4. Soit f un endomorphisme symétrique positif.

(MA210 - ESISAR 2010-2011)
TD : Espaces vectoriels euclidiens (2)
1. Soit f un endomorphisme symétrique et orthogonal. Montrer (en utilisant les adjoints) que
f est une symétrie orthogonale.
2. A est une matrice de Sn (  ). On suppose que A3 = In prouver que A = In.
3. Une matrice M est dite symétrique positive si et seulement si  X n on a tXMX 0.
Montrer que toutes les valeurs propres de M sont positives ou nulles.
4. Soit f un endomorphisme symétrique positif.
Montrer qu’il existe un unique endomorphisme g symétrique positif tel que : g² = f.
5. On note E =
)R],1;0([C
, muni du produit scalaire défini par <f,g>=
1
0
dt)t(g)t(f
Soit u
E
telle que u(0)=u(1)=0. On note T l’application de E dans E définie par
Ef 
, T(f)= u’f ’+u f ’’= (u f’)’
a) Montrer que T est un endomorphisme symétrique de E. (on pourra montrer que
<T(f),g>= -
dt )t('g)t('f)t(u
1
0
)
b) Montrer que si on suppose de plus u(t)
0
, alors T est un endomorphisme symétrique
positif
6. Soit A
)R(Mn
, et S la matrice définie par S =
AA
t
a) Montrer que S est une matrice symétrique positive.
b) Montrer l’équivalence suivante : (S est définie positive A
)R(GLn
)
7. Soit E un espace euclidien de dimension n et u un endomorphisme de E tel que
0xu(x) , Ex 
.
a) Montrer que u est antisymétrique.
b) Montrer que Ker u et Imu sont supplémentaires orthogonaux

8. (13 pts) Soit (E,<.,.>) un espace préhilbertien réel.
a) (5 pts) Soit f : E
E une application. Montrer que les deux propriétés suivantes sont
équivalentes : (i)
 f(y)x,-yf(x), E )y,x( 2
(ii) f est linéaire, et
0xf(x), ,Ex 
Indication : pour le sens direct, on pourra calculer (pour tout z de E, et aR)
<f(ax+y)-af(x)-f(y),z>. Pour l’autre sens, calculer <f(x+y),x+y> de deux façons.
On dit que f est antisymétrique si et seulement si f vérifie (i) ou (ii)
b) (3 pts) Soit f un endomorphisme antisymétrique de E
Montrer que Ker(f) Imf et donc Ker(f) Im(f) = {0}
c) (5 pts) On note s = fof (avec f antisymétrique) Montrer que s est symétrique et à
valeurs propres toutes réelles négatives, Ker(s)=Ker(f) et Im(s) Im(f)