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5. `a partir de Peano-Dedekind
Pour la culture g´en´erale et la force des id´ees . . .
1par les axiomes de Peano-Dedekind
2Sur l’unicit´e de
3Addition dans
4Multiplication dans
5Structure d’ordre
6Cardinaux, ensembles finis (et infinis ?)
7Division euclidienne
8Nombres premiers selon Euclide

1. par les axiomes de Peano-Dedekind
Guiseppe Peano (1858-1932), Richard Dedekind (1831-1916)
Axiomes de Peano-Dedekind
Il existe un triplet (,0, s), o`u est un ensemble, 0∈et s:→une
application appel´ee successeur, tel que :
(A1) sest injective ;
(A2) (∀n∈)s(n)6= 0 (0n’est pas un successeur : 06∈ Im(s)) ;
(A3) axiome de r´ecurrence (ou d’induction)
A⊂,0∈A
x∈A=⇒s(x)∈A=⇒A=
•Les ´el´ements de s’appellent les entiers naturels et se notent comme
l’histoire l’a impos´e : 0,1 = s(0),2 = s(1), . . .
•est infini (par (A1) et (A2)) ; son existence est affirm´ee ; quid de
l’unicit´e ?

2. Sur l’unicit´e de (,0, s)
Parmi les triplets (E, e, t), o`u Eest un ensemble, e∈E, et t:E→Eune
application, (,0, s)se distingue par la :
propri´et´e universelle de (,0, s)
(P U)
Pour tout triplet (E,e,t),∃!ϕ:→Etelle que :
ϕ(0) = eet le diagramme ci-dessous commute.
s//
ϕ ϕ
Et
//E
D´emonstration : Les conditions
ϕ(0) = e
∀n∈, ϕ(s(n)) = t(ϕ(n))
d´efinissent ϕ:→Epar r´ecurrence. 

unicit´e de (,0, s)`a bijection (unique) pr`es
Th´eor`eme (unicit´e de )
Si (E, e, t)est un autre triplet v´erifiant (P U), alors il existe une bijection et
une seule ϕ:→Etelle que ϕ(0) = eet qui rende commutatif le
diagramme :
s//
ϕ ϕ
Et
//E
D´emonstration :
s//
ϕ1 ϕ1
Et
//E
Et//
ϕ2
E
ϕ2
s
//
s//
Id Id
s
//
Et//
IdE
E
IdE
Et
//E

3. Addition dans
D´efinition (addition)
+ : × −→
(x, y)7−→ x+y
est d´efinie (par r´ecurrence) par
(∀x∈)x+ 0 = x
(∀x, y ∈)x+s(y) = s(x+y)
Proposition
(,+,0) est un mono¨ıde, commutatif, r´egulier.
D´emonstration : exercice (long ...). 