Preuve d`une conjecture de Frenkel-Gaitsgory-Kazhdan

Preuve d’une conjecture de
Frenkel-Gaitsgory-Kazhdan-Vilonen
Ngˆo Bao Chˆau
publi´e dans Israel Journal of Mathematics 120 (2000) 259-270
Abstract
We prove a conjecture of Frenkel-Gaitsgory-Kazhdan-Vilonen on
some exponential sums related to the geometric Langlands correspon-
dence. Our main ingredients are the resolution of Lusztig scheme
of lattices introduced by Laumon and the decomposition theorem of
Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber.
1 L’´enonc´e
Soient k=Fqun corps fini, O=k[[$]] le corps des s´eries formelles `a une
variable $et Fson corps des fractions. Soient det ndeux entiers naturels.
A la suite de Lusztig ([6]), consid´erons le sch´ema Xdde type fini sur kdont
l’ensemble des k-points est celui des r´eseaux R ⊂ Ontels que dim(On/R) =
d. L’action de GL(n, O) sur l’ensemble de ces r´eseaux peut ˆetre vue comme
l’action d’un groupe alg´ebrique Gdavec Gd(k) = GL(n, O/$dO), sur Xd.
Les orbites de cette action sont en nombre fini. Pour chaque n-partition
λde d, c’est-`a-dire λ= (λ1≥ · · · ≥ λn≥0) avec |λ|=λ1+· · · +λn=d,
notons Xλl’orbite de Gdpassant par le r´eseau $λOno`u $λd´esigne la matrice
diagonale diag ($λ1, . . . , $λn). On a la stratification en parties localement
ferm´ees X=S|λ|=nXλqui refl`ete la d´ecomposition de Cartan
GL(n, F ) = a
λ1≥···≥λn
GL(n, O)$λGL(n, O).
1

En effet, on a
Xλ(k) = GL(n, O)$λGL(n, O)/GL(n, O).
Pour chaque λ, notons ¯ Xλl’adh´erence de l’orbite Xλdans Xd. Rappelons
que Xµ⊂¯ Xλsi et seulement si µ≤λselon l’ordre partiel habituel entre les
n-partitions de d:
µ1+· · · +µi≤λ1+· · · +λi
pour tout i= 1, . . . , n −1 ([6]).
Fixons un nombre premier `diff´erent de la caract´eristique pde k. Soit ¯ Q`
une clˆoture alg´ebrique de Q`. Notons Aλle complexe d’intersection `-adique
de ¯ Xλ.
Pour chaque α∈Nntel que |α|=d, notons Sαla partie localement
ferm´ee de Xddont l’ensemble des k-points est celui des r´eseaux R ⊂ Ontels
que pour tout i, on a
(R ∩
i
M
j=1
ejO)/(R ∩
i−1
M
j=1
ejO) = (
i−1
M
j=1
ejO ⊕ $αieiO)/
i−1
M
j=1
ejO
o`u (ei) d´esigne la base standard de On. La stratification Xd=S|α|=dSα
refl`ete la d´ecomposition d’Iwasawa
GL(n, F ) = a
α∈Zn
N(F)$αGL(n, O),
o`u Nd´esigne le sous-groupe des matrices triangulaires sup´erieures unipo-
tentes de GL(n). En effet, on a
Sα(k) = N(F)$αGL(n, O)/GL(n, O).
La fonction trace de Frobenius de Aλs’identifie naturellement `a une fonc-
tion Aλ`a support compact dans GL(n, F ) qui est bi-GL(n, O)-invariante.
Fixons un caract`ere additif non trivial ψ:k→¯ Q×
`et notons θ:N(F)→¯
Q×
`
le caract`ere d´efini par
θ(n) = ψ(
n−1
X
i=1
res (ni,i+1d$)).
2

Consid´erons l’int´egrale
I($α, Aλ) = ZN(F)Aλ(n$α)θ(n)dn,
o`u la mesure de Haar normalis´ee dnde N(F) attribue `a N(O) la mesure 1.
Dans [4], Frenkel, Gaitsgory, Kazhdan et Vilonen ont d´emontr´e le th´eor`eme
suivant.
Th´ eor` eme 1Si α6=λ, on a
I($α, Aλ) = 0.
Si α=λ, on a
I($λ, Aλ) = qhλ,δi
o`u
δ=1
2(n−1, n −3, . . . , 1−n)
et o`u
hλ, δi=
n
X
i=1
λiδi.
Lorsque la suite α= (α1,· · · , αn) n’est pas d´ecroissante, on peut trouver
n0∈N(F)∩$αGL(n, O)$−αtel que θ(n0)6= 1. Or, comme Aλest bi-
GL(n, O)-invariante, on a
ZN(F)Aλ(n$α)θ(n)dn=ZN(F)Aλ(nn0$α)θ(n)dn
=θ(n0)−1ZN(F)Aλ(n$α)θ(n)dn
donc I($α, Aλ) = 0. Le cas int´eressant est donc celui o`u αest une n-partition
de d. Dans ce cas, on a
N(F)∩$αGL(n, O)$−α⊂N(O)
si bien que le caract`ere N(F)→kd´efini par
n7→
n−1
X
i=1
res (ni,i+1d$)
induit un morphisme hα:Sα→Ga. Frenkel, Gaitsgory, Kazhdan et Vilonen
ont conjectur´e dans [4] l’´enonc´e suivant.
3

Th´ eor` eme 2Si α6=λ, on a
RΓc(Sα⊗k¯ k, Aλ⊗h∗
αLψ) = 0.
Si α=λ, on a
RΓc(Sα⊗k¯ k, Aλ⊗h∗
αLψ) = ¯
Q`[−2hλ, δi](−hλ, δi).
Ici, ¯ kd´esigne une clˆoture alg´ebrique de ket Lψle faisceau d’Artin-Schreier
sur Ga,k associ´e `a ψ.
On peut d´eduire de cet ´enonc´e g´eom´etrique le th´eor`eme de Frenkel-
Gaitsgory-Kazhdan-Vilonen cit´e plus haut, via la formule des traces de Gro-
thendieck.
Voici les grandes lignes de la d´emonstration du th´eor`eme 2.
On consid`ere d’abord le cas plus facile α=λ. On d´emontre que si µ < λ
l’intersection Sλ∩Xµest vide si bien que celle de Sλavec le support de Aλ
est incluse dans Xλ. On d´emontre aussi que Sλ∩Xλest un espace affine
et que le morphisme hαrestreint `a Sλ∩Xλest constant `a valeur 0 d’o`u le
r´esultat dans le cas α=λ. C’est le contenu de la section 2.
Pour d´emontrer l’assertion concernant le cas α6=λ, on utilise la r´esolution
suivante du sch´ema Xd. Cette r´esolution a ´et´e introduite par Laumon dans
un contexte l´eg`erement diff´erent ([5]). Soit ˜ Xdle sch´ema de type fini sur k
dont l’ensemble des k-points est celui des drapeaux de r´eseaux
On=R0⊃ R1⊃ · · · ⊃ Rd=R
tels que dim(Ri−1/Ri) = 1. Le morphisme π:˜ Xd→Xdd´efini par
(R0⊃ R1⊃ · · · ⊃ Rn)7→ Rn
est une r´esolution semi-petite au sens de Goresky et MacPherson. De plus,
elle est ´equivariante relativement `a l’action de Gdsi bien qu’on a
Rπ∗¯ Q`[dim(Xd)](1
2dim(Xd)) = M
λ
Aλ£Vλ
o`u les Vλsont des ¯ Q`-espaces vectoriels, grˆace au th´eor`eme de d´ecomposition
([1]) et `a ce que les sous-groupes stabilisateurs dans Gdsont tous g´eom´etriquement
connexes.
4

Par comparaison avec la construction de Lusztig de la correspondance
de Springer, on voit que Vλest l’espace de la repr´esentation du groupe
sym´etrique Sdcorrespondant `a la partition λde d([6],[2]). On utilisera
seulement le fait que la dimension Vλest ´egal au nombre de λ-tableaux stan-
dards.
Il suffit clairement de d´emontrer que
RΓc(Sλ⊗k¯ k, Rπ∗¯ Q`⊗h∗
λLψ)
=Vλ[−2hλ, δi − d(n−1)](−hλ, δi − 1
2d(n−1)).
Pour cela, on ´etudie la g´eom´etrie de ˜ Sλ=Sλ×Xd˜ Xd. On a
RΓc(Sλ⊗k¯ k, Rπ∗¯ Q`⊗h∗
λLψ) = RΓc(˜
Sλ⊗k¯ k, ˜ h∗
λLψ)
o`u ˜ hλest le morphisme compos´e hλ◦(π|˜
Sλ).
On d´emontre que ˜ Sλest une r´eunion disjointe de parties localement
ferm´ees ˜ Sτqui sont des espaces affines de mˆeme dimension
hλ, δi+1
2d(n−1) = hλ, (n−1, . . . , 1,0)i
o`u τparcourt l’ensemble des suites (αi)d
i=0 avec αi= (αi j)n j=1 ∈Nnv´erifiant
•αi−1
j≤αi
jpour i= 1, . . . , d et pour j= 1, . . . , n ;
• |αi|=Pn
j=1 αi j=ipour i= 0, . . . , d ;
•αd=λ.
Si l’une de ces suites αin’est pas d´ecroissante, on d´emontre comme dans
le cas ´evoqu´e plus haut o`u λn’est pas d´ecroissante, que
RΓc(Sτ⊗k¯ k, ˜ h∗
λLψ) = 0.
Les τdont les membres αisont tous des suites d´ecroissantes d’entiers na-
turels, correspondent bijectivement aux λ-tableaux standards. C’est le con-
tenu de la section 3.
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