CAPES Algèbre linéaire Formes quadratiques

CAPES
Algèbre linéaire
Formes quadratiques
2009-2010
Soit B une forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel V et
soit q sa forme quadratique associée.
1. Montrer l'identité de Cauchy : pour tous u ∈ V, v ∈ V ,
Exercice 1
q (q(u)v − B(u, v)u) = q(u) [q(u)q(v) − B(u, v)B(v, u)] .
(1)
2. En déduire, si q est dénie positive, l'inégalité de Cauchy-Schwarz
B(u, v)B(v, u) ≤ q(u)q(v).
(2)
Soit Rn [X] l'espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n (n ≥ 1). Pour tous P, Q ∈ Rn [X], on pose
Exercice 2
Z
B(P, Q) =
1
tP (t)Q0 (t)dt
0
et q(P ) = B(P, P ).
1. Montrer que B est une forme bilinéaire. Est-elle symétrique ? antisymétrique ?
2. Montrer que q est une forme quadratique. La forme q est-elle dénie ?
Si ce n'est pas le cas, exhiber un vecteur isotrope non nul.
3. Calculer la matrice de q dans la base Bn = (1, X, . . . , X n ).
4. Pour n = 2, déterminer la signature de q. La forme q est-elle positive ?
négative ?
5. Déterminer une base de R2 [X] qui soit q-orthogonale.
1
Soit
Exercice 3
½µ
V =
a b
c d
¶
¾
∈ M2 (R); a − d = 0
On dénit l'application
µ
et J =
1 1
1 −1
¶
.
B : V × V −→ R
en posant, pour tous M, N ∈ M2 (R),
B(M, N ) = Tr(M JN ). 1
1. Montrer que B est une forme bilinéaire. Est-elle symétrique, antisymétrique ?
µµ
1 0
0 1
¶ µ
¶ µ
¶¶
0 1
0 0
,
,
0 0
1 0
2. Montrer que B =
est une base de
V.
3. Déterminer la matrice dans la base B de la forme quadratique q dénie
en posant, pour tout M ∈ M2 (R), q(M ) = B(M, M ).
4. Déterminer la signature de q, son rang et son noyau. La forme q est-elle
dénie ? positive ? négative ?
5. Déterminer F ⊥ (c'est-à-dire le q-orthogonal de F ) où
½µ
F =
a 0
0 d
¶
¾
∈ M2 (R); a − d = 0 .
Eectuer une réduction de Gauss et déterminer le noyau, le
rang et la signature des formes quadratiques suivantes :
1. q : R3 −→ R, q(x, y, z) = 2x2 + y2 − z 2 + 3xy − 4xz.
2. q : R3 −→ R, q(x, y, z) = x2 + y2 − az 2 + 3xy − bxz + yz.
Exercice 4
On discutera suivant les valeurs de
3. q :
R4
a, b ∈ R.
−→ R,
q(x, y, z, t) = x2 + (1 + 2λ − µ)y 2 + (1 + λ)z 2 + (1 + 2λ + µ)t2
+2xy + 2xz − 2xt + 2(1 − λ)yz − 2(1 + λ)yt + 2(λ − 1)zt.
On discutera suivant les valeurs de
4. q :
R5
λ, µ ∈ R.
−→ R, q(x, y, z, t, s) = xy − xt + yz − yt + ys + zt − zs + 2st.
Soit Rn [X] l'espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n (n ≥ 1) et soit d un entier tel que 1 ≤ d ≤ n. Pour tout
P ∈ Rn [X], on pose
Exercice 5
q(P ) = (P 2 )(d) (0),
où P (d) est le polynôme dérivé à l'ordre d de P .
1.
Tr
désigne l'opérateur
trace.
2
1. Montrer que q est une forme quadratique sur Rn [X] et déterminer sa
matrice dans la base B = {1, X, . . . , X n }.
2. Déterminer la signature de q, son rang et son noyau.
(a) Montrer que q est non dégénérée et déterminer une base q-orthonormale
de Rn [X].
(b) Déterminer le q-orthogonal de P et montrer que P est un sousespace vectoriel totalement isotrope.
3