∑ ∑ - PCSI3

Programme Colles PCSI 3 – 2016/17
Semaine de colles n°3 du 03/10/16 au 07/10/16
D
U PROGRAMME PRECEDENT :
∙ Généralités sur les fonctions réelles
I – Généralités sur les fonctions réelles
Définition, image d’une fonction.
Représentation graphique des fonctions associées.
Résolution graphique d’équations et d’inéquations.
Opérations sur les fonctions : multiplication par un réel, somme, produit et composition.
II – Propriétés globales
Périodicité, parité
Fonctions monotones et strictement monotones, fonctions majorées/minorées/bornées.
III – Régularité
Continuité, théorème des valeurs intermédiaires, prolongement par continuité en un point.
Dérivabilité, variations et dérivées.
Cette semaine une question de cours pourra être d’étudier la régularité d’une fonction composée. Rédaction
parfaite exigée ! (*)
IV – Propriétés de la courbe représentative
Tangentes, asymptotes, méthode d’étude des branches infinies.
V – Bilan : comment étudier une fonction à valeurs réelles
VI – Fonction bijective
Fonction bijective, bijection réciproque et dérivation de la bijection réciproque.
∙ Fonctions usuelles : Rappels de TS et compléments
I – Fonctions logarithme népérien, logarithme décimal et exponentielle
II – Fonctions puissances
Définition de a
b
avec a et b réels tel que a > 0, propriétés de calcul.
Étude complète des fonctions puissances x
→
x
α
= e
α ln x
: variations et prolongements suivant les valeurs de α
Fonctions racine-ième.
Méthode d’étude de fonctions de la forme x
→
u(x)
v(x)
.
Croissances comparées.
III – Fonctions circulaires
Rappels : fonctions cosinus et sinus, dérivées n-ième des fonctions cosinus et sinus. (*)
Fonction tangente : Etude complète avec ensemble de définition, dérivée, variations, limites, courbe
représentative. (*)
∙ Les nombres complexes
I - Ensemble des nombres complexes ℂ
Définition, unicité de la forme algébrique d’un complexe, parties réelles et imaginaires.
Addition et multiplication : propriétés.
Conjugaison, propriétés de calcul, expressions de Re(z) et Im(z), caractérisation des éléments de ℝ et iℝ.
Module, propriétés de calcul.
Inégalité triangulaire et cas d’égalité. (*)
II - Forme trigonométrique
Ensemble U des nombres complexes de module 1.
Notation e
iθ
, propriétés de calcul, formules de De Moivre et d’Euler.
Argument d’un complexe de module 1, d’un complexe non nul, propriétés de calcul.
Caractérisation des réels et des imaginaires purs à l’aide des arguments.
Une méthode à connaitre : factorisation par argument moitié.
Ex. Module et arguments de 1 + e
it
ou 1 – e
it
, t ∈ ℝ (*)
Exponentielle complexe et propriétés.
III - Applications à la trigonométrie
Formules de trigonométrie usuelles : addition, duplication, linéarisation, factorisation.
Transformation de a cos x + b sin x et résolution d’équations de la forme : a cos x + b sin x = c.
Calcul des sommes : S
1
=
0
cos( )
n
k
kx
=
∑
et S
2
=
0
sin( )
n
k
kx
=
∑
. (*)
Pour les interrogateurs : Très peu d’exercices ont, pour l’instant, été fait sur ce chapitre.
(*) Démonstrations / Méthodes à connaître et TOUT le cours est à connaître !
Prévisions semaine n° 3 : Les nombres complexes (fin : Equations dans ℂ et géométrie plane)
Pour les interrogateurs : les fonctions circulaires réciproques et hyperboliques seront étudiées plus
tard dans l’année.
Déroulement d’une colle
1. Un ou deux calcul(s) simple(s) extraits/inspirés de la fiche de révisions (ex. 1 → 29).
2. Une formule de trigonométrie.
3. Une question de cours : méthode ou démonstration signalée par (*)
4. Un exercice identique ou très proche d’un exercice « à savoir refaire » (cf. liste ci-dessous).
5. Eventuellement, un exercice plus compliqué s’il reste du temps.
Une question de cours (points 1, 2 et 3) non connue entraine une note < 10.
Si les points 1, 2, 3 et 4 sont réussis, la note sera ≥ 13.

Programme Colles PCSI 3 – 2016/17
Semaine de colles n°3 du 03/10/16 au 07/10/16– Exercices à savoir refaire
Exercices Chap. 2
Exercice 8 :
Proposer un domaine de définition et un domaine d’étude pour les fonctions définies par :
a.
2
( ) cos ( )sin(2 )
f t t t
=
b.
1
( )
cos( ) cos(2 )
g t
t t
=+
Exercice 11 :
Montrer que : ∀ x ∈ R ,
1
2 2
x x
x
+
+ =
. Ind. On pourra étudier la périodicité de f : x
→
1
2 2
x x
x
+
+ −
.
Exercice 20 : Comportement asymptotique.
Préciser le comportement asymptotique, en + ∞ et/ou – ∞ , des fonctions dont on donne l’expression ci-dessous :
1. ∀ x ∈ R , 2
( ) 1
f x x x
= + +
2. ∀ x > 0,
( ) ln
g x x x
= + 3. ∀ x ∈ R
( ) sin
h x x x
= +
Exercice 21 :
Pour chacune des fonctions suivantes :
Déterminer son ensemble de définition. A l’aide des théorèmes généraux, déterminer sur quel(s) intervalle(s), elle est continue.
A l’aide des théorèmes généraux, déterminer sur quel(s) intervalle(s), elle est dérivable. Déterminer l’expression de sa dérivée.
ϕ
1
: x
→
cos( x
2
– 2) ϕ
2
: x
→
1
sin
2
x
x
+
−
ϕ
3
: x
→
x
2
– 2 x – 3 ϕ
4
: x
→
2
2
1
x
x
+
Exercice 23 : Continuité et dérivabilité.
Soit f définie sur ℝ
+
par :
1/
si 0
( )
si 0
x
x
f x e x
α
−
=
=
>
, où α ∈ ℝ .
1. Déterminer le réel α pour que f soit continue sur ℝ
+
.
2. Étudier la dérivabilité de f sur son ensemble de définition.
Exercice 26 :
Tangentes particulières.
Soit f une fonction définie par :
3
( ) (2 )
f x x x
= −
.
Déterminer l’ensemble de définition D
f
de f puis les tangentes à la courbe représentative de f aux bornes de D
f
.
Exercice 28 :
Soit f une fonction définie sur ℝ par : ∀ x ∈ ℝ ,
1
( )
1
x
x
e
f x e
−
=
+
.
1. Montrer que f est une bijection de ℝ sur un intervalle à déterminer.
2. Déterminer alors la bijection réciproque de f .
Exercices Chap. 3
Exercice 1 :
5. Montrer que : ∀ x ∈ ] 0, 1 [,
1
1
(1 )
2
x x
x x
−
− ≥
.
Exercice 2 : Résoudre les équations suivantes, d’inconnue x ∈ ℝ :
a.
4 2 2
2 3 2 3
x x x x
+ + +
+ = + . b.
2 1 2
3 34 15 5 0
x x x−
− × + =
.
c. 3
x
+ 4
x
= 5
x
d.
x
x
x x
=
Exercice 6 :
b. Etudier la fonction : g : x
→
2
ln si 0
0 si 0
x x x
x
>
=
c. Etudier la fonction : h : x
→
ln(cos x).
Exercices Chap. 4
Exercice fait dans le cours :
Résolution de e
z
= 3 3 – 3i.
Exercice 7 :
Mettre sous forme exponentielle les complexes suivants. On précisera leur module et leurs arguments.
1.
7
1
5
(1 3)
(1 )
i
zi
+
=+
2.
2
z
=
2 + 2 + i 2 – 2
3.
3
sin cos
z i
α α
= − + , α ∈ ℝ
4.
4
2
i
z ie
α
= − , α ∈ ℝ 5.
5
(1 ) (1 )
n n
z i i
= − + +
, n ∈ ℕ 6.
6
1
ix
z e
= +
, x ∈ ℝ
7.
7
ix iy
z e e
−
= + , (x, y) ∈ ℝ
2
8.
8
1
1
ix
ix
e
ze
−
=
+
, x ∈ ]– π , π [
9.
9
1 tan
z i
α
= + , α ∈ ] – π
2, π 2[
Exercice 11 :
Soit z un complexe appartenant à U \ {1}. Prouver que
1
1
z
z
+
−
est un imaginaire pur.
Exercice 12 :
1. Soit u appartenant à U \ {1}. Prouver que pour tout complexe z, z – u
−
z
1 – u est réel.
2. Soit u appartenant à ℂ \ {1} et z ∈ ℂ . Prouver que : z – u
−
z
1 – u ∈
ℝ ⇔ u ∈ U ou z ∈ ℝ .