Anneaux Z/nZ - Applications - Epsilon 2000

Anneaux Z/nZ - Applications
Dans tout ce donument, n∈N∗.
1 Relation de congruence et d´efinition de l’ensemble Z/nZ
D´efinition 1.1
Soient a, b ∈Z. On dit que aest congru `a bmodulo nlorsque ndivise a−b. On note alors a≡b(mod n).
Proposition 1.2
La relation de congruence modulo nest une relation d’´equivalence sur Z.
Notation 1.3
On note Z/nZl’ensemble des classes d’´equivalence pour la relation de congruence modulo n.
Proposition 1.4
Pour tout a∈Z, il existe un unique entier b∈J0 ; n−1Ktel que a≡b(mod n).best le reste de la division
euclidienne de apar n.
Corollaire 1.5
Z/nZa exactement n´el´ements : 0,1, . . . , n −1.
2 Structure alg´ebrique de Z/nZ
Proposition 2.1
Soient a, a0, b, b0∈Ztels que a≡a0(mod n)et b≡b0(mod n). Alors a+a0≡b+b0(mod n)et ab ≡a0b0
(mod n).
D´efinition 2.2
Soient α, β ∈Z/nZ,a, b ∈Ztels que α=aet β=b. On d´efinit +et ×par : α+β=a+bet α×β=a×b.
Remarque 2.3
La proposition pr´ec´edente assure que le r´esultat de α+βet α×βest ind´ependant des repr´esentants
respectifs aet bde αet β.
Th´eor`eme 2.4
(Z/nZ,+,×)est un anneau commutatif.

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Proposition 2.5
Soit k∈Z.kest inversible dans Z/nZsi et seulement si k∧n= 1.
Corollaire 2.6
Z/nZest un corps si et seulement si nest premier.
3 Applications
3.1 Crit`eres de divisibilit´e
Th´eor`eme 3.1
Soit a∈N∗.
(i) aest divisible par 2 si et seulement si ase termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
(ii) aest divisible par 5 si et seulement si ase termine par 0 ou 5 ;
(iii) aest divisible par 3 (respectivement par 9) si et seulement si la somme des chiffres qui le composent
est divisible par 3 (respectivement par 9) ;
(iv) aest divisible par 4 si et seulement si le nombres form´e par les deux derniers chiffres est divisible par
4 ;
(v) aest divisible par 10 si et seulement si ase termine par 0.
3.2 Groupes cycliques
Proposition 3.2
Un groupe cyclique `a n´el´ements est isomorphe `a (Z/nZ,+).
3.3 Equation diophantienne
L’´equation x2−y2= 18, d’inconnue (x , y)∈Z2n’a pas de solution dans Z2
3.4 Th´eor`eme chinois
Th´eor`eme 3.3
Soit (a, b)∈(N∗)2. Les anneaux Z/abZet Z/aZ×Z/bZsont isomorphes si et seulement si a∧b= 1.
3.5 Th´eor`eme des restes chinois et syst`emes de congruences
Th´eor`eme 3.4
Soient p∈N∗,n1, . . . , npdes entiers naturels deux `a deux premiers entre eux et (a1, . . . , ap)∈Zp. Alors
le syst`eme de congruences d´efini par : ∀k∈J1, pK, x ≡ak(mod nk)admet une unique solution modulo
N=n1. . . np, donn´ee par x≡
p
P
k=1
ukNkak, o`u pour tout k∈J1, pK,Nk=N
nket uk≡N−1
k(mod nk).
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3.6 Indicatrice d’Euler
D´efinition 3.5
On suppose n>2. On note ϕ(n)le nombre d’entiers compris entre 1 et net premiers avec n.ϕest appel´e
indicatrice d’Euler.
Proposition 3.6
(i) Soient p, q ∈N∗, avec p∧q= 1. Alors ϕ(pq) = ϕ(p)ϕ(q);
(ii) Si
N
Y
k=1
prk
kest une d´ecomposition de nen produit de facteurs premiers, on a :
ϕ(n) =
N
Y
k=1
(pri
i−pri−1 i) = n
N
Y
k=1 1−1
pi
3.7 Le petit th´eor`eme de Fermat
Th´eor`eme 3.7
Soit pun nombre premier. Alors pour tout n∈N,np≡n(mod p).
3.8 Cryptage RSA
Proposition 3.8
Soient pet qdeux nombres premiers distincts. On pose n=pq. Soient cet ddeux entiers naturels tels
que cd ≡1 (mod ϕ(n)). Alors pour tout t∈Z,tcd ≡t(mod n).
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