Comment trouver cos 36' sans calculatrice Jean-Pierre Nadon Collège Saint-Augustin Ou comment trouver la valeur exacte du nombre d'or? Les programmes nous habituent par exemple à trouver cos 15° sans calculatrice, à l'aide de 45° et 30°. En travaillant sur le nombre d'or, j'avais besoin de la valeur exacte de cos 36° (en langage d'élève, du cos 36° sans calculatrice). Comment faire? 45° et 30° ne font pas 36°. En résolvant ce problème, j'ai vu qu'il fait intervenir un peu de géométrie (triangle isocèle), la loi des cosinus, la loi des sinus, la décomposition de sin 2a, la résolution d'un système de deux équations à deux inconnues, la décomposition en facteurs d'un trinôme du troisième degré (possible en secondaire V) et la résolution d'une équation du second degré par la formule quadratique. Voilà donc, me suis-je dit, un beau problème de synthèse en Mat 536 (ou 531?) : Peut-être pourrez-vous trouver une solution plus brillante (lire plus simple). Voici la mienne : Je construis un triangle isocèle ayant un angle de 36° (et donc deux angles de 72°). loi des cosinus : x2 = y2 + y2 - 2 y y cos 36° [1] x2 = 2y2 (1 - cos 36°) loi des sinus : sin 36° X sin 72° ou y sin 36° 2 sin .36° cos 36° X [2] => y ='2x cos 36° " ""' Et [2] dans [1] x2 = 2 (2x cos36°)2 (1 - cos 36°) x2 = 2 (4x2 COS236°) (1 - cos 36°) 1 = 8COS236° ( 1 - c o s 36°) 1 = 8 cos236° - 8 COS336° 8 cos336° - 8 COS236° + 1 = 0 (2 cos36° -1) (4 COS236° - 2 cos36°- 1) = 0 2 cos36° - 1 = 0 ou 4 COS236° - 2 COS36° - 1 = 6 1 cos 36° = 2 ^^ rejeter) ou cos 36° = l±s/5 Puisque cos 36° est positif, cos36° = i ± ^ C'est ce que j'ai trouvé de mieux.... et vous? 67 ENVOL - FÉVRIER 96