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La fonction L p-adique de Kubota-Leopold
Colas BARDAVID et Pierre FIMA
expos´ e propos´ e par Ga¨ etan CHENEVIER

Nous tenons ` a remercier Ga¨ etan Chenevier pour son aide, ses explications, ses expos´ es et sa
patience.

Table des mati`eres
1 La fonction ζcomplexe et les nombres de Bernoulli 4
1.1 D´ efinitions.......................................... 4
1.2 Prolongement ........................................ 5
1.3 Equationfonctionnelle ................................... 6
2 Les fonctions de Dirichlet 8
2.1 Les caract` eresdeDirichlet................................. 8
2.2 Les L-s´ eriesdeDirichlet .................................. 8
3´ Etude de Qp10
3.1 Construction de Qp..................................... 10
3.2 LemmedeHensel...................................... 12
3.3 Repr´ esentants de Teichm ¨ uller............................... 12
3.4 Polynˆ omes irr´ eductibles .................................. 13
3.5 Construction de Cp..................................... 14
3.5.1 Extension de valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5.2 La cloture alg´ ebrique de Qp............................ 16
3.5.3 Construction de Cp................................. 17
3.6 Int´ egration abstraite dans Qp............................... 18
3.7 Construction de mesures p-adiques............................ 20
3.7.1 Distributions de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.7.2 MesuresdeBernoulli................................ 21
4 Fonctions puissance et logarithme dans Cp23
4.1 Petit d´ etour chez les fonctions puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.1 La bonne interpolation de la fonction puissance sur 1 + pZp......... 23
4.1.2 Les mauvaises interpolations de la fonction puissance sur Zp........ 25
4.1.3 Extension de la bonne fonction puissance ` aBp................. 26
4.2 Petit d´ etour par la fonction logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.1 Identit´ esformelles ................................. 26
4.2.2 La fonction logarithme : d´ efinition et propri´ et´ e fondamentale . . . . . . . . 28
4.2.3 Quelques propri´ et´ es de logpsur Zp........................ 30
4.3 Lien entre la fonction puissance et la puissance logarithme . . . . . . . . . . . . . . 31
5 L’analogue p-adique de la fonction ζet la fonction Lde Kubota-Leopold 31
5.1 L’analogue p-adique de la fonction ζ........................... 31
5.1.1 Unlemmefondamental .............................. 31
5.1.2 Deux th´ eor` emesdeKummer ........................... 32
5.1.3 L’analogue p-adique de la fonction ζ....................... 33
5.2 La fonction LdeKubota-Leopold............................. 33
5.2.1 Groupe des caract` eres p-adiques ......................... 34
5.2.2 La fonction p-adique Lde Kubota-Leopold pour p > 2............ 36
5.2.3 La fonction p-adique Lde Kubota-Leopold pour p= 2 ............ 38
3

Introduction
Le but de cet expos´ e est d’expliquer la construction de la fonction Lde Kubota-Leopold, g´ e-
n´ eralisation p-adique de la fonction ζde Riemann, et d’en exposer quelques propri´ et´ es. On fera
donc en introduction de l’analyse complexe, afin d’exposer les r´ esultats n´ ecessaires pour ´ etablir
l’analogie. On construira ensuite Cpqui est le cadre privil´ egi´ e de l’analyse p-adique. Avant de
trouver l’analogue de ζ, on chercher ceux de l’exponentiel et du logarithme r´ eel. Munis de ces
outils, on pourra alors construire et ´ etudier la fonction Lde Kubota-Leopold.
La partie 4et surtout la partie 5, faute de r´ ef´ erence, sont originales.
1 La fonction ζcomplexe et les nombres de Bernoulli
1.1 D´efinitions
D´efinition 1 Soit s∈Ctel que <es > 1. La fonction ζest donn´ee par :
ζ(s) : =
∞
X
n=1
1
ns
Consid´ erons la fonction complexe z
ez−1, elle est holomorphe au voisinage de z´
ero. On peut
donc la d´ evelopper en s´ erie enti` ere et on pose :
D´efinition 2 Soit Bnle n-ieme nombre de Bernoulli d´efini par :
z
ez−1: =
∞
X
n=0
Bn
zn
n!
Plus g´ en´ eralement, on peut mˆ eme poser :
Proposition-D´efinition 3 On note Bket on appelle n-i`eme polynˆome de Bernoulli le polynˆome d´efini par
text
et−1=
∞
X
k=0
Bk(x)tk
k!.(1)
On a l’expression suivante :
Bk(x) =
k
X
i=0
Ci
kBixk−i.
D´emonstration. C’est un polynˆ ome d’apr` es l’´ ecriture, qui d´ ecoule du produit de Cauchy,
text
et−1=Ã∞
X
k=0
Bk
tk
k!!̰
X
k=0
(xt)k
k!!=
∞
X
k=0 Ãk
X
i=0
Bi
i!
xk−i
(k−i)!!tk.
On a donc Bk(x) = Pk
i=0 Bik!
i!(k−i)! xk−i, ce qu’on voulait. ¥
On a B0(x) = 1,B1(x) = x−1/2.
Proposition 4 (1) ∀n > 1, Bn(x+ 1) −Bn(x) = nxn−1.
(2) B0
n(x) = nBn−1(x).
4

D´emonstration.
(1) ∞
X
n=0
Bn(x+ 1) −Bn(x)
n!zn=ze(x+1)z ez−1−zexz ez−1=zexz =
∞
X
n=1
nxn−1zn
n!
D’o ` u le r´ esultat par identification.
(2) ∞
X
n=0
B0
n(x)zn
n!=d dx(zezx ez−1) = z2ezx ez−1=
∞
X
n=0
nBn−1(x)zn
n!
D’o ` u le r´ esultat par identification.
¥
Remarque : On d´ eduit facilement en ´ evaluant (1) en x= 0 que ∀n6= 1, Bn(1) = Bn(0) = Bn.
Proposition 5
∀k∈N∗, ζ(2k) = (−1)kπ2k22k−1
(2k−1)! µ−B2k 2k¶
D´emonstration. Soit ¯ Bnla fonction 1-p´ eriodique qui coincide avec Bnsur ]0,1[ et telle que
¯
Bn(0) = Bn(0)+Bn(1)
2.
Soit n∈N∗, on calcule les coefficients de Fourier ck(¯ Bn)de ¯ Bn: par la proposition 4 on a im-
m´ ediatement c0(¯ Bn) = 0 puis ` a l’aide de la remarque ?? et d’une int´ egration par parties on trouve
ck(¯ B1) = −1
2iπk . On trouve, ´
egalement en int´ egrant par parties : ∀n > 1ck(¯ Bn) = n
2iΠkck(¯
Bn−1),et
en terminant par r´ ecurrence on obtient :
ck(¯ Bn) = −n!
(2iπk)npuis ∀n∈N∗,¯
Bn=
∞
X
k∈Z∗
n!
(2iΠkx)ne2iπkx
Enfin, en posant n= 2lavec l∈N∗et en ´ evaluant en x= 0 obtient le r´ esultat souhait´ e. ¥
1.2 Prolongement
Th´eor`eme 6 La fonction ζadmet un prolongement m´eromorphe sur Cavec un unique pˆole en s= 1 qui
est simple.
D´emonstration. On utilise les fonctions ¯ Bn(X)d´ efinies dans la d´ emonstration pr´ ec´ edente.
Lemme 7 On a, pour s6= 1,ζ(s) = 1
s−1+1 2−sR∞
1
¯
B1(u)
us+1 du.
Et l’int´egrale converge pour <es > 0
D´emonstration. On a ¯ B1(u) = u−[u]−1
2, on ´
ecrit :
sZn
1
u−[u]
us+1 du =·−s (s−1)us−1¸n
1
+
n−1
X
k=1
k·1
us¸k+1
k
=s
s−1−s (s−1)ns−1+ (−1 + 1 2s) + · · · + (n−1)(−−1 (n−1)s+1 ns)
=s
s−1−1−1 2s− · · · − 1 ns+1 ns−1−s (s−1)ns−1
= 1 + 1
s−1−
n
X
k=1
1
ks−1 (s−1)ns−1
5