(MA210 - ESISAR 2010-2011) TD : Espaces vectoriels euclidiens (2) 1. Soit f un endomorphisme symétrique et orthogonal. Montrer (en utilisant les adjoints) que f est une symétrie orthogonale. 2. A est une matrice de Sn ( ). On suppose que A3 = In prouver que A = In. 3. Une matrice M est dite symétrique positive si et seulement si X n on a tXMX 0. Montrer que toutes les valeurs propres de M sont positives ou nulles. 4. Soit f un endomorphisme symétrique positif. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme g symétrique positif tel que : g² = f. 1 5. On note E = C ([0;1], R ) , muni du produit scalaire défini par <f,g>= f ( t )g( t )dt 0 Soit u E telle que u(0)=u(1)=0. On note T l’application de E dans E définie par f E , T(f)= u’f ’+u f ’’= (u f’)’ a) Montrer que T est un endomorphisme symétrique de E. (on pourra montrer que 1 <T(f),g>= - u( t )f ' ( t )g' (t ) dt ) 0 b) Montrer que si on suppose de plus u(t) 0 , alors T est un endomorphisme symétrique positif 6. Soit A Mn (R ) , et S la matrice définie par S = t AA a) Montrer que S est une matrice symétrique positive. b) Montrer l’équivalence suivante : (S est définie positive A GL n (R ) ) 7. Soit E un espace euclidien de dimension n et u un endomorphisme de E tel que x E , u(x) x 0 . a) Montrer que u est antisymétrique. b) Montrer que Ker u et Imu sont supplémentaires orthogonaux 8. (13 pts) Soit (E,<.,.>) un espace préhilbertien réel. a) (5 pts) Soit f : E E une application. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : (i) (x, y) E 2 f(x), y - x, f(y) (ii) f est linéaire, et x E, f(x), x 0 Indication : pour le sens direct, on pourra calculer (pour tout z de E, et aR) <f(ax+y)-af(x)-f(y),z>. Pour l’autre sens, calculer <f(x+y),x+y> de deux façons. On dit que f est antisymétrique si et seulement si f vérifie (i) ou (ii) b) (3 pts) Soit f un endomorphisme antisymétrique de E Montrer que Ker(f) Imf et donc Ker(f) Im(f) = {0} c) (5 pts) On note s = fof (avec f antisymétrique) Montrer que s est symétrique et à valeurs propres toutes réelles négatives, Ker(s)=Ker(f) et Im(s) Im(f)