Anneaux Z/nZ - Applications - Epsilon 2000

Anneaux Z/nZ - Applications
Dans tout ce donument, n ∈ N∗ .
1
Relation de congruence et définition de l’ensemble Z/nZ
Définition 1.1
Soient a, b ∈ Z. On dit que a est congru à b modulo n lorsque n divise a − b. On note alors a ≡ b (mod n).
Proposition 1.2
La relation de congruence modulo n est une relation d’équivalence sur Z.
Notation 1.3
On note Z/nZ l’ensemble des classes d’équivalence pour la relation de congruence modulo n.
Proposition 1.4
Pour tout a ∈ Z, il existe un unique entier b ∈ J0 ; n − 1K tel que a ≡ b (mod n). b est le reste de la division
euclidienne de a par n.
Corollaire 1.5
Z/nZ a exactement n éléments : 0, 1, . . . , n − 1.
2
Structure algébrique de Z/nZ
Proposition 2.1
Soient a, a0 , b, b0 ∈ Z tels que a ≡ a0 (mod n) et b ≡ b0 (mod n). Alors a + a0 ≡ b + b0 (mod n) et ab ≡ a0 b0
(mod n).
Définition 2.2
Soient α, β ∈ Z/nZ, a, b ∈ Z tels que α = a et β = b. On définit + et × par : α+β = a + b et α×β = a × b.
Remarque 2.3
La proposition précédente assure que le résultat de α + β et α × β est indépendant des représentants
respectifs a et b de α et β.
Théorème 2.4
(Z/nZ , + , ×) est un anneau commutatif.
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Proposition 2.5
Soit k ∈ Z. k est inversible dans Z/nZ si et seulement si k ∧ n = 1.
Corollaire 2.6
Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier.
3
Applications
3.1
Critères de divisibilité
Théorème 3.1
Soit a ∈ N∗ .
(i) a est divisible par 2 si et seulement si a se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
(ii) a est divisible par 5 si et seulement si a se termine par 0 ou 5 ;
(iii) a est divisible par 3 (respectivement par 9) si et seulement si la somme des chiffres qui le composent
est divisible par 3 (respectivement par 9) ;
(iv) a est divisible par 4 si et seulement si le nombres formé par les deux derniers chiffres est divisible par
4;
(v) a est divisible par 10 si et seulement si a se termine par 0.
3.2
Groupes cycliques
Proposition 3.2
Un groupe cyclique à n éléments est isomorphe à (Z/nZ , +).
3.3
Equation diophantienne
L’équation x2 − y 2 = 18, d’inconnue (x , y) ∈ Z2 n’a pas de solution dans Z2
3.4
Théorème chinois
Théorème 3.3
Soit (a, b) ∈ (N∗ )2 . Les anneaux Z/abZ et Z/aZ × Z/bZ sont isomorphes si et seulement si a ∧ b = 1.
3.5
Théorème des restes chinois et systèmes de congruences
Théorème 3.4
Soient p ∈ N∗ , n1 , . . . , np des entiers naturels deux à deux premiers entre eux et (a1 , . . . , ap ) ∈ Zp . Alors
le système de congruences défini par : ∀k ∈ J1, pK, x ≡ ak (mod nk ) admet une unique solution modulo
p
P
N = n1 . . . np , donnée par x ≡
uk Nk ak , où pour tout k ∈ J1, pK, Nk = nNk et uk ≡ Nk−1 (mod nk ).
k=1
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3.6
Indicatrice d’Euler
Définition 3.5
On suppose n > 2. On note ϕ(n) le nombre d’entiers compris entre 1 et n et premiers avec n. ϕ est appelé
indicatrice d’Euler.
Proposition 3.6
(i) Soient p, q ∈ N∗ , avec p ∧ q = 1. Alors ϕ(pq) = ϕ(p)ϕ(q) ;
N
Y
(ii) Si
prkk est une décomposition de n en produit de facteurs premiers, on a :
k=1
ϕ(n) =
N
Y
(pri i − pri i −1 ) = n
k=1
3.7
N Y
1
1−
pi
k=1
Le petit théorème de Fermat
Théorème 3.7
Soit p un nombre premier. Alors pour tout n ∈ N, np ≡ n (mod p).
3.8
Cryptage RSA
Proposition 3.8
Soient p et q deux nombres premiers distincts. On pose n = pq. Soient c et d deux entiers naturels tels
que cd ≡ 1 (mod ϕ(n)). Alors pour tout t ∈ Z, tcd ≡ t (mod n).
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