Chapitre EQUATIONS
Chapitre EQUATIONS
La méthode de résolution des équations (muadala) découverte par le perse
Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850)
consiste en :
- al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3), le mot est devenu "algèbre"
aujourd’hui.
Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais al Khwarizmi s’attache à s’en
débarrasser au plus vite. Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation.
- al muqabala (la réduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9)
Les termes semblables sont réduits.
A cette époque, la « famille des nombres » est appelée dirham et la
« famille des x » est appelée chay (=chose), devenu plus tard xay en
espagnol qui explique l’origine du x dans les équations.
I. Notion d’équation
INCONNUE : c’est une lettre qui cache un nombre cherché :
x
EQUATION : c’est une opération « à trous » dont « les trous » sont remplacés par une inconnue :
3
2
2
10
+
=
−
x
x
On peut dire aussi que c’est une devinette qui consiste à trouver un nombre mystère.
RESOUDRE UNE EQUATION : c’est chercher et trouver le nombre caché sous l’inconnue.
SOLUTION : c’est le nombre caché sous l’inconnue :
625
,
0
=
x
Vérification : (à la calculatrice et au brouillon)
10
x
0,625 - 2 = 2
x
0,625 + 3, donc 0,625 est solution.
II. Résolution d'une équation du 1er degré à une inconnue
La méthode du « saute-mouton » (expression personnelle non
reconnue par les correcteurs) pour résoudre une équation de la forme
a
x
b
=
c
avec
a
différent
de
0
On pourra utiliser cette méthode au brouillon.
Exemple : résolvons l'équation
3
x
2
=
11
On traduit l'équation par le schéma suivant, résoudre l'équation revient à réaliser le chemin inverse
(en rouge), on trouve la valeur de
x
qui convient
x
11
X 3 + 2
- 2
: 3
Sur la copie on écrira :
3x
2
=
11
On enlève 2à chaque membreautrement dit 3x22=112
3x=9
On divise chaque membre par 3autrement dit 3x
3
=9
3
x=9
3
x
=
3
L'ensemble des solutions est {3} (ce qui peut s'écrire S={3})
Pour résoudre une équation du premier degré plus complexe on va d'abord se
ramener à cette forme
a
x
b
=
c
Exemple résoudre l'équation
4
x
5
=
4
2
x
On transfère d'abord tous les termes en
x
dans le même membre de l'équation en
ajoutant
2
x
à chaque membre (ou alors en retranchant
4
x
à chaque membre)
et ensuite on se retrouve dans le cadre d'une équation de la forme
a
x
b
=
c
Ici on obtient
6
x
5
=
4
Sur la copie on écrit
4
x
5
=
4
2
x
on ajoute
2
x
à chaque membre
6
x
5
=
4
on enlève 5 à chaque membre
6
x
=
4
5
6
x
=
1
On divise par 6 chaque membre
x=1
6L'ensemble des solutions est
{
1
6
}
III. Avec des fractions
Méthode:
Résoudre l’équation :
4
3
12
1
3
4
=
−
−
+
xx
x
4
x 6 +5
-5
: 6
4
3
12
1
3
4
=
−
−
+
xx
12
9
12
1
12
)4(4
=
−
−
+
xx
Mettre au même dénominateur
(
)
91)4(4
=−−+
xx
Multiplier par le dénominateur commun
4
x
+ 16 -
x
+ 1 = 9 Développer chaque membre
3
x
= -8 Réduire chaque membre
x
=
3
8
−
IV. Equation produit nul
Activité : Si a x b = 0, que peut-on dire de a et b ? Et réciproquement?
Propriété : (a x b = 0)
⇔
(a = 0 ou b = 0)
On écrira : « Si un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins des
facteurs est nul et réciproquement. »
Méthode:
Résoudre l’équation
(4x + 6)(3 - 7x) = 0
Si un produit de facteur est nul, alors l’un au moins des facteurs est
nul et réciproquement.
Alors :
4x + 6 = 0 ou 3 - 7x = 0
4x = -6 - 7x = -3
x =
6
4
x
=
3
/
7
x =
3
2
x
=
3
/
7
S =
{
3
2
;
3
7
}
(S signifie l'ensemble des solutions)
Remarque : Nous venons de résoudre (l'air de rien) une équation du
second degré à une inconnue!
En effet :
4x
6
3
7x
=
12 x
28 x
2
19
42 x
=
28 x
2
30 x
19
Nous venons donc en fait de résoudre l'équation
28
x
2
30
x
19
=
0
qui a une inconnue et qui est de
degré 2! Nous y sommes parvenus parce qu'elle était sous forme
factorisée.
1
/
3
100%
