2004 − 2005 Analyse I/1B Fonctions cyclométriques 1 Définitions 1.1 Arc sin −→ R f : R Considérons la fonction sinus : 7−→ sin x Coupons la courbe par la droite y = k. x 1. k > 1 ou k < -1 : pas de points d’intersection 2. k ∈ [−1; 1] : infinité de points d’intersection 1 6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 Pour −1 ≤ y ≤ 1, l’équation y = sin x admet une infinité de solutions ; pour les autres valeurs de y, il n’y a aucune solution. 5 4 -1 -2 Dans le but de trouver une solution unique à y = sin x pour y ∈ [−1; 1], nous allons considérer la restriction s de la fonction sin à l’intervalle − π2 ; π2 . −→ [−1; 1] s : − π2 ; π2 est bijective ; il existe donc une bijection réciproque : x 7−→ sin x ( s−1 : [−1; 1] −→ − π2 ; π2 x = sin y avec : y = Arc sin x ⇐⇒ − π2 ≤ y ≤ π2 x 7−→ Arc sin x 1 -1 1 -1 1.2 Arc cos Considérons la fonction cosinus : −→ R f : R 7−→ cos x x Coupons la courbe par la droite y = k. 1 6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1. k > 1 ou k < -1 : pas de points d’intersection 5 2. k ∈ [−1; 1] : infinité de points d’intersection -1 Pour −1 ≤ y ≤ 1, l’équation y = cos x admet une infinité de solutions ; pour les autres valeurs de y, il n’y a aucune solution. -2 Dans le but de trouver une solution unique à y = cos x pour y ∈ [−1; 1], nous allons considérer la restriction c de la fonction cos à l’intervalle [0; π]. c : 1 2 3 [0; π] −→ [−1; 1] c−1 : est bijective ; il existe donc une bijection réciproque : 7−→ cos x x [−1; 1] −→ x 7−→ ( x = cos y avec : y = Arc cos x ⇐⇒ 0≤y≤π Arc cos x [0; π] 1.3 Arc tan Considérons la fonction tangente : f : R −→ R x 7−→ tan x 2 Coupons la courbe par la droite y = k. L’équation y = tan x admet une infinité de solutions pour tout y. 1 -5 6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 5 4 -1 -2 -3 2 Dans le but de trouver une solution unique à y = tan x pour y ∈ R, nous allons considérer la restriction t de la fonction tan à l’intervalle ] − π2 ; π2 [. 1 ] − π2 ; π2 [ −→ R t : -1 t−1 : R -1 est bijective ; il existe donc une bijection réciproque : 7−→ tan x x 1 x ( x = tan y avec : y = Arc tan x ⇐⇒ − π2 < y < 7 → Arc tan x − −→ ] − π2 ; π2 [ π 2 -2 -3 1.4 Arc cot Voici les figures relatives à cette situation : 2 1 et -5 6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 1 5 4 -1 -2 -3 1.5 Les courbes représentatives des fonctions cyclométriques y = Arc sin x y = Arc cos x y = Arc tan x y = Arc cot x 3 1 3 2 1 2 1 1 3 -2 -1 1 2 1 -1 -1 2 3 2 Dérivées Théorème 1 La fonction Arc sin est dérivable sur ] − Théorème 2 La fonction Arc cos est dérivable sur ] − 1 1 . . 1; 1[, et, pour tout x ∈] − 1; 1[: (Arc sin x)0 = √ 1; 1[, et, pour tout x ∈] − 1; 1[: (Arc cos x)0 = − √ 2 1−x 1 − x2 Démonstration Nous admettrons sans démonstration que la fonction est dérivable sur ] − 1; 1[ et nous allons démontrer la formule. Par définition : ∀x ∈] − 1; 1[: sin[Arc sin x] = x. Dérivons les deux membres de cette égalité : cos[Arc sin x] · [Arc sin x]0 = 1. Posons a = cos[Arc sin√ x] et calculons a en √ fonction de x : x2 + a2 = 1, donc a = 1 − x2 ou a = − 1 − x2 . Le cosinus d’un angle compris entre − π2 et π2 étant positif, √ 2 la valeur négative √ est à rejeter et a0 = 1 − x . 2 Il s’ensuit que 1 − x · [Arc sin x] = 1. Etant donné que x2 6= 1, il est permis de diviser par √ 1 − x2 , et nous obtenons : 1 . (Arc sin x)0 = √ 1 − x2 Remarquons qu’en −1 et en 1, la fonction Arc sin n’est pas dérivable et que la courbe représentative y admet des demi-tangentes verticales. Démonstration Nous admettrons sans démonstration que la fonction est dérivable sur ] − 1; 1[ et nous allons démontrer la formule. Par définition : ∀x ∈] − 1; 1[: cos[Arc cos x] = x. Dérivons les deux membres de cette égalité : − sin[Arc cos x] · [Arc cos x]0 = 1. Posons a = sin[Arc cos√ x] et calculons a en √ fonction de x : x2 + a2 = 1, donc a = 1 − x2 ou a = − 1 − x2 . Le sinus d’un angle compris entre 0√et π étant positif, la 2 valeur négative est √ à rejeter et a = 01 − x . 2 Il s’ensuit que − 1 − x · [Arc cos x] = 1. 2 Etant √ donné que x 6= 1, il est permis de diviser par 2 − 1 − x , et nous obtenons : 1 (Arc cos x)0 = − √ . 1 − x2 Remarquons qu’en −1 et en 1, la fonction Arc cos n’est pas dérivable et que la courbe représentative y admet des demi-tangentes verticales. x ∈] − 1; 1[, Arc sin x ∈] − π2 ; π2 [, a = cos(Arc sin x) > 0 x ∈] − 1; 1[, Arc cos x ∈]0; π[, a = sin(Arc cos x) > 0 1 x •Arc sin x a 1 a •Arc cos x x Théorème 3 La fonction Arc tan est dérivable sur R, et, pour tout x ∈ R : (Arc tan x)0 = 1 1 + x2 Démonstration Nous admettrons sans démonstration que la fonction est dérivable sur R et nous allons démontrer la formule. Par définition : ∀x ∈ R : tan[Arc tan x] = x. Dérivons les deux membres de cette égalité : [1 + tan2 (Arc tan x)] · [Arc tan x]0 = 1. Etant donné que [1 + tan2 (Arc tan x)] = 1 + x2 6= 0, il est permis de diviser par 1 + x2 , et, par conséquent : 1 [Arc tan x]0 = . 1 + x2