La fonction L p-adique de Kubota

La fonction Lp-adique de Kubota-Leopold
Colas BARDAVID et Pierre FIMA
expos´e propos´e par Ga¨etan CHENEVIER

Nous tenons `a remercier Ga¨etan Chenevier pour son aide, ses explications, ses expos´es et sa
patience.

Contents
1 La fonction ζcomplexe et les nombres de Bernoulli 4
1.1 D´efinitions . ......................................... 4
1.2 Prolongement . . . . . . .................................. 5
1.3 Equation fonctionnelle . .................................. 6
2 Les fonctions de Dirichlet 8
2.1 Les caract`eres de Dirichlet . . . .............................. 8
2.2 Les L-s´eries de Dirichlet .................................. 8
3´ Etude de Qp10
3.1 Construction de Qp..................................... 10
3.2 Lemme de Hensel . . . . .................................. 12
3.3 Repr´esentants de Teichm¨uller . .............................. 13
3.4 Polynˆomes irr´eductibles .................................. 13
3.5 Construction de Cp..................................... 14
3.5.1 Extension de valeur absolue . . .......................... 14
3.5.2 La cloture alg´ebrique de Qp............................ 16
3.5.3 Construction de Cp................................. 17
3.6 Int´egration abstraite dans Qp............................... 18
3.7 Construction de mesures p-adiques . . .......................... 20
3.7.1 Distributions de Bernoulli . . . .......................... 20
3.7.2 Mesures de Bernoulli . . .............................. 21
4 Fonctions puissance et logarithme dans Cp23
4.1 Petit d´etour chez les fonctions puissance . . . . . . ................... 23
4.1.1 La bonne interpolation de la fonction puissance sur 1+pZp......... 23
4.1.2 Les mauvaises interpolations de la fonction puissance sur Z×
p........ 25
4.1.3 Extension de la bonne fonction puissance `a Bp................. 26
4.2 Petit d´etour par la fonction logarithme .......................... 26
4.2.1 Identit´es formelles . . . .............................. 26
4.2.2 La fonction logarithme : d´efinition et propri´et´e fondamentale . . . . .... 28
4.2.3 Quelques propri´et´es de logpsur Zp........................ 30
4.3 Lien entre la fonction puissance et la puissance logarithme . . . ........... 31
5 L’analogue p-adique de la fonction ζet la fonction Lde Kubota-Leopold 31
5.1 L’analogue p-adique de la fonction ζ........................... 31
5.1.1 Un lemme fondamental .............................. 31
5.1.2 Deux th´eor`emes de Kummer . .......................... 32
5.1.3 L’analogue p-adique de la fonction ζ....................... 33
5.2 La fonction Lde Kubota-Leopold . . . .......................... 33
5.2.1 Groupe des caract`eres p-adiques . . . . . . ................... 34
5.2.2 La fonction p-adique Lde Kubota-Leopold pour p>2............ 36
5.2.3 La fonction p-adique Lde Kubota-Leopold pour p=2 ............ 38
3

Introduction
Le but de cet expos´e est d’expliquer la construction de la fonction Lde Kubota-Leopold, g´en´eralisation
p-adique de la fonction ζde Riemann, et d’en exposer quelques propri´et´es. On fera donc en
introduction de l’analyse complexe, afin d’exposer les r´esultats n´ecessaires `al’´etablissement de
l’analogie. On construira ensuite Cpqui est le cadre privil´egi´e de l’analyse p-adique. Avant de
trouver l’analogue de ζ, on cherchera ceux de l’exponentielle et du logarithme r´eel. Munis de ces
outils, on pourra alors construire et ´etudier la fonction Lde Kubota-Leopold.
La partie 4et surtout la partie 5, faute de r´ef´erence, sont originales.
1 La fonction ζcomplexe et les nombres de Bernoulli
1.1 D´efinitions
D´efinition 1 Soit s∈Ctel que e(s)>1. La fonction ζest donn´ee par :
ζ(s):=
∞
n=1
1
ns
Consid´erons la fonction complexe z
ez−1, elle est holomorphe au voisinage de z´ero. On peut
donc la d´evelopper en s´erie enti`ere et on pose :
D´efinition 2 Soit Bnle n-i`eme nombre de Bernoulli d´efini par :
z
ez−1:=
∞
n=0
Bn
zn
n!
Plus g´en´eralement, on peut mˆeme poser :
Proposition-D´efinition 3 On note Bnet on appelle n-i`eme polynˆome de Bernoulli le polynˆome d´efini
par
teXt
et−1=
∞
k=0
Bk(X)tk
k!.(1)
On a l’expression suivante :
Bk(X)=
k
i=0
Ci
kBiXk−i∈Q[X].
D´emonstration. C’est un polynˆome d’apr`es l’´ecriture, qui d´ecoule du produit de Cauchy,
teXt
et−1=∞
k=0
Bk
tk
k!∞
k=0
(Xt)k
k!=
∞
k=0 k
i=0
Bi
i!
Xk−i
(k−i)!tk.
On a donc Bk(X)=k
i=0 Bik!
i!(k−i)! Xk−i, ce qu’on voulait. 
On a B0(X)=1,B1(X)=X−1/2.
Proposition 4 (1) ∀n>1,B
n(X+1)−Bn(X)=nXn−1.
(2) B
n(X)=nBn−1(X).
4

D´emonstration.
(1) ∞
n=0
Bn(X+1)−Bn(X)
n!zn=ze(X+1)z ez−1−zeXz ez−1=zeXz =
∞
n=1
nXn−1zn
n!
D’o`uler´esultat par identification.
(2) ∞
n=0
B
n(X)zn
n!=d dX (zezX ez−1)= z2ezX ez−1=
∞
n=0
nBn−1(X)zn
n!
D’o`uler´esultat par identification.
Remarque:Ond´eduit facilement en ´evaluant (1) en X=0que ∀n=1,B
n(1) = Bn(0) = Bn.
Proposition 5
∀k∈N∗,ζ(2k)=(−1)kπ2k22k−1
(2k−1)! −B2k 2k
D´emonstration. Soit ¯ Bnla fonction 1-p´eriodique qui co¨ incide avec Bnsur ]0,1[ et telle que
¯
Bn(0) = Bn(0)+Bn(1)
2.
Soit n∈N∗, on calcule les coefficients de Fourier Ck(¯
Bn)de ¯ Bn: par la proposition 4 on a
imm´ediatement C0(¯
Bn)=0puis `a l’aide de la remarque pr´ec´edente et d’une int´egration par par-
ties on trouve Ck(¯
B1)= −1
2iπk . On trouve, ´egalement en int´egrant par parties : ∀n>1,C
k(¯
Bn)=
n
2iπk Ck(¯
Bn−1),et en terminant par r´ecurrence on obtient :
Ck(¯
Bn)= −n!
(2iπk)npuis ∀n∈N∗,¯
Bn(x)= 
k∈Z∗
−n!
(2iπk)ne2iπkx
Enfin, en posant n=2lavec l∈N∗et en ´evaluant en x=0obtient le r´esultat souhait´e. 
1.2 Prolongement
Th´eor`eme 6 La fonction ζadmet un prolongement m´eromorphe sur Cavec un unique pˆole en s=1qui
est simple.
D´emonstration. On utilise les fonctions ¯ Bn(x)d´efinies dans la d´emonstration pr´ec´edente.
Lemme 7 On a, pour s=1,ζ(s)= 1
s−1+1 2−s∞
1
¯
B1(u)
us+1 du.
Et l’int´egrale converge pour e(s)>0
D´emonstration. On a ¯ B1(u)=u−[u]−1
2,on´ecrit :
sn
1
u−[u]
us+1 du =−s (s−1)us−1n
1
+
n−1
k=1
k1
usk+1
k
=s
s−1−s (s−1)ns−1+(−1+ 1 2s)+···+(n−1)(−−1 (n−1)s+1 ns)
=s
s−1−1−1 2s−···− 1 ns+1 ns−1−s (s−1)ns−1
=1+ 1
s−1−
n
k=1
1
ks−1 (s−1)ns−1
5