Cours TS : calcul intégral

Ch7 : Calcul intégral-TS
CALCUL INTEGRAL
I.
ACTIVITES D’INTRODUCTION
Activité n°1 :
Tracer dans un repère orthonormal la représentation graphique de la fonction f définie par : f(x) = 5.
Hachurer l'aire du domaine plan déterminé par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les
droites d'équation x = a (on prendra a = 1) et x = b (avec 0 < a < b).
Calculer cette aire.
Trouver une fonction F(x) telle que sa dérivée vaut f(x) = 5.
Calculer F(b) – F(a). Que remarque t’on ?
Activité n°2 :
Tracer dans un repère orthonormé la représentation graphique de la fonction f définie par : f(x) = x – 1
Hachurer l'aire du domaine plan déterminé par la courbe représentative de la fonction f, l'axe des
abscisses et les droites d'équation x = a (on prendra a= 2) et x = b (avec 1 < a < b).
Calculer cette aire.
Trouver une fonction F(x) telle que sa dérivée vaut f(x) = x – 1.
Calculer F(b) – F(a). Que remarque t’on ?
Activité n°3 : Chute des corps - loi horaire
La cinématique fournit une illustration de la notion de dérivée : la loi vitesse est la dérivée de la loi
horaire, et l'accélération la dérivée de la vitesse.
Essayons d'étudier le problème inverse : retrouver la loi horaire, à partir de l'accélération.
Dans un repère terrestre (en négligeant les forces de résistance de l'air), un corps de masse m
ρ
abandonné en chute libre est soumis à la seule action de son poids : mg .
Dans ce mouvement l'accélération est donc constante et égale à l'intensité g de la pesanteur en ce
lieu. (on prendra g = 10 m.s-2).
ρ
ρ
ρ
Considérons le repère vertical (O, k ). On a g = - 10 k .
ρ
On note a, v et z l'accélération, la vitesse et l'abscisse du point M dans le repère (O, k ).
Ces grandeurs sont des fonctions du temps t.
a (t ) = −10
;
a (t ) = v' (t )
dv
(t ) ).
dt
a) Trouvez deux fonctions f et g telles que f ' (t ) = g ' (t ) = a (t ) = − 10
On sait que 
I.
(v'(t) est aussi noté
b) Montrez que l'on a v(t) = - 10t + vo ; où vo est la vitesse de M à l'instant t = 0.
II. On sait que v(t ) = z ' (t ) . On suppose que vo = 3
a) Trouver deux fonctions h et k telles que h' (t ) = k ' (t ) = − 10 t + 3
ρ
b) Montrer que l'on a z(t) = -5t² + 3t + zo, où zo est l'abscisse de M sur l'axe (O, k ) à l'instant t = 0.
III. Application : A l'instant t = 0 une bille est lancée verticalement vers le haut à partir du point O,
avec une vitesse de 25 m.s-1.
a) Ecrivez la loi horaire z(t) du mouvement.
b) Et à quel instant la bille repassera-t-elle par le point 0 .
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II.
PRIMITIVES
a) Définition
Définition : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Une fonction F définie sur I est une primitive de f lorsque f est la dérivée de Fsur I.
On note F' = f ou F’(x) = f(x)
Théorème : Toute fonction dérivable sur un intervalle I admet une primitive sur I.
Théorème 2 : Les primitives de f sur un intervalle diffèrent entre elles d'une constante ; les
primitives de f sont de la forme F + k (où k est une constante).
Démonstration :
Soit F est une primitive de f, on peut vérifier que (F + k)' = F' + k' = F' + 0 = F' = f
Soit G est une autre primitive de f.
On définit H = G – F ; on a sans problème H' = G' – F' = f – f = 0
H' est nulle sur I donc H est constante, c’est à dire G – F = k, ou encore G = F + k.
b) Recherche pratique d’une primitive
Intégrer (ou "primitiver"), c'est dériver à l'envers.
Les primitives des fonctions de référence se déduisent donc des différentes formules de dérivation en
« lisant » le tableau des dérivées à l’envers.
dérivée
k
x
x2
x3
xn
1
x
1
n
x
x
0
1
2x
3x2
n xn−1
1
− 2
x
n
− n+1
x
1
2 x
ex
1
x
cos(x)
− sin(x)
ex
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tan(x)
1 = 1 + tan2
cos²(x)
primitive
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Remarque :
Pour montrer qu'une fonction F est une primitive de la fonction f, il suffit simplement de démontrer
que la dérivée F' est égale à f.
Exercice n°1 :
1
2x − 3
+ π. Montrer que F est une primitive de la fonction f définie par : f(x) = −
Soit F(x) =
2
1−x
(1 − x)
Exercice n°2 :
1) Déterminer une primitive sur IR de f(x) = x3 – 2x + 3.
2) Déterminer les primitives sur IR de f(x) = x3 – 2x + 3.
3) Déterminer la primitive sur IR de f(x) = x3 – 2x + 3 telle que F(0) = 1.
Remarque :
La primitive d'une somme est la somme des primitives.
La primitive d'un produit d'une constante par une fonction est le produit de cette constante par la
primitive de la fonction.
Exercice n°3 :
1) Soit f(x) = 9x² – 2x + 4
Trouver une primitive de f(x) sur IR
3
x − 2x + 1
Soit f(x) =
Trouver une primitive de f(x) sur IR
3
3
x +1
Soit f(x) = 2
Trouver une primitive de f(x) sur IR*
x
2) Déterminer la dérivée de un+1 et en déduire une primitive de u'un (n ∈ Z)
Soit f(x) = x(1 + x²)3
Trouver une primitive de f(x) sur IR
(commencer par chercher la dérivée de (1 + x²)).
Soit f(x) = (2x – 1)(x² – x)3
Trouver une primitive de f(x) sur IR
Soit f(x) = (2x + 1)7
Trouver une primitive de f(x) sur IR
u’
1
3) Déterminer la dérivée de et en déduire une primitive de
u
u²
1
Soit f(x) =
Trouver une primitive de f(x) sur ]2 ; + ∞ [
1x − 12


2

u’
4) Déterminer la dérivée de 2 u et en déduire une primitive de
u
2
Soit f(x) =
Trouver une primitive de f(x) sur ]1/2 ; + ∞ [
2x − 1
Soit f(x) = x4 – 4
Trouver une primitive de f(x) sur ]0 ; + ∞ [
x
3
x
Soit f(x) = 4
Trouver une primitive de f(x) sur IR
x +1
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III.
INTEGRALES
a) Définition
Nous avons vu que les primitives de f sur un intervalle diffèrent entre elles d'une constante.
On a alors, pour F et G primitives de f : (F – G)(a) = (F – G)(b) = 0,
c'est à dire F(a) – F(b) = G(a) – G(b)
Définition : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I, F une de ses primitives sur I et a et b
deux nombres réels de I.
b
On appelle intégrale de f de a à b le nombre réel F(b) – F(a) que l’on note ⌠ f(t) dt
⌡a
Cela ne dépend pas du choix de la primitive ; cela dépend uniquement des bornes a et b et de la
fonction initiale.
Le « t » est la variable par rapport à laquelle on calcule la primitive.
En mathématiques, on la remplace souvent par x..
b
On lit "intégrale de a à b de f(t) dt ; " et on écrit ⌠ f(t) dt = [F(t)]ba = F(b) – F(a).
⌡a
Exercice n°4:
5
1) Calculer ⌠ 3t dt
⌡–2
6 2
2) Calculer ⌠
⌡4 x − 5x + 1 dx
ATTENTION :
1 primitive c'est une fonction
1 intégrale c'est un nombre (positif, négatif ou nul) calculé à partir d'une primitive
b) Interprétation géométrique
Théorème : Soit une fonction f dérivable et positive sur un intervalle [ a ; b ] avec a < b et C sa
représentation graphique dans un repère orthogonal.
L'aire du domaine limité par l'axe des abscisses, la courbe C, les droites d'équations x = a et x = b est
b
mesurée en unité d'aire par : A= ⌠ f(t) dt
⌡a
Exercice n°5 :
Tracer la représentation graphique de f(x) = – x² + 4x – 3 puis calculer l’aire du domaine limité par
l'axe des abscisses, la courbe C et les droites d'équations x = 1 et x = 3.
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c) Propriétés de l’intégrale
•
Relation de Chasles (référence aux vecteurs) :
Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I ; pour tous nombres réels a, b et c de I, on a :
⌠ b f(t) dt = ⌠ c f(t) dt + ⌠ b f(t) dt
⌡a
⌡a
⌡c
C'est assez facile à comprendre si on se rappelle que l'intégrale correspond à un calcul d'aire.
b
b
c
Preuve : ⌠ f(t) dt = F(b) – F(a) = [F(b) – F(c)] + [F(c) – F(a)] = ⌠ f(t) dt + ⌠ f(t) dt
⌡a
⌡c
⌡a
•
Intégrale d'une somme de fonctions :
Soit deux fonctions f et g dérivables sur un intervalle I ; pour tous nombres réels a et b de I, on a :
⌠ b (f + g)(t) dt = ⌠ b f(t) dt + ⌠ b g(t) dt
⌡a
⌡a
⌡a
b
b
Preuve : ⌠ (f + g)(t) dt = [(F + G)(t)]a = (F+G)(b) – (F+G)(a) = F(b) – F(a) + G(b) – G(a)
⌡a
b
b
= [(F)(t)]ba + [(G)(t)]ba = ⌠ f(t) dt + ⌠ g(t) dt
⌡a
⌡a
•
Intégrale d'un produit d'une fonction par un nombre réel :
Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I ; pour tous nombres réels a et b de I, on a :
⌠ b αf(t) dt = α⌠ b f(t) dt
⌡a
⌡a
b
b
Preuve : ⌠ αf(t) dt = [(αF)(t)]ba = α[(F)(t)]ba = α⌠ f(t) dt
⌡a
⌡a
•
linéarité de l’intégrale :
⌠ b (αf + βg)(t) dt = α⌠ b f(t) dt + β⌠ b g(t) dt
⌡a
⌡a
⌡a
C’est une conséquence des 2 propriétés précédentes.
•
Positivité de l'intégrale :
Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I ; pour tous nombres réels a et b de I tels que a ≤ b,
b
Si f ≥ 0 sur [ a ; b ], alors : ⌠ f(t) dt ≥ 0
⌡a
Preuve : La fonction f est positive donc F est croissante (car sa dérivée f est positive)
donc, a ≤ b entraîne F(a) ≤ F(b) soit F(b) – F(a) ≥ 0.
•
Conservation de l'ordre :
Soit 2 fonctions f et g dérivables sur un intervalle I ; pour tous nombres réels a et b de I tels que a ≤ b.
b
b
Si f ≤ g sur I, alors : ⌠ f(t) dt ≤ ⌠ g(t) dt
⌡a
⌡a
Conséquence de la propriété précédente.
Exercice n°6 :
1) Démontrer que pour tout x de [ 0 ; + ∞ [ on a : 1 – x ≤
1 ≤ 1 – x + x²
1+x
1
1
2) En déduire un encadrement de I définie par : I = ⌠
 1 + t² dt.
⌡0
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d) Valeur moyenne
Sur un intervalle [ a ; b ] avec a < b, la fonction est comprise entre m et M ; on a m ≤ f(t) ≤ M.
b
b
b
Si on intègre, on a alors ⌠ m dt ≤ ⌠ f(t) dt ≤ ⌠ M dt
⌡a
⌡a
⌡a
b
C'est à dire m(b – a) ≤ ⌠ f(t) dt ≤ M(b – a)
⌡a
1 ⌠b
Ou encore : m ≤
f(t) dt ≤ M.
b – a ⌡a
Définition : On appelle valeur moyenne d’une intégrale le nombre µ =
1 ⌠b
f(t) dt
b – a ⌡a
M
µ
m
b
a
Exercice n°7 :
Quelle est la valeur moyenne de la fonction x → sin(x) entre 0 et π ? Entre 0 et 2π ?
Donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
e) Calcul de volumes
b
Pour un volume V d’un solide entre les plans
z = a et z = b dont la section avec un plan à la
hauteur h a pour aire S(h), on a :
b
V = ⌠ S(h) dh
⌡a
S(h)
h
a
Exercice n°8 :
 
On considère l’espace muni d’un repère orthonormé (O, i , j , k).
2
1) Représenter dans le plan (yOz) la parabole d’équation z = y sur l’intervalle [ – 2 ; 2 ].
2) En déduire la représentation d’un paraboloïde de hauteur 4 obtenue par rotation de la figure
précédente autour de l’axe (Oz).
3) Calculer le volume du solide obtenu.
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IV.
INTEGRATION PAR PARTIES
On suppose que toutes les fonctions utilisées ont des primitives sur les intervalles considérés.
Il arrive que l’on n’arrive pas à calculer « directement » une intégrale. (par exemple pour
f(t) = tsin(t))
Il existe une méthode qui peut permettre de calculer tout de même ce type d’intégrale :
Théorème : soit u et v deux fonctions dérivables à dérivées continues sur un intervalle I et a et b
deux réels de I, alors :
⌠ bu(t)×v’(t) dt = [u(t)×v(t)]ba – ⌠ bu'(t)×v(t) dt
⌡a
⌡a
Démonstration :
D’après la formule : (uv)’ = u’v + uv’ donc : uv’ = (uv)’ – u’v
b
b
b
En intégrant terme à terme : ⌠ u(t)×v’(t) dt = ⌠ (u(t)×v(t))' dt – ⌠ u'(t)×v(t) dt.
⌡a
⌡a
⌡a
Exercice n°9 :
π
Calculer ⌠
⌡0 t sin t
V.
LOIS DE PROBABILITE CONTINUES (ou à densité)
Dans toutes les situations étudiées jusqu'à présent en probabilités, la variable aléatoire X prend un
nombre fini de valeurs x1, x2, x3, …….xn. On dit que X est discrète (tout comme en statistique).
Il existe cependant des variables aléatoires non discrètes, qui prennent toutes les valeurs d'un
intervalle de  (borné ou non).
a) Définitions
Définition : Une variable aléatoire X est dite continue lorsqu’elle peut prendre n’importe quelle
valeur d’un intervalle I de .
On s’intéresse alors à des événements du type : « La valeur de X est comprise entre les réels a et b »
Nous noterons (a  X  b) un tel événement.
Exemples : le temps d'attente à un arrêt de bus ; la durée de vie d'un transistor ; la distance du point
d'impact au centre d'une cible……
Densité de probabilité : On appelle densité de probabilité sur un intervalle I de  toute fonction f
définie sur I et vérifiant les trois conditions suivantes :
° f est positive sur I
⌠
(l’aire sous la courbe de f est égale à 1).
° ⌡ f (x) dx = 1
I
Remarque :
b
Si I est un intervalle [ a ; b ], la notation ⌠ f (x) dx est remplacée par la notation⌠ f(t) dt
⌡I
⌡a
x
• Lorsque I = [ a ; +  [ par exemple, ⌠ f (x) dx correspond à lim ⌠ f(t) dt.
⌡I
x → + ⌡a
Exercice n°10 :
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•
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Les fonctions suivantes sont-elles des densités de probabilité ?
1)
0 si t < 0
f(t) = t si 0  t  1
0 si t > 1
2) f(t) = 0 si t < 0
e–t si t  0
Loi de probabilité à densité : On définit la loi de probabilité P de densité f sur l’intervalle I de  en
b
posant pour tous réels a et b de I (avec a  b) : P( a  X  b) = ⌠ f(x) dx
⌡a
Autres notations possibles :
P( a  X  b) est aussi noté PX( [ a ; b ] ) ou simplement P( [ a ; b ] )
P( X  a ) est aussi noté P( [ a ; +  [ )
Exercice n°11 :
Pour chacune des fonctions définies dans l’exercice n°10, calculer les probabilités suivantes :
1) P( X  –2 )
2) P( X  0,7 )
3) P( X > 3 )
4) P( 0,5  X  3 )
b) Loi uniforme sur [ 0 ; 1 ]
Définition : On appelle loi uniforme sur [ 0 ; 1 ] la loi de probabilité dont la densité f est la fonction
constante égale à 1 sur [ 0 ; 1 ]
Théorème : Si P est la loi uniforme sur [ 0 ; 1 ], alors pour tous réels a et b de [ 0 ; 1 ] avec a  b :
b
P( [ a ; b ] ) = ⌠ 1 dx = [x]ab = b – a
⌡a
Remarque :
Si X est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [ 0 ; 1 ]
1
1
alors E(X) =
et V(X) = .
2
12
Exercice n°12 :
Le bus passe toutes les quarts d’heure à un arrêt précis. Un usager se présente à cet arrêt entre 7
heures et 8 heures.
La variable aléatoire sera l'heure exacte de son arrivée à cet arrêt, uniformément répartie sur
l'intervalle [ 0 ; 1 ].
1) Quelle est la probabilité que l'usager attende moins de 5 minutes le prochain bus ?
2) Quelle est la probabilité qu'il attende plus de dix minutes ?
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c) Loi exponentielle de paramètre λ
Définition : Soit λ un réel strictement positif.
On appelle loi exponentielle de paramètre λ la loi de probabilité dont la densité f est la fonction
t
définie sur [ 0 ; +  [ par f(t) = λ e–λ
Exemple :
La durée de vie, exprimée en années, d’un noyau radioactif ou d’un composant électronique est
modélisée par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle.
Théorème : Si P est la loi exponentielle de paramètre λ alors, pour tous réels positifs a et b tels que
b
b
–λx
–λt b
–λa
a  b, on a : P( [ a ; b ] ) = ⌠
– e–λ
⌡a λ e dx = [– e ]a = e
Propriété :
° Soit P la loi exponentielle de paramètre λ, pour tout réel positif t, alors
t
t
–λx
–λt
P( X  t ) = ⌠
et donc P( X > t ) = e–λ
⌡0 λ e dx = 1 – e
° Si X est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ, alors
1
1
E(X) =
et V(X) = 2
λ
λ
Exercice n°13 :
On suppose que la durée d'une conversation téléphonique, mesurée en minutes, est la variable
1
exponentielle de paramètre .
10
On arrive à une cabine téléphonique et juste à ce moment précis, une personne passe devant vous.
1) Quelle est la probabilité que l’on attende plus de dix minutes ?
2) Quelle est la probabilité que l’on attende entre dix et vingt minutes ?
Remarque :
On dit que la loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement.
Signification : si par exemple X désigne la durée de vie, exprimée en années, d’un composant
électronique, la probabilité qu’il fonctionne encore t années sachant qu’il a déjà fonctionné pendant s
années est la même que la probabilité qu’il fonctionne pendant au moins t années après sa mise en
service.
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VI.
EQUATIONS DIFFERENTIELLES
Une équation différentielle est une égalité liant une fonction y et une voire plusieurs de ses dérivées.
Sont par exemple des équations différentielles y' + cos(x)y = 0 et y' = cos(y)x.
Précisons que y est une fonction de variable x et que y' désigne la dérivée de la fonction y(x).
Pour alléger l'écriture, on préfère écrire y et y' au lieu de y(x) et y'(x).
Dans ces deux équations, l'inconnue est la fonction y(x).
Il existe une multitude de types d'équations différentielles. Celles que nous allons étudier sont les
équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants, c’est-à-dire les équations
différentielles de la forme : y' + ay = b.
a) Résolution des équations du type : y’ = ay
Théorème : Pour tous réels a et k, il existe une unique fonction f dérivable sur IR telle que f ’ = a f et
f(0) = k. C’est la fonction f(x) = k eax.
Démonstration :
• Soit f, la fonction définie sur  par f(x) = C eax.
f vérifie l’équation différentielle car f’(x) = aC eax = a f(x)
• Réciproquement, soit g une fonction dérivable sur  solution de l’équation y’ = ay.
Considérons la fonction h définie par : h(x) = e–ax×g(x) :
−ax
−ax
h’(x) = g’(x)e − g(x)ae
Or , g’(x) = ag(x) donc : h’(x) = 0 et alors h est une fonction constante sur .
Il existe C tel que : h(x) = C, c’est-à-dire e–ax×g(x) = C donc : g(x) = C eax
• Si de plus f(0) = k, alors C = k soit f(x) = k eax
Exemple n°14:
Résoudre les équations différentielles suivantes :
1) y’ = 2y
2) y − y’ = 0 et f(0) = 3
3) 3y’ + 4y = 0
b) Résolution des équations du type : y’ = ay + b
Théorème : Soient a et b deux réels avec a non nul.
° Les fonctions solutions de l’équation différentielle y’ = a y + b sont définies sur IR par :
b
f(x) = C eax –
, où k est une constante réelle.
a
° Soit (x0 ; y0) un couple de nombres réels.
L’équation différentielle y’ = a y + b admet une solution unique sur IR vérifiant : y0 = f(x0).
Exemple n°15:
Déterminer les fonctions qui vérifient :
1) y = 2y’ − 1
2) y − y’ = 5(y’ − 2)
3) 2y’ + y + 2 = 0 et f(0) = 2
4) 3y’ − y = 1 et f(0) = 2
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