Cours TS : calcul intégral

Ch7 : Calcul intégral-TS
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CALCUL INTEGRAL
I. ACTIVITES D’INTRODUCTION
Activité n°1 :
Tracer dans un repère orthonormal la représentation graphique de la fonction f définie par : f(x) = 5.
Hachurer l'aire du domaine plan déterminé par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les
droites d'équation x = a (on prendra a = 1) et x = b (avec 0 < a < b).
Calculer cette aire.
Trouver une fonction F(x) telle que sa dérivée vaut f(x) = 5.
Calculer F(b) – F(a). Que remarque t’on ?
Activité n°2 :
Tracer dans un repère orthonormé la représentation graphique de la fonction f définie par : f(x) = x – 1
Hachurer l'aire du domaine plan déterminé par la courbe représentative de la fonction f, l'axe des
abscisses et les droites d'équation x = a (on prendra a= 2) et x = b (avec 1 < a < b).
Calculer cette aire.
Trouver une fonction F(x) telle que sa dérivée vaut f(x) = x – 1.
Calculer F(b) – F(a). Que remarque t’on ?
Activité n°3 : Chute des corps - loi horaire
La cinématique fournit une illustration de la notion de dérivée : la loi vitesse est la dérivée de la loi
horaire, et l'accélération la dérivée de la vitesse.
Essayons d'étudier le problème inverse : retrouver la loi horaire, à partir de l'accélération.
Dans un repère terrestre (en négligeant les forces de résistance de l'air), un corps de masse m
abandonné en chute libre est soumis à la seule action de son poids : gm
ρ
.
Dans ce mouvement l'accélération est donc constante et égale à l'intensité g de la pesanteur en ce
lieu. (on prendra g = 10 m.s
-2
).
Considérons le repère vertical (O, k
ρ
). On a g
ρ
= - 10 k
ρ
.
On note a, v et z l'accélération, la vitesse et l'abscisse du point M dans le repère (O, k
ρ
).
Ces grandeurs sont des fonctions du temps t.
On sait que
=−= )(')(
10)(
tvta
ta
; (v'(t) est aussi noté )(t
dt
dv
).
I. a) Trouvez deux fonctions f et g telles que 10)()(')('
−
=
=
=
tatgtf
b) Montrez que l'on a v(t) = - 10t + v
o
; où v
o
est la vitesse de M à l'instant t = 0.
II. On sait que )(')( tztv
=
. On suppose que v
o
= 3
a) Trouver deux fonctions h et k telles que 310)(')('
+
−
=
=
ttkth
b) Montrer que l'on a z(t) = -5t² + 3t + z
o
, où z
o
est l'abscisse de M sur l'axe (O, k
ρ
) à l'instant t = 0.
III. Application : A l'instant t = 0 une bille est lancée verticalement vers le haut à partir du point O,
avec une vitesse de 25 m.s
-1
.
a) Ecrivez la loi horaire z(t) du mouvement.
b) Et à quel instant la bille repassera-t-elle par le point 0 .

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II. PRIMITIVES
a) Définition
Définition : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Une fonction F définie sur I est une primitive de f lorsque f est la dérivée de Fsur I.
On note F' = f ou F’(x) = f(x)
Théorème : Toute fonction dérivable sur un intervalle I admet une primitive sur I.
Théorème 2 : Les primitives de f sur un intervalle diffèrent entre elles d'une constante ; les
primitives de f sont de la forme F + k (où k est une constante).
Démonstration :
Soit F est une primitive de f, on peut vérifier que (F + k)' = F' + k' = F' + 0 = F' = f
Soit G est une autre primitive de f.
On définit H = G – F ; on a sans problème H' = G' – F' = f – f = 0
H' est nulle sur I donc H est constante, c’est à dire G – F = k, ou encore G = F + k.
b) Recherche pratique d’une primitive
Intégrer (ou "primitiver"), c'est dériver à l'envers.
Les primitives des fonctions de référence se déduisent donc des différentes formules de dérivation en
« lisant » le tableau des dérivées à l’envers.
k 0
x 1
x
2
2x
x
3
3x
2
x
n
n x
n−1
1
x − 1
x
2
1
x
n
−n
x
n+1
x 1
2x
e
x
e
x
ln(x) 1
x
sin(x) cos(x)
cos(x) − sin(x)
tan(x) 1
cos²(x) = 1 + tan
2
dérivée
primitive

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Remarque :
Pour montrer qu'une fonction F est une primitive de la fonction f, il suffit simplement de démontrer
que la dérivée F' est égale à f.
Exercice n°1 :
Soit F(x) = 2x − 3
1 − x + π. Montrer que F est une primitive de la fonction f définie par : f(x) = − 1
(1 − x)
2
Exercice n°2 :
1) Déterminer une primitive sur IR de f(x) = x
3
– 2x + 3.
2) Déterminer les primitives sur IR de f(x) = x
3
– 2x + 3.
3) Déterminer la primitive sur IR de f(x) = x
3
– 2x + 3 telle que F(0) = 1.
Remarque :
La primitive d'une somme est la somme des primitives.
La primitive d'un produit d'une constante par une fonction est le produit de cette constante par la
primitive de la fonction.
Exercice n°3 :
1) Soit f(x) = 9x² – 2x + 4 Trouver une primitive de f(x) sur IR
Soit f(x) = x
3
− 2x + 1
3 Trouver une primitive de f(x) sur IR
Soit f(x) = x
3
+ 1
x
2
Trouver une primitive de f(x) sur IR*
2) Déterminer la dérivée de u
n+1
et en déduire une primitive de u'u
n
(n ∈ Z)
Soit f(x) = x(1 + x²)
3
Trouver une primitive de f(x) sur IR
(commencer par chercher la dérivée de (1 + x²)).
Soit f(x) = (2x – 1)(x² – x)
3
Trouver une primitive de f(x) sur IR
Soit f(x) = (2x + 1)
7
Trouver une primitive de f(x) sur IR
3) Déterminer la dérivée de 1
u et en déduire une primitive de u’ u²
Soit f(x) = 1
1
2x − 1
2
Trouver une primitive de f(x) sur ]2 ; + ∞ [
4) Déterminer la dérivée de 2 u et en déduire une primitive de u’
u
Soit f(x) = 2
2x − 1 Trouver une primitive de f(x) sur ]1/2 ; + ∞ [
Soit f(x) = x
4
– 4x Trouver une primitive de f(x) sur ]0 ; + ∞ [
Soit f(x) = x
3
x
4
+ 1 Trouver une primitive de f(x) sur IR

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III. INTEGRALES
a) Définition
Nous avons vu que les primitives de f sur un intervalle diffèrent entre elles d'une constante.
On a alors, pour F et G primitives de f : (F – G)(a) = (F – G)(b) = 0,
c'est à dire F(a) – F(b) = G(a) – G(b)
Définition : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I, F une de ses primitives sur I et a et b
deux nombres réels de I.
On appelle intégrale de f de a à b le nombre réel F(b) – F(a) que l’on note ⌡
⌠
a
b
f(t) dt
Cela ne dépend pas du choix de la primitive ; cela dépend uniquement des bornes a et b et de la
fonction initiale.
Le « t » est la variable par rapport à laquelle on calcule la primitive.
En mathématiques, on la remplace souvent par x..
On lit "intégrale de a à b de f(t) dt ; " et on écrit ⌡
⌠
a
b
f(t) dt = [F(t)]
b
a
= F(b) – F(a).
Exercice n°4:
1) Calculer ⌡
⌠
–2
5
3t dt
2) Calculer ⌡
⌠
4
6
x
2
− 5x + 1 dx
ATTENTION :
1 primitive  c'est une fonction
1 intégrale  c'est un nombre (positif, négatif ou nul) calculé à partir d'une primitive
b) Interprétation géométrique
Théorème : Soit une fonction f dérivable et positive sur un intervalle [ a ; b ] avec a < b et C sa
représentation graphique dans un repère orthogonal.
L'aire du domaine limité par l'axe des abscisses, la courbe C, les droites d'équations x = a et x = b est
mesurée en unité d'aire par : A= ⌡
⌠
a
b
f(t) dt
Exercice n°5 :
Tracer la représentation graphique de f(x) = – x² + 4x – 3 puis calculer l’aire du domaine limité par
l'axe des abscisses, la courbe C et les droites d'équations x = 1 et x = 3.

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c) Propriétés de l’intégrale
• Relation de Chasles (référence aux vecteurs) :
Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I ; pour tous nombres réels a, b et c de I, on a :
⌡
⌠
a
b
f(t) dt = ⌡
⌠
a
c
f(t) dt + ⌡
⌠
c
b
f(t) dt
C'est assez facile à comprendre si on se rappelle que l'intégrale correspond à un calcul d'aire.
Preuve : ⌡
⌠
a
b
f(t) dt = F(b) – F(a) = [F(b) – F(c)] + [F(c) – F(a)] = ⌡
⌠
c
b
f(t) dt + ⌡
⌠
a
c
f(t) dt
• Intégrale d'une somme de fonctions :
Soit deux fonctions f et g dérivables sur un intervalle I ; pour tous nombres réels a et b de I, on a :
⌡
⌠
a
b
(f + g)(t) dt = ⌡
⌠
a
b
f(t) dt + ⌡
⌠
a
b
g(t) dt
Preuve : ⌡
⌠
a
b
(f + g)(t) dt = [(F + G)(t)]
b
a
= (F+G)(b) – (F+G)(a) = F(b) – F(a) + G(b) – G(a)
= [(F)(t)]
b
a
+ [(G)(t)]
b
a
= ⌡
⌠
a
b
f(t) dt + ⌡
⌠
a
b
g(t) dt
• Intégrale d'un produit d'une fonction par un nombre réel :
Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I ; pour tous nombres réels a et b de I, on a :
⌡
⌠
a
b
αf(t) dt = α⌡
⌠
a
b
f(t) dt
Preuve : ⌡
⌠
a
b
αf(t) dt = [(αF)(t)]
b
a
= α[(F)(t)]
b
a
= α⌡
⌠
a
b
f(t) dt
• linéarité de l’intégrale :
⌡
⌠
a
b
(αf + βg)(t) dt = α⌡
⌠
a
b
f(t) dt + β⌡
⌠
a
b
g(t) dt
C’est une conséquence des 2 propriétés précédentes.
• Positivité de l'intégrale :
Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I ; pour tous nombres réels a et b de I tels que a ≤ b,
Si f ≥ 0 sur [ a ; b ], alors : ⌡
⌠
a
b
f(t) dt ≥ 0
Preuve : La fonction f est positive donc F est croissante (car sa dérivée f est positive)
donc, a ≤ b entraîne F(a) ≤ F(b) soit F(b) – F(a) ≥ 0.
• Conservation de l'ordre :
Soit 2 fonctions f et g dérivables sur un intervalle I ; pour tous nombres réels a et b de I tels que a ≤ b.
Si f ≤ g sur I, alors : ⌡
⌠
a
b
f(t) dt ≤ ⌡
⌠
a
b
g(t) dt
Conséquence de la propriété précédente.
Exercice n°6 :
1) Démontrer que pour tout x de [ 0 ; + ∞ [ on a : 1 – x ≤ 1
1 + x ≤ 1 – x + x²
2) En déduire un encadrement de I définie par : I = ⌡
⌠
0
1
1
1 + t² dt.