Chapitre EQUATIONS

Chapitre
EQUATIONS
La méthode de résolution des équations (muadala) découverte par le perse
Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850)
consiste en :
- al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3), le mot est devenu "algèbre"
aujourd’hui.
Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais al Khwarizmi s’attache à s’en
débarrasser au plus vite. Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation.
- al muqabala (la réduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9)
Les termes semblables sont réduits.
A cette époque, la « famille des nombres » est appelée dirham et la
« famille des x » est appelée chay (=chose), devenu plus tard xay en
espagnol qui explique l’origine du x dans les équations.
I. Notion d’équation
INCONNUE : c’est une lettre qui cache un nombre cherché :
x
EQUATION : c’est une opération « à trous » dont « les trous » sont remplacés par une inconnue :
10 x − 2 = 2 x + 3
On peut dire aussi que c’est une devinette qui consiste à trouver un nombre mystère.
RESOUDRE UNE EQUATION : c’est chercher et trouver le nombre caché sous l’inconnue.
SOLUTION : c’est le nombre caché sous l’inconnue :
x = 0,625
Vérification : (à la calculatrice et au brouillon)
10 x 0,625 - 2 = 2 x 0,625 + 3, donc 0,625 est solution.
II. Résolution d'une équation du 1er degré à une inconnue
La méthode du « saute-mouton » (expression personnelle non
reconnue par les correcteurs) pour résoudre une équation de la forme
a x  b = c avec a différent de 0
On pourra utiliser cette méthode au brouillon.
Exemple : résolvons l'équation
3 x2=11
On traduit l'équation par le schéma suivant, résoudre l'équation revient à réaliser le chemin inverse
(en rouge), on trouve la valeur de
X3
x
qui convient
+2
x
11
:3
-2
Sur la copie on écrira :
3 x2=11
On enlève 2 à chaque membreautrement dit 3 x2­2=11­2
3 x=9
3x 9
= 
On divise chaque membre par 3autrement dit
3
3
9
x=
3
x=3
L'ensemble des solutions est {3} (ce qui peut s'écrire S={3})
Pour résoudre une équation du premier degré plus complexe on va d'abord se
ramener à cette forme a xb=c
4 x5=4­2 x
On transfère d'abord tous les termes en x dans le même membre de l'équation en
ajoutant 2 x à chaque membre (ou alors en retranchant 4 x à chaque membre)
et ensuite on se retrouve dans le cadre d'une équation de la forme a xb=c
Exemple résoudre l'équation
Ici on obtient 6 x 5=4
x6
+5
x
4
:6
-5
Sur la copie on écrit
4 x5=4­2 x on ajoute 2 x à chaque membre
6 x 5 =4 on enlève 5 à chaque membre
6 x =4 ­5
On divise par 6 chaque membre
6 x =­1
x=
­1
6 L'ensemble des solutions est
{
III. Avec des fractions
Méthode:
Résoudre l’équation :
x + 4 x −1 3
−
=
3
12
4
­1
6
}
x + 4 x −1 3
−
=
3
12
4
4( x + 4) x − 1 9
−
=
12
12
12
(
)
4( x + 4) − x − 1 = 9
Mettre au même dénominateur
Multiplier par le dénominateur commun
4x + 16 - x + 1 = 9
Développer chaque membre
3x = -8
8
x= −3
Réduire chaque membre
IV. Equation produit nul
Activité : Si a x b = 0, que peut-on dire de a et b ? Et réciproquement?
Propriété : (a x b = 0) ⇔ (a = 0 ou b = 0)
On écrira : « Si un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins des
facteurs est nul et réciproquement. »
Méthode:
Résoudre l’équation (4x + 6)(3 - 7x) = 0
Si un produit de facteur est nul, alors l’un au moins des facteurs est
nul et réciproquement.
Alors :
4x + 6 = 0
4x = -6
­6
x= 4
­3
x= 2
ou
3 - 7x = 0
- 7x = -3
x=­3/­7
x=3 /7
­3 3
S = { 2 ; 7 } (S signifie l'ensemble des solutions)
Remarque : Nous venons de résoudre (l'air de rien) une équation du
second degré à une inconnue!
En effet :
4 x63­7 x =12 x­28 x 2 19­42 x=­28 x 2­30 x19
Nous
venons
2
donc
en
­28 x ­30 x19=0
fait
de
résoudre
qui a une inconnue
l'équation
et qui est de
degré 2! Nous y sommes parvenus parce qu'elle était sous forme
factorisée.