1. Rappels sur la loi binomiale

Chapitre 4 : loi normale T RHC
ompétences :
 Utiliser une calculatrice ou un tableur pour calculer une probabilité dans le cadre d’une loi
normale.
 Connaître et interpréter graphiquement une valeur approchée de la probabilité de
l’évènement         lorsque  suit une loi normale d’espérance  et d’écart
type.
1. Rappels sur la loi binomiale
a. Epreuve de Bernoulli, schéma de Bernoulli et loi binomiale :
Soit    . On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre  une épreuve aléatoire comportant
deux issues :
Un schéma de Bernoulli de paramètres  et  est une épreuve aléatoire consistant à répéter n fois,
de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre p.
On compte alors le nombre de succès obtenus à l’issue des  épreuves et on appelle  la variable
aléatoire indiquant le nombre de succès.
La loi binomiale permet de calculer la probabilité d’un nombre de succès d’une épreuve de
Bernoulli ; cette probabilité dépend de 3 paramètres :
  : le nombre de répétitions
  : la probabilité d’un succès lors de l’épreuve de Bernoulli
  : le nombre de succès attendus
On dit que la variable aléatoire  suit une loi binomiale de paramètres  et  et on écrit : .

Chapitre 4 : loi normale T RHC
Remarque : cette probabilité de la variable aléatoire  se calcule à l’aide de la machine ou à l’aide
d’un tableur.
CASIO
TEXAS INSTRUMENT
Tableur
Syntaxe
Touche OPTN, puis choisir
STAT, puis DIST, puis BINM,
puis Bpd ou Bcd
Menu distrib (2nde var)puis
choisir binomFdp ou
binomFRép
Fonction LOI.BINOMIALE
BinomialePD(k,n,p)
BinomFdp(n,p,k)
=LOI.BINOMIALE(k,n,p ;0)
BinomialeCD(k,n,p)
BinomFRép(n,p,k)
=LOI.BINOMIALE(k,n,p ;1)
b. Représentation graphique :
On représente la loi binomiale à l’aide d’un diagramme en bâtons, en indiquant les nombres de
succès k en abscisses et les probabilités des évènements    en ordonnées.
Exemples :
c. Espérance :
Lorsqu’on simule un très grand nombre de fois un schéma de Bernoulli de paramètre  et , la
moyenne du nombre de succès par schéma se rapproche d’un nombre réel appelé espérance
mathématique de la loi binomiale de paramètres  et , et que l’on note  .
2. Loi normale :
a. Définition :
Le diagramme en bâtons d’une loi binomiale de paramètres et lorsque  est « grand » et  n’est
« ni trop proche de 0 ni trop proche de 1 » peut être approché par une courbe « en cloche ».
Cette courbe est celle d’une fonction, appelée densité de probabilité, qui définit une nouvelle loi de
probabilité appelée loi normale.

Chapitre 4 : loi normale T RHC
Propriétés : deux paramètres caractérisent cette loi :
 Son espérance , égale à celle de la loi binomiale qu’elle approche , c’est-à-dire :     
 Son écart-type         
Nous pouvons noter que a variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètre  et  s’écrit
.
b. Calculs de probabilités :
Soit   et a et b deux réels tels que   
La probabilité      que la variable aléatoire X prenne des valeurs dans l’intervalle  
est égale à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équations
Remarque : de la même manière, on a :

Chapitre 4 : loi normale T RHC
Utilisation de la calculatrice :
CASIO
TEXAS INSTRUMENT
Syntaxe
Touche OPTN, puis choisir
STAT, puis DIST, puis NORM,
puis Ncd
Menu distrib (2nde var)puis
choisir normalFrép
NormCD(a,b, )
normalFRép(a,b, )
NormCD(-10^99,b, )
normalFRép(-10^99,b, )
NormCD(a,10^99, )
normalFRép(a,10^99, )
Remarque : comme la notion d’infini n’existe pas pour la calculatrice, on utilise un nombre
extrêmement petit ( ou extrêmement grand .
Propriétés :
 La courbe d’une loi normale d’espérance  est symétrique par rapport à la droite d’équation
 L’aire sous la courbe d’une loi normale est égale à 1.
c. Intervalle de fluctuation «  » :
Soit une variable aléatoire  qui suit une loi normale  , la probabilité que cette variable soit
comprise dans l’intervalle       est de 0,95
Si   alors          