CALCUL INTEGRAL - Mathématiques au lycée Bellepierre

BTS SIO
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CALCUL INTEGRAL
I. PRIMITIVES
a) Définition
Définition : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de IR.
Une fonction F définie sur I est une primitive de f lorsque f est la dérivée de F sur I.
On note : F ’ = f ou F’(x) = f(x)
Théorème : Toute fonction dérivable sur un intervalle I admet une primitive sur I.
Théorème 2 : Les primitives de f sur un intervalle diffèrent entre elles d'une constante; les primitives de f sont de la
forme F + k (où k est une constante).
Démonstration :
Soit F est une primitive de f, on peut vérifier que (F + k)' = F' + k' = F' + 0 = F' = f
Soit G est une autre primitive de f.
On définit H = G – F ; on a sans problème H' = G' – F' = f – f = 0
H' est nulle sur I donc H est constante, c’est à dire G – F = k, ou encore G = F + k.
b) Recherche pratique d’une primitive
Chercher une primitive, c'est dériver à l'envers.
Les primitives des fonctions de référence se déduisent donc des différentes formules de dérivation en « lisant » le
tableau des dérivées à l’envers.
x  IR
k
0
x  IR
x
1
x  IR
x2
2x
x  IR
x3
3x2
x  IR
xn
n xn
x  0
x
x
x  0
xn
 n
xn+1
x > 0
x
x
x  IR
ex
ex
x > 0
ln(x)
1
x
x  IR
sinx
cosx
x  IR
cosx
sinx
dérivée
primitive

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Remarque :
Pour montrer qu'une fonction F est une primitive de la fonction f, il suffit simplement de démontrer que la dérivée F '
est égale à f.
Remarque :
La primitive d'une somme est la somme des primitives.
La primitive d'un produit d'une constante par une fonction est le produit de cette constante par la primitive de la
fonction.
II. INTEGRALES
a) Définition
Nous avons vu que les primitives de f sur un intervalle diffèrent entre elles d'une constante.
On a alors, pour F et G primitives de f : (F – G)(a) = (F – G)(b) = 0,
c'est à dire F(a) – F(b) = G(a) – G(b)
Définition : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I, F une de ses primitives sur I et a et b deux nombres réels
de I.
On appelle intégrale de f de a à b le nombre réel F(b) – F(a) que l’on note 
a
b f(t) dt
Cela ne dépend pas du choix de la primitive ; cela dépend uniquement des bornes a et b et de la fonction initiale.
Le « t » est la variable par rapport à laquelle on calcule la primitive.
En mathématiques, on la remplace souvent par x.
On lit "intégrale de a à b de f(t) dt ; " et on écrit 
a
b f(t) dt = [F(t)]b
a = F(b) – F(a).
ATTENTION :
Une primitive  c'est une fonction
Une intégrale  c'est un nombre
b) Interprétation géométrique
Théorème : Soit une fonction f dérivable et positive sur un intervalle [ a ; b ] avec a < b et sa représentation
graphique dans un repère orthogonal.
L'aire du domaine limité par l'axe des abscisses, la courbe , les droites d'équations x = a et x = b est mesurée en
unité d'aire par : A = 
a
b f(t) dt
c) Propriétés de l’intégrale
 Relation de Chasles (référence aux vecteurs) :
Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I ; pour tous les réels a et b de I,
on a : 
a
b f(t) dt = 
a
c f(t) dt + 
c
b f(t) dt
C'est assez facile à comprendre si on se rappelle que l'intégrale correspond à un calcul d'aire.
Preuve : 
a
b f(t) dt = F(b) – F(a) = [F(b) – F(c)] + [F(c) – F(a)] = 
c
b f(t) dt + 
a
c f(t) dt

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 Intégrale d'une somme de fonctions :
Soit deux fonctions f et g dérivables sur un intervalle I ; pour tous nombres réels a et b de I, on a : 
a
b (f + g)(t) dt
a
b f(t) dt + 
a
b g(t) dt
Preuve : 
a
b (f + g)(t) dt = [(F + G)(t)]b
a = (F+G)(b) – (F+G)(a) = F(b) – F(a) + G(b) – G(a)
= [(F)(t)]b
a + [(G)(t)]b a = 
a
b f(t) dt + 
a
b g(t) dt
 Intégrale d'un produit d'une fonction par un nombre réel :
Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I ; pour tous nombres réels a et b de I, on a :
a
b f(t) dt = 
a
b f(t) dt
Preuve : 
a
b f(t) dt = [(F)(t)]b
a = [(F)(t)]b a = 
a
b f(t) dt
 linéarité de l’intégrale :
a
b (f + g)(t) dt = 
a
b f(t) dt + 
a
b g(t) dt : C’est une conséquence des 2 propriétés précédentes.
 Positivité de l'intégrale :
Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I ; pour tous nombres réels a et b de I tels que a  b,
Si f  0 sur [ a ; b ], alors : 
a
b f(t) dt  0
Preuve : La fonction f est positive donc F est croissante (car sa dérivée f est positive)
donc, a  b entraîne F(a)  F(b) soit F(b) – F(a)  0.
 Conservation de l'ordre :
Soit 2 fonctions f et g dérivables sur un intervalle I ; pour tous nombres réels a et b de I tels que a  b.
Si f  g sur I, alors : 
a
b f(t) dt  
a
b g(t) dt
Conséquence de la propriété précédente.
d) Valeur moyenne
Sur un intervalle [ a ; b ] avec a < b, la fonction est comprise entre m et M ; on a m  f(t)  M.
Si on intègre, on a alors 
a
b m dt  
a
b f(t) dt  
a
b M dt
C'est à dire m(b – a)  
a
b f(t) dt  M(b – a)
Ou encore : m  1
b – a 
a
b f(t) dt  M.
Définition : On appelle valeur moyenne d’une intégrale le nombre  = 1
b – a 
a
b f(t) dt
M
m
a
b