Chapitre 5 – Partie A L`espace euclidien

Mathématiques Chapitre 5 – Partie A
L’espace euclidien 
Produit scalaire et norme
Définition :      et   
Propriétés :
    (forme quadratique)
    (forme « positive)
        (forme « définie positive »)
  (Cauchy Schwarz)
   liée
  (Inégalité triangulaire)
Orthonormalité : Une base  de  est orthonormale si   
Orthogonalité
Définition :       
Propriété (Pythagore):       
Sous espace orthogonal
Définition : Si  est un sous-espace vectoriel de , son orthogonal est le sous-espace vectoriel  tel
que        .
Théorème :  
Matrices orthogonales
Définition : Une matrice  carrée   est orthogonale si et seulement si 
  , c'est-à-dire si les
colonnes de  sont les coordonnées des vecteurs d’une base orthogonale.
Propriété : Si  est orthogonale,  est inversible, et   
.
Théorème : L’application linéaire   est une isométrie vectorielle, c'est-à-dire
  , ce qui est équivalent à dire que  est orthogonale.
Endomorphismes et matrices symétriques
Définition :  matrice carrée  est symétrique si 
 , c'est-à-dire si   .
Si  est un endomorphisme de ,  symétrique   est symétrique.
Propriété :  est symétrique     .
Théorème : Un endomorphisme symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée. Ainsi, toute
matrice symétrique est diagonalisable, et on peut choisir la matrice de changement de base orthogonale.
 symétrique   orthogonale telle que   
 est diagonale