ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE 1

Lycée Auguste Brizeux
PCSI B
Programme de colle : semaine 28 (du 26 au 29 mai 2015)
ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE
Objectifs
• Etudier les espaces vectoriels engendrés par une famille nie de vecteurs.
• Mettre en place la notion de dimension d'un espace vectoriel, et l'exploiter, notamment
pour simplier certains raisonnements déjà mis en ÷uvre précédemment.
• Introduire la notion de rang.
• Etudier les propriétés particulières des applications linéaires liées à la dimension.
Dans tout ce chapitre, l'ensemble
K désignera l'ensemble R ou C.
1 Dimension d'un espace vectoriel
1. Espace vectoriel de dimension nie : c'est un espace vectoriel admettant une famille génératrice nie .
2. Existence de bases : de toute famille génératrice nie d'un espace vectoriel non réduit à {~0} on peut extraire
une base. Tout espace vectoriel de dimension nie autre que {~0} admet donc une base.
3. Dimension d'un espace vectoriel : si (~u1 , · · · , ~un ) est une famille génératrice d'un espace vectoriel de dimension nie autre que {~0}, alors toute famille libre de cet espace contient moins de n éléments ; on en déduit que
toutes les bases ont le même nombre d'élements, ce qui permet de dénir la dimension d'un espace vectoriel de
dimension nie autre que {~0} comme le nombre de vecteurs d'une base ; exemples de Kn et Kn [X].
4. Théorème de la base incomplète (dans un espace vectoriel de dimension nie non nulle, toute famille libre peut
être complétée en une base ) ; familles libres et génératrices d'un espace vectoriel de dimension nie :
si E est un espace vectoriel de dimension nie n ∈ N∗ , et si (~u1 , · · · , ~un ) est une famille de vecteurs de E ,
alors c'est une base si et seulement si elle est libre ou génératrice de E .
5. Rang d'une famille nie de vecteurs.
2 Sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension nie
1. Dimension d'un sous-espace vectoriel
un sous-espace vectoriel d'un espace E de dimension nie n est également de dimension nie,
sa dimension est inférieure ou égale à n, et si sa dimension vaut n, alors c'est E .
2. Somme directe de sous-espaces vectoriels : existence de supplémentaires en dimension nie ; le recollement de
bases de deux sous-espaces vectoriels F et G de dimension nie d'un même espace vectoriel E et en somme
directe est une base F ⊕ G : en particulier, F ⊕ G est de dimension nie et dim(F ⊕ G) = dim(F ) + dim(G) .
3. Formule de Grassmann : dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G)
3 Applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension nie
1. Espaces isomorphes : si E et F sont deux K-espaces vectoriels isomorphes, et si l'un des deux est de dimension
nie, alors l'autre aussi, et dim(E) = dim(F )... et réciproquement : tout K-espace vectoriel de dimension n est
donc isomorphe à Kn .
2. Théorème du rang : si E et F sont deux K-espaces vectoriels tels que E est de dimension nie, et si f ∈ L(E, F ),
alors tout supplémentaire de Ker(f ) dans E est isomorphe à Im(f ). On en déduit que Im(f ) et Ker(f ) sont de
dimension nie, et que dim(E) = dim(Ker(f )) + dim(Im(f )) .
3. Caractérisation des isomorphismes : si E et F sont deux espaces vectoriels de même dimension nie, et
si f ∈ L(E, F ), alors f est injective si et seulement si f est surjective.
Autrement dit, pour montrer que f est un isomorphisme, il sut d'établir son injectivité ou sa surjectivité .
4. Rang d'une application linéaire ; caractérisation de l'injectivité/surjectivité à l'aide du rang ; invariance du rang
par composition avec un isomorphisme.
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Nota bene
. l'étude des suites dénies par une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 a été traitée en annexe à ce chapitre :
les étudiants doivent être en mesure d'expliciter le terme général d'une telle suite.
. Parmi les cadres de travail rencontrés en algèbre linéaire, il y a désormais les ensembles K[X] et Kn [X] (n ∈ N)...
Toutes les dénitions et tous les énoncés des propositions doivent être sus, et feront éventuellement
l'objet d'une question de cours. Les élèves seront également interrogés sur la démonstration de l'un des résultats
suivants (choisi par l'interrogateur) :
• Etant donnés un espace vectoriel E , une famille nie (~u1 , · · · , ~un ) de vecteurs de E et un vecteur ~u de E :
i. si ~u ∈ Vect(~u1 , · · · , ~un ), alors Vect(~u1 , · · · , ~un , ~u) = Vect(~u1 , · · · , ~un ) ;
ii. si (~u1 , · · · , ~un ) est libre, et si ~u ∈/ Vect(~u1 , · · · , ~un ), alors (~u1 , · · · , ~un , ~u) est libre.
• Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E , si F et G sont de dimension nie non nulle,
et si F et G sont en somme directe, alors le recollement d'une base de F et d'une base de G est une base de
F ⊕ G.
• Etant donné un espace vectoriel E de dimension nie et deux sous-espaces vectoriels F et G de E , F et G sont
supplémentaires dans E si et seulement si F ∩ G = {~0} et dim(F ) + dim(G) = dim(E).
• Formule de Grassmann.
• Théorème du rang.
• Caractérisation des isomorphismes en dimension nie.
• Invariance du rang par composition par un isomorphisme.
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