1. Théorème de Hahn Banach

§1. Théorème de Hahn-Banach
Rappels
On rappelle les propriétés importantes que peuvent posséder les relations
binaires entre les éléments d’un même ensemble E:
Ré‡exivité
Une relation Rdans un ensemble Eest dite ré‡exive dans Esi, on a
8x2E; xRx:
Transitivité
Une relation Rdans un ensemble Eest dite transitive dans Esi, on a
8x; y; z 2E; si 8
<
:
xRy
et
yRz
)xRz:
symétrie
Une relation Rdans un ensemble Eest dite symétrique dans Esi, on
a
8x; y 2E; si xRy)yRx
Antisymétrie
Une relation Rdans un ensemble Eest dite antisymétrique dans Esi,
on a
8x; y 2E; si 8
<
:
xRy
et
yRx
)x=y:
Relation d’ordre
Une relation d’ordre est une relation entre les éléments de l’ensemble E;
qui est à la fois
ré‡exive, transitive et antisymétrique dans E:
Souvent la relation d’ordre "R"est notée par ""et que l’on dit
x"est inférieur ou égal à "y:
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Relation d’ordre total
En général, une relation d’ordre sur un ensemble Ene permet pas de
comparer tous les éléments de l’ensemble. Cependant, si pour n’importe
quels deux éléments xet yde E; on a
xyou yx;
on dit que la relation est d’ordre est total.
Ensemble totalement ordonné
Un ensemble Eest dit totalement ordonné s’il est muni d’une relation
d’ordre total ():
Relation d’ordre partiel
Une relation qui n’est pas totalement ordonné est dite partiellement or-
donnée.
Ensemble partiellement ordonné
Un ensemble qui n’est pas totalement ordonné, est dit partiellement or-
donné.
Majorant d’un ensemble
Un sous ensemble Ade Emuni d’une relation d’ordre notée ""est
dit majoré s’il existe un élément M2Etel que,
8a2A; on a aM;
Mest appelé majorant de A:
Minorant d’un ensemble
Un sous ensemble Ade Emuni d’une relation d’ordre notée ""est
dit minoré s’il existe élément m2Etel que,
8a2A; on a ma;
mest appelé minorant de A:
Ensemble borné
Un ensemble Aest dit borné s’il est à la fois majoré et minoré.
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Borne supérieure d’un ensemble
Le plus petit des majorants d’un ensemble As’il existe est appelé borne
supérieure de Aet que l’on note sup A: Autrement dit
8a2A; on a asup A;
de plus
8" > 0;9a02A; sup A" < a0:
Borne inférieure d’un ensemble
Le plus petit des minorants d’un ensemble As’il existe est appelé borne
inférieure de Aet que l’on note inf A: Autrement dit
8a2A; on a inf Aa;
de plus
8" > 0;9a02A; a0<inf A+":
Maximum d’un ensemble
Un élément Mde Aest dit maximum de Aou plus grand élément de A
s’il est un majorant de A: Autrement dit
M2A; 8a2A; on a aM :
Minimum d’un ensemble
Un élément mde Aest dit minimum de Aou plus petit élément de As’il
est un minorant de A: Autrement dit
m2A; 8a2A; on a ma :
Maximal d’un ensemble
Un élément Nde Aest dit maximal de As’il n’existe pas un élément de
Aplus grand que l’élément N: Autrement dit
N2A; si pour a2A; on a Naentraîne N=a:
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Minimal d’un ensemble
Un élément nde Aest dit minimal de As’il n’existe pas un élément de
Aplus petit que l’élément n: Autrement dit
n2A; si pour a2A; on a anentraîne n=a:
Remarque 1
Notons que, tout élément maximum est un élément maximal, la réciproque
est généralement fausse.
Prolongement d’une relation d’ordre
Soit Rune relation d’ordre dans un ensemble Eet soit R0une relation
dé…nie sur un sous ensemble Ade Etelle que
8x; y 2A; on a (xR0y,xRy):
La relation R0est une relation d’ordre; la ré‡exivité, la transitivité et
l’antisymétrie de R0résultent de celles de R;on dit alors que Rest un
prolongement de R0ou bien la relation Rprolonge de R0ou bien R0est une
restriction de RàA:
Lemme de Zorn
Soit Eun ensemble ordonné, si tout sous ensemble Ade Etotalement
ordonné admet un majorant, alors Eadmet un élément maximal.
Opérateurs linéaires
Soient Eet Fdeux espaces vectoriels sur le corps K=Rou C;on dit
que l’application Udé…nie sur Edans Fest une application linéaire ou un
opérateur linéaire si
8x; y 2E; 8;  2K;on a U(x +y) = U(x) + U(y):
Fonctionnelles linéaires
On appelle fonctionnelle linéaire tout opérateur linéaire Udé…ni sur Eà
valeurs dans le corps des scalaires K:
Remarque 2
L’ensemble de tous les opérateurs linéaires dé…nis sur Edans F; et que
l’on note L(E; F );est un espace vectoriel sur le même corps K;muni des
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opérations algébriques suivantes
U(x) = U1(x) + U2(x)2L(E; F );8U1; U22L(E; F );
de plus
U0(x) = U(x)2L(E; F );8U2L(E; F );82K:
Dual algébrique
On appelle dual algébrique de Eet que l’on note E+l’ensemble des
fonctionnelles linéaires L(E; K):
Normes et semi-normes
Soit Eun espace vectoriel, une fonction Ndé…nie sur Eà valeurs dans
R;est dite
Semi-additive, si
8x; y 2E; on a N(x+y) N (x) + N(y):
Positivement homogène, si
82R+;8x2E; on a N(x) = N(x):
Homogène, si
82K;8x2E; on a N(x) =jj N (x):
Semi normes
Une semi norme est une fonction Ndé…nie sur Edans R;semi-additive
et homogène
Propriétés
Une semi norme Ndé…nie sur Edans Rpasse toujours par l’origine
En e¤et, il su¢ t de prendre = 0 et utilisons l’homogénéité de la semi-
norme N;d’où
N(0) = N(0:x) = 0:N(x) = 0:
Une semi norme Ndé…nie sur Edans Rest toujours positive
En e¤et,
0 = N(0) = N(x+ (x))
 N (x) + N(x) = 2N(x):
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