Comment trouver cos 36` sans la calculatrice

Comment trouver cos 36'
sans calculatrice
Jean-Pierre Nadon
Collège Saint-Augustin Ou comment trouver la valeur exacte du nombre d'or?
Les programmes nous habituent
par exemple à trouver cos 15° sans
calculatrice, à l'aide de 45° et 30°. En
travaillant sur le nombre d'or, j'avais
besoin de la valeur exacte de cos 36°
(en langage d'élève, du cos 36° sans
calculatrice). Comment faire? 45° et
30° ne font pas 36°.
En résolvant ce problème, j'ai vu
qu'il fait intervenir un peu de
géométrie (triangle isocèle), la loi des
cosinus, la loi des sinus, la décompo-
sition de sin 2a, la résolution d'un
système de deux équations à deux
inconnues, la décomposition en fac-
teurs d'un trinôme du troisième
degré (possible en secondaire V) et la
résolution d'une équation du second
degré par la formule quadratique.
Voilà donc, me suis-je dit, un beau
problème de synthèse en Mat 536
(ou 531?) :
Peut-être pourrez-vous trouver
une solution plus brillante (lire plus
simple). Voici la mienne :
Je construis un triangle isocèle
ayant un angle de 36° (et donc deux
angles de 72°).
loi des cosinus :
x2 = y2 + y2 - 2 y y cos 36°
[1] x2 = 2y2 (1 - cos 36°)
loi des sinus :
sin 36° sin 72° ou
X y
sin 36° 2 sin .36° cos 36°
X
[2] => y ='2x cos 36° " ""'
Et [2] dans [1]
x2 = 2 (2x cos36°)2 (1 - cos 36°)
x2 = 2 (4x2 COS236°) (1 - cos 36°)
1 = 8COS236° (1-cos 36°)
1=8 cos236° - 8 COS336°
8 cos336° - 8 COS236° + 1 = 0
(2 cos36° -1) (4 COS236° - 2 cos36°- 1) = 0
2 cos36° - 1 = 0 ou
4 COS236° - 2 COS36° - 1 = 6
1
cos 36° = 2 ^^ rejeter) ou
cos 36° = l±s/5
Puisque cos 36° est positif,
cos36° = i±^
C'est ce que j'ai trouvé
de mieux.... et vous?
67 ENVOL - FÉVRIER 96