feuille3 1

Université Pierre et Marie Curie
MIME 26
Année 2007-2008
LM 120
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Feuille d'exercices n 3
Espaces vectoriels & Applications linéaires
Exercice 1:
Soit E1 , ..., Ep des sous-espaces vectoriels de Rn .
1. Montrer que si E1 ∩ E2 = {0}, alors la somme E1 + E2 est directe.
2. On suppose que E1 ∩ E2 ∩ E3 = {0}. En général, la somme E1 + E2 + E3 est-elle directe ?
3. Démontrer que la somme E1 + ...+ Ep est directe si et seulement si pour tout k ∈ {2, 3, ..., p},
on a :
(E1 + ... + Ek−1 ) ∩ Ek = {0}
Exercice 2:
Les applications suivantes sont-elles linéaires ?
f1 : R3 → R2 , dénie par f1 (x, y, z) = (x, y), √
f2 : R2 → R4 , dénie par f2 (x, y) = (−αx, y + 2 x, 0, β(2x − y)),
f3 : R2 → R2 , dénie par f3 (x, y) = (x, −1),
f4 : R3 → R, dénie par f4 (x, y, z) = ax + by + cz, a, b, c ∈ R,
f5 : R2 → R2 , dénie par f5 (x, y) = (|x|, y),
f6 : R2 → R3 , dénie par f6 (x, y) = 3(x, y, x − y).
α, β ∈ R,
Exercice 3:
On considère les applications f1 , f4 et f6 de l'exercice précédent. Déterminer toutes les compositions possibles, en précisant les ensembles de départ et d'arrivée (on se limitera à la composition
entre deux fonctions).
Exercice 4:
Soit X et Y deux ensembles. Soit f : X → Y et g : Y → X deux applications telles que
f ◦ g = idY .
1. Montrer que f est surjective et que g est injective.
2. On suppose de plus que g ◦ f = idX . Que peut-on dire de f et g ?
Exercice 5:
Soit E et F deux sous-espaces vectoriels de Rn , f : E → F une application linéaire.
1. On pose Im f = {f (x), x ∈ E}. Montrer que f est surjective si et seulement si Im f = F .
2. On pose Ker f = {x ∈ E | f (x) = 0}. Montrer que f est injective si et seulement si Ker f =
{0}.
Exercice 6:
Soit g : R3 → R3 , dénie par g(x, y, z) = (y, z, x).
1. Montrer que g est une application linéaire.
2. Calculer g 2 = g ◦ g , g 3 , g 4 . Que vaut g 11 ?
3. g est-elle un isomorphisme ? Si oui, déterminer g −1 .
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