TD2. Représentations linéaires

Faculté des Sciences et Techniques de Limoges
2007-08
Algèbre approfondie
Master de Mathématiques, 2e semestre
TD2. Représentations linéaires
Exercice 1
Soit ρ : G −→ Gl(V ) une représentation linéaire du groupe ni G. On rappelle que V
Hom(V, C) est l'ensemble des formes linéaires de V dans C. On considère l'application
h.,.i : V ∗ × V
(λ, v)
1.
2.
3.
4.
∗
=
−→ C
7−→ hλ, vi = λ(v).
Vérier que cette application est bilinéaire.
Expliquer pourquoi ρ : G −→ Gl(V ) dénie par g 7−→ ρ(g) n'est pas une représentation
linéaire de G en général.
Montrer que ρ : G −→ Gl(V ) dénie par g 7−→ ρ(g ) est une représentation linéaire de G
(qui est appelée représentation duale de ρ).
Montrer que pour tout g ∈ G, λ ∈ V et v ∈ V , on a hρ (g)λ, ρ(g)vi = hλ, vi. Cette propriété
est-elle encore vraie si on remplace ρ par l'application ρ ?
•
∗
∗
t
∗
−1
t
∗
∗
∗
•
Exercice 2
On considère le groupe S des permutations de l'ensemble à deux éléments {a, b}, cet ensemble
est donc formé des deux éléments σ = (a 7→ b, b 7→ a) et ι = (a 7→ a, b 7→ b). Soit V un C-espace
vectoriel de base {e , e }. On dénit ρ : S → End(V ) par ρ(ι) = id , ρ(σ) est l'application
linéaire u qui permute e et e .
Montrer que ρ est une représentation linéaire de S .
Cette représentation est-elle irréductible?
Donner les matrices de ρ(ι) et ρ(σ) dans la base {e , e }, puis celles de ρ (ι) et ρ (σ) dans la
base duale de {e , e }. Que peut-on dire de ρ et ρ ?
2
1
2
1
2
V
2
1.
2
2.
3.
1
1
∗
2
∗
∗
2
Exercice 3
Soit V un espace vectoriel complexe de dimension nie n. Un produit hermitien sur V est une
application h · | · i : V × V −→ C qui vérie, pour tous x, x , y ∈ V et tout a ∈ C :
0
hax + x0 |yi = ahx|yi + hx0 |yi , hx|yi = hy|xi .
Le produit hermitien h · | · i est dit positif si hx|xi ≥ 0 pour tout x ∈ V , déni positif si hx|xi > 0
pour tout x ∈ V \ {0}.
Soit h · | ·i un produit hermitien sur V . Vérier, pour tous x, y, y ∈ V et a ∈ C :
0
1. a)
hx|ay + y 0 i = ahx|yi + hx|y 0 i .
b)
2. a)
Vérier que l'application ϕ : V × V → C dénie par ϕ(x, y) = P x y , où les x , y sont
les coordonnées de x et y dans une base xée de V , est un produit hermitien déni positif.
Soit h · | · i un produit hermitien positif sur V et soit ρ : G −→ Gl(V ) une représentation
linéaire du goupe ni G. Montrer que le produit ( · | · ) déni pour tout u, v ∈ V par
n
i=1
(u|v) =
1 X
hρ(g)(u)|ρ(g)(v)i
|G|
est un produit hermitien déni positif.
g∈G
i i
i
i
b)
Montrer que ce produit hermitien est un invariant de la représentation, c'est-à-dire
ρ(g)u|ρ(g)v = (u|v)
3.
pour tout g ∈ G et tous u, v ∈ V .
Soit W un sous-espace vectoriel de V . On dénit l'orthogonal W de W pour le produit
hermitien ( · | · ) par :
⊥
W ⊥ = {v ∈ V, ∀ w ∈ W, (v|w) = 0}.
On suppose que W est une sous-représentation de V .
Montrer qu'il en va de même pour W (on pourra utiliser l'égalité montrée à la question
précédente).
Montrer qu'on a V = W ⊕W en tant que C-espaces vectoriels et en tant que représentations
de G.
On se donne deux sous-représentations W et W de V , telles que V = W ⊕W en tant qu'espaces
vectoriels.
On xe une base {e , . . . , e } de W , qu'on complète par une base {e , . . . , e } de W pour
former la base B de V . Montrer que B est orthonormale pour le produit hermitien h · | · i
déni en 1.b.
Soient 1 ≤ i ≤ r et r + 1 ≤ j ≤ n, montrer que (e | e ) = 0, où ( · | · ) est le produit
hermitien construit comme au 2.a à partir de h · | · i déni ci-dessus. En déduire que W est
l'orthogonal de W pour ( · | · ), puis que ρ est isomorphe à ρ ⊕ ρ .
Quel complément au théorème de semi-simplicité ce résultat permet-il d'énoncer?
⊥
a)
⊥
b)
4.
0
a)
1
0
r
r+1
b)
i
n
0
j
0
W
W0
c)
Exercice 4
Soient n un entier et G un groupe de cardinal n. On considère la représentation régulière ρ de G
dans C , qui à g ∈ G associe l'isomorphisme
n
ρ(g) : Cn −→ Cn
ei 7−→ egi ,
où B = {e , i ∈ G} désigne une base de CP. On note {e , i ∈ G} la base duale de B et V la
sous-représentation de ρ engendrée par
v=
e.
P
Montrer que le noyau W de x 7→ e (x) est un supplémentaire de V dans C , en tant que
C-espace vectoriel et en tant que sous-représentation de ρ.
On suppose que W contient une sous-représentation isomorphe à V .
Montrer qu'alors il existe w ∈ W tel que ρ(g)(w) = w pour tout g ∈ G ;
en déduire que w ∈ V .
Conclusion?
W contient-il une sous-représentation de degré 1?
∗
i
n
i
i∈G i
1.
2.
3.
∗
i∈G i
n