HEC Eco 2012

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EXERCICE
Soit mun réel donné strictement positif et fl’endomorphisme de R3dont la matrice Mdans la
base canonique de R3est donnée par :
M=0
@
0 1=m 1=m2
m0 1=m
m2m01
A.
On note Ila matrice identité de M3(R)et Id l’endomorphisme identité de R3.
Pour tout endomorphisme gde R3on pose g0=Id et pour tout kde N,gk=ggk1.
1. Déterminer le noyau ker (f)et l’image im (f)de l’endomorphisme f: La matrice Mest-elle
inversible ?
2. a) Montrer que la matrice M2est une combinaison linéaire de Iet de M.
b) Déterminer un polynôme annulateur non nul de la matrice M.
c) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de M. La matrice Mest-elle
diagonalisable ?
3. À l’aide des résultats de la question 2.(c), indiquer une méthode, sans faire les calculs, qui
permettrait d’obtenir pour tout nde N, l’expression de Mnen fonction de n.
4. On pose : p=1
3(f+Id)et q=1 3(f2Id).
a) Calculer pqet qp, puis pour tout nde N,pnet qn.
b) En déduire pour tout nde N, l’expression de fnen fonction de pet q.
c) Déterminer les deux suites réelles telles que pour tout nde N, on ait : Mn=anI+bnM.
d) La formule précédente reste-t-elle valable si nappartient à Z?
PROBLÈME
Sous réserve d’existence, on note E(U)et V(U)respectivement, l’espérance mathématique et la
variance d’une variable aléatoire Udé…nie sur l’espace probabilisé (; A;P).
Pour pentier supérieur ou égal à 2, on dit que les variables aléatoires à densité U1;: : : ;Upsont
indépendantes si pour tout p- uplet (u1;: : : ;up)de réels, les événements [U16u1] ; : : : ; [Up6up]
sont indépendants.
L’objet du problème est l’étude de quelques propriétés d’une loi de probabilité utilisée notamment
en …abilité.
Les parties I et II sont largement indépendantes. La partie III est indépendante des parties I et II .
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Partie I . Loi à 1 paramètre.
On note un paramètre réel strictement positif. On considère la fonction fde Rdans Rdé…nie
par :
f(x) = 8
>
>
<
>
>
:
2pxepxsi x > 0
0si x60
:
1. a) Montrer que la fonction fest de classe C2sur R
+.
b) Dresser le tableau de variation de fsur R
+et préciser les limites suivantes :
lim
x!0+f(x),lim
x!+1f(x).
c) Établir la convexité de la fonction fsur R
+.
d) Tracer l’allure de la courbe représentative de fdans le plan rapporté à un repère ortho-
gonal.
2. a) Véri…er que la fonction x7! epxest une primitive de fsur R
+.
b) ) Établir la convergence de l’intégrale
+1
Z
0
f(x)dx et calculer sa valeur.
c) En déduire que la fonction fest une densité de probabilité sur R
+.
3. Soit Xune variable aléatoire dé…nie sur un espace probabilisé (; A;P), à valeurs strictement
positives, ayant fpour densité. On note Fla fonction de répartition de Xet on pose :
Y=pX.
a) Calculer pour tout xréel, F(x).
b) Montrer que Ysuit la loi exponentielle de paramètre 1.
c) Établir pour tout rde N, l’existence de E(Yr).
d) Montrer que pour tout rde N, on a : E(Yr+1) = (r+ 1) E(Yr).
e) En déduire pour tout rde N,E(Yr)et E(Xr). En particulier, calculer E(X)et V(X).
4. Soit (Xn)n2Nune suite de variables aléatoires dé…nies sur (; A;P), indépendantes et de même
loi que X.
Soit (an)n2Net (bn)n2Ndeux suites de réels strictement positifs véri…ant lim
n!+1n2an= 1 et
lim
n!+1n2bn= 0 .
On pose pour tout nde N,Mn= min
16k6n(Xk)et Jn=Mnbn
an
.
On admet que Mnet Jnsont des variables aléatoires à densité dé…nies sur (; A;P).
Montrer que la suite (Jn)n2Nconverge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la
loi.
Partie II. Estimation ponctuelle de .
Pour nentier de N, on note (X1;: : : ;Xn)un n-échantillon de variables aléatoires à valeurs
strictement positives, indépendantes et de même loi que la variable aléatoire Xdé…nie dans la
question 3. On rappelle que Y=pX, et on pose pour tout kde [[1; n]] ,Yk=pXk,Sk=
k
X
j=1
Yj
et gkune densité de Sk.
On admet que pour tout entier nsupérieur ou égal à 2, les variables aléatoires Y1;: : : ;Ynsont
indépendantes et que pour tout kde [[1; n]] , les variables aléatoires Sket Yk+1 sont indépendantes.
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On admet que si Tet Zsont deux variables aléatoires à densité indépendantes dé…nies sur le même
espace probabilisé, de densités respectives fTet fZtelles que fTet fZsoit bornée, alors la variable
aléatoire T+Zadmet une densité fT+Zdé…nie pour tout xréel par
fT+Z(x) = Z+1
1fT(y)fZ(xy)dy:
5. a) En utilisant les propriétés admises, montrer que g2(x) = xexsi x > 0
0si x60.
b) À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout nde N, on a gn(x) =
8
<
:
1
(n1)!xn1exsi x > 0
0si x60
.
c) On admet que pour tout nde N,1
Sn
est une variable aléatoire à densité. Pour quelles
valeurs de n, l’espérance E1
Snet la variance V1 Snexistent-elles ? Calculer alors
leurs valeurs respectives.
6. On note (x1;: : : ;xn)un n-uplet de R
+nconstituant une réalisation du n-échantillon (X1;: : : ;Xn)
.
On suppose que le paramètre est inconnu. Soit Hla fonction de R
+dans Rdé…nie par :
H() = ln n
Y
k=1
f(xk)!:
Montrer que la fonction Hadmet un maximum atteint en un unique point 0dont on donnera
la valeur.
7. On pose pour tout entier nsupérieur ou égal à 3ou 
n=n
n
X
k=1 pXk
.
a) Que représente 0pour 
n?
b) Construire à partir de 
nun estimateur sans biais ^
nde et calculer le risque quadratique
^ nde ^ n.
c) Calculer lim
n!+1^
n. Commenter.
Partie III. Loi à 2 paramètres.
8. Soit et deux paramètres réels strictement positifs et f(;)la fonction dé…nie sur Rpar
f(;)(x) = x1exsi x > 0
0si x60
a) Montrer que f(;)est une densité de probabilité sur R.
Soit Wune variable aléatoire dé…nie sur un espace probabilisé (; A;P), à valeurs stric-
tement positives, de densité f(;). On dit que Wsuit la loi WB(;).
b) On note F(;)la fonction de répartition de W. Calculer pour tout xréel, F(;)(x).
c) Montrer que la variable aléatoire F(;)(x)suit la loi uniforme sur [0; 1].
d) Écrire nne fonction Pascal d’en-tête function W(lambda,alpha :real) :real ; permet-
tant de simuler W.
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9. Soit Kune variable aléatoire à densité dé…nie sur un espace probabilisé (; A;P), à valeurs
strictement positives, de densité fKnulle sur R, continue sur R, de classe C1sur R
+et
strictement positive sur R
+. On note FKla fonction de répartition de K. On pose pour tout
Xréel R(x) = ln (1 FK(x)) et r(x) = R0(x), où R0est la fonction dérivée de R.
a) On suppose dans cette question que Ksuit la loi WB(; 2) avec  > 0.
Établir les propriétés (i) et (ii) suivantes :
(i) la fonction rest continue et strictement croissante sur R+, et r(0) = 0.
(ii) la variable aléatoire r(K)suit la loi WB1
4; 2.
b) Réciproquement, on suppose dans cette question que les propriétés (i) et (ii) sont véri…ées.
Montrer que Ksuit la loi WB(; 2) . Conclusion ?
Dans les questions 10 et 11, l’entier nest supérieur ou égal à 2. On note w1;: : : ;wndes réels
strictement positifs et non tous égaux.
10. Soit 'la fonction de R
+dans Rdé…nie par
'(x) =
n
X
k=1
(wk)xln (wk)
n
X
k=1
(wk)x1
x:
a) Soit y1;: : : ;yndes réels non tous nuls et z1;: : : ;zndes réels quelconques.
En étudiant la fonction polynomiale du second degré Qdé…nie sur Rpar Q(t) =
n
X
k=1
(zktyk)2
, établir l’inégalité
n
X
k=1
ykzk!2 6 n
X
k=1
y2
k! n
X
k=1
z2
k!:
b) Montrer que la fonction 'est strictement croissante sur R
+.
c) On note n0le nombre d’entiers k0de [[1; n]] véri…ant wk0= max
16k6n(wk). Montrer que
16n06n1.
d) Donner un équivalent de
n
X
k=1
(wk)xen fonction de n0et wk0, lorsque xtend vers +1.
e) Calculer en fonction de wk0, la limite de '(x)lorsque xtend vers +1.
(on distinguera les deux cas wk0= 1 et wk06= 1).
f) En déduire que sur R
+l’équation '(x) = 1
n
n
X
k=1
ln (wk)admet une unique solution.
11. On note (W1;: : : ;Wn)un n-échantillon de variables aléatoires à valeurs strictement positives,
indépendantes et de même loi WB(;)dé…nie dans la question 8. dont une réalisation est le
n-uplet (w1;: : : ;wn).
On suppose que les paramètres et sont inconnus.
Soit Gla fonction de R
+2dans Rdé…nie par G(;) = ln n
Y
k=1
f(;)(wk)!.
a) Montrer que la fonction Gadmet un unique point critique ^ ; ^sur R
+2.
b) Montrer que la fonction Gadmet un maximum local au point ^ ; ^.
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