IdE ) = (Im(u − IdE ))⊥ .
2) On pose pour tout n ∈ N∗ :
n−1
Exercice 1 : Soit u ∈ O(E).
1) Montrer que Sp(u) ⊂ {−1, 1}.
2) En déduire que si u est diagonalisable alors c'est une symétrie.
Exercice 2 : Soit n ∈ N∗ .
1) Montrer que <, >: (A, B) ∈ Mn (R)2 7→ tr(t AB) est un produit
scalaire.
2) Donner une condition nécessaire et susante sur A ∈ Mn (R) pour
que l'application M 7→ AM soit une isométrie vectorielle pour le
produit scalaire précédent.
Exercice 3 : Soit f : E → E telle que :
f (0) = 0 et ∀x, y ∈ E, kf (x) − f (y)k = kx − yk
1)
2)
3)
4)
Montrer que f conserve la norme.
Montrer que : ∀x ∈ E, f (−x) = −f (x).
Montrer que f conserve le produit scalaire.
Soit B = (ei )1≤i≤n une base orthonormée de E . Montrer que :
∀x ∈ E, f (x) =
n
X
< ei , x > f (ei )
i=1
5) En déduire que f est une isométrie vectorielle.
un =
1X k
u
n k=1
. Montrer que pour tout x ∈ E , (un (x)) converge vers le projeté
orthogonal de x sur Ker(u − IdE ).
Exercice 5 : (D'après Mines-Ponts)
Dans un espace euclidien E , soit f ∈ L(E).
Montrer que deux des trois propriétés suivantes entraînent la troisième :
(i) f ∈ O(E) ;
(ii) f 2 = −Id ;
(iii) f (x) est orthogonal à x pour tout x ∈ E .
Exercice 6 : On note SO(E) les éléments de O(E) pour lesquels il existe
une base de E dans laquelle leur matrice est un élement de SOn (R).
Soit u ∈ L(E). Montrer que u ∈ SO(E) si et seulement si u transforme
une base orthonormée directe en une base orthonormée directe.
Exercice 7 : On suppose ici E de dimension 3. Soient (x, y, z, t) ∈ E 4 :
1) a) Montrer que :
x ∧ (y ∧ z) =< x, z > y− < x, y > z (Double produit vectoriel)
b) Montrer que :
(x ∧ y) ∧ z =< x, z > y− < y, z > x.
c) En déduire :
< x, y >2 + kx ∧ yk2 = kxk2 kyk2 (Formule de Lagrange)
Exercice 4 : Soit u ∈ O(E).
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Feuille d'exercices 11-2
PSI
d) On suppose x, y et z non nuls. A quelle condition a-t-on
x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z?
2) a) Montrer que :
Exercice 10 :
Déterminer la nature de l'endomorphisme f de R3 dont la matrice dans
la base canonique est :

< x ∧ y, z ∧ t >=< x, z >< y, t > − < x, t >< y, z >.
b) Retrouver la formule de Lagrange à l'aide du résultat précédent.
Exercice 8 : On suppose que E est de dimension 3 et (a, b) ∈ E 2 avec
a 6= 0. Résoudre l'équation :
a∧x=b
2014 - 2015
√

6
√

3 − 6 
1) A = 41  1

√ √
− 6
6
2
3
1

−8 4 1


2) A = 19  4 7 4 .
1 4 −8

Exercice 11 : On suppose que E est de dimension 3 et est orienté par la
base B = (ei )1 ≤ i ≤ 3. On considère f ∈ L(E) dont la matrice dans la
base B est :
√


1 − 2
1
√ 
1 √
0
− 2 .
A=  2
√
2
1
2
1
0
Exercice 9 : On suppose que E est de dimension 3 et orienté par le choix 1) Déterminer une base orthonormée directe B = (u, v, w) de E telle
que v, w ∈ P : x + z = 0.
d'une base B. Pour tout y ∈ E , on note ϕy l'endomorphisme de E déni
par :
2) Donner la matrice de f dans B0 et reconnaitre f .
∀x ∈ E, ϕy (x) = x ∧ y
1) Déterminer la matrice de ϕy dans la base B.
Exercice 12 : Donner la matrice dans R3 de :
2) Montrer que
= − kyk ϕy .
1) La symétrie orthogonale par rappport au plan d'équation
2x − y + 3z = 0.
3) En déduire une expression simpliée de eϕy (x) pour x, y ∈ E et y 6= 0.
On précise que l'exponentielle de ϕy est l'endomorphisme de E déni 2) La rotation d'axe D : x = y = z et d'angle π .
4
par :
ϕ3y
2
e
ϕy
+∞
X
1 n
=
ϕy
n!
n=0
Exercice 13 : Dans R3 , déterminer une rotation transformant la droite
D : x = y = z en D0 : x = y = −z .
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