1. Rappels sur la loi binomiale

Chapitre 4 : loi normale
T RHC
ompétences :
 Utiliser une calculatrice ou un tableur pour calculer une probabilité dans le cadre d’une loi
normale.
 Connaître et interpréter graphiquement une valeur approchée de la probabilité de
l’évènement
lorsque suit une loi normale d’espérance et d’écart
type .
1. Rappels sur la loi binomiale
a. Epreuve de Bernoulli, schéma de Bernoulli et loi binomiale :
Soit
. On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre
deux issues :
une épreuve aléatoire comportant
Un schéma de Bernoulli de paramètres et est une épreuve aléatoire consistant à répéter n fois,
de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre p.
On compte alors le nombre de succès obtenus à l’issue des
aléatoire indiquant le nombre de succès.
épreuves et on appelle
la variable
La loi binomiale permet de calculer la probabilité d’un nombre de succès d’une épreuve de
Bernoulli ; cette probabilité dépend de 3 paramètres :

: le nombre de répétitions

: la probabilité d’un succès lors de l’épreuve de Bernoulli

: le nombre de succès attendus
On dit que la variable aléatoire
suit une loi binomiale de paramètres
et
et on écrit :
.
Chapitre 4 : loi normale
T RHC
Remarque : cette probabilité de la variable aléatoire
d’un tableur.
CASIO
Syntaxe
Touche OPTN, puis choisir
STAT, puis DIST, puis BINM,
puis Bpd ou Bcd
BinomialePD(k,n,p)
BinomialeCD(k,n,p)
se calcule à l’aide de la machine ou à l’aide
TEXAS INSTRUMENT
Tableur
nde
Menu distrib (2 var)puis
choisir binomFdp ou
binomFRép
BinomFdp(n,p,k)
BinomFRép(n,p,k)
Fonction LOI.BINOMIALE
=LOI.BINOMIALE(k,n,p ;0)
=LOI.BINOMIALE(k,n,p ;1)
b. Représentation graphique :
On représente la loi binomiale à l’aide d’un diagramme en bâtons, en indiquant les nombres de
succès k en abscisses et les probabilités des évènements
en ordonnées.
Exemples :
c. Espérance :
Lorsqu’on simule un très grand nombre de fois un schéma de Bernoulli de paramètre et , la
moyenne du nombre de succès par schéma se rapproche d’un nombre réel appelé espérance
mathématique de la loi binomiale de paramètres et , et que l’on note
.
2. Loi normale :
a. Définition :
Le diagramme en bâtons d’une loi binomiale de paramètres et lorsque est « grand » et n’est
« ni trop proche de 0 ni trop proche de 1 » peut être approché par une courbe « en cloche ».
Cette courbe est celle d’une fonction, appelée densité de probabilité, qui définit une nouvelle loi de
probabilité appelée loi normale.
Chapitre 4 : loi normale
T RHC
Propriétés : deux paramètres caractérisent cette loi :
 Son espérance , égale à celle de la loi binomiale qu’elle approche , c’est-à-dire :
 Son écart-type
Nous pouvons noter que a variable aléatoire
.
qui suit une loi normale de paramètre
et
s’écrit
b. Calculs de probabilités :
Soit
et a et b deux réels tels que
La probabilité
que la variable aléatoire X prenne des valeurs dans l’intervalle
est égale à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équations
Remarque : de la même manière, on a :
Chapitre 4 : loi normale
T RHC
Utilisation de la calculatrice :
CASIO
TEXAS INSTRUMENT
Touche OPTN, puis choisir
STAT, puis DIST, puis NORM,
puis Ncd
NormCD(a,b,
)
NormCD(-10^99,b,
)
NormCD(a,10^99,
)
Syntaxe
nde
Menu distrib (2 var)puis
choisir normalFrép
normalFRép(a,b,
)
normalFRép(-10^99,b,
)
normalFRép(a,10^99,
)
Remarque : comme la notion d’infini n’existe pas pour la calculatrice, on utilise un nombre
extrêmement petit (
ou extrêmement grand
.
Propriétés :
 La courbe d’une loi normale d’espérance
est symétrique par rapport à la droite d’équation
 L’aire sous la courbe d’une loi normale est égale à 1.



c. Intervalle de fluctuation «
Soit une variable aléatoire
comprise dans l’intervalle
»:
qui suit une loi normale
est de 0,95
Si
alors
, la probabilité que cette variable soit