Fonctions cyclométriques

Analyse I/1B 2004 −2005
Fonctions cyclométriques
1 Définitions
1.1 Arc sin
Considérons la fonction sinus : f:R−→ R
x7−→ sin x
6-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
Coupons la courbe par la droite y=k.
1. k> 1 ou k< -1 : pas de points d’intersection
2. k∈[−1; 1] : infinité de points d’intersection
Pour −1≤y≤1, l’équation y= sin xadmet une infinité
de solutions ; pour les autres valeurs de y, il n’y a aucune
solution.
-1 1
-1
1
Dans le but de trouver une solution unique à y= sin xpour y∈[−1; 1],
nous allons considérer la restriction sde la fonction sin à l’intervalle −π
2;π 2.
s:−π
2;π 2−→ [−1; 1]
x7−→ sin x
est bijective ; il existe donc une bijection réciproque :
s−1: [−1; 1] −→ −π
2;π 2
x7−→ Arc sin x
avec : y= Arc sin x⇐⇒ (x= sin y
−π
2≤y≤π 2
1.2 Arc cos
Considérons la fonction cosinus : f:R−→ R
x7−→ cos x
6-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
Coupons la courbe par la droite y=k.
1. k> 1 ou k< -1 : pas de points d’intersection
2. k∈[−1; 1] : infinité de points d’intersection
Pour −1≤y≤1, l’équation y= cos xadmet une infinité
de solutions ; pour les autres valeurs de y, il n’y a aucune
solution.
1 2 3
Dans le but de trouver une solution unique à y= cos xpour y∈[−1; 1],
nous allons considérer la restriction cde la fonction cos à l’intervalle [0; π].
c: [0; π]−→ [−1; 1]
x7−→ cos x
est bijective ; il existe donc une bijection réciproque :
c−1: [−1; 1] −→ [0; π]
x7−→ Arc cos x
avec : y= Arc cos x⇐⇒ (x= cos y
0≤y≤π
1

1.3 Arc tan
Considérons la fonction tangente : f:R−→ R
x7−→ tan x
6-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-
3
-2
-1
1
2
Coupons la courbe par la droite y=k.
L’équation y= tan xadmet une infinité de solutions pour
tout y.
-1 1
-
3
-2
-1
1
2
Dans le but de trouver une solution unique à y= tan xpour y∈R, nous
allons considérer la restriction tde la fonction tan à l’intervalle ]−π
2;π 2[.
t: ] −π
2;π 2[−→ R
x7−→ tan x
est bijective ; il existe donc une bijection réciproque :
t−1:R−→ ]−π
2;π 2[
x7−→ Arc tan x
avec : y= Arc tan x⇐⇒ (x= tan y
−π
2< y < π 2
1.4 Arc cot
Voici les figures relatives à cette situation :
6-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-
3
-2
-1
1
2
et
1 2 3
1.5 Les courbes représentatives des fonctions cyclométriques
y= Arc sin x y = Arc cos x y = Arc tan x y = Arc cot x
1
-1
1
1
2
3
3 -2 -1 1 2
-1
1
1
2
3
2

2 Dérivées
Théorème 1 La fonction Arc sin est dérivable sur ]−
1; 1[, et, pour tout x∈]−1; 1[: (Arc sin x)0=1
√1−x2.
Démonstration
Nous admettrons sans démonstration que la fonction est
dérivable sur ]−1; 1[ et nous allons démontrer la formule.
Par définition : ∀x∈]−1; 1[: sin[Arc sin x] = x.
Dérivons les deux membres de cette égalité :
cos[Arc sin x]·[Arc sin x]0= 1.
Posons a= cos[Arc sin x]et calculons aen fonction de x:
x2+a2= 1, donc a=√1−x2ou a=−√1−x2.
Le cosinus d’un angle compris entre −π
2et π 2étant positif,
la valeur négative est à rejeter et a=√1−x2.
Il s’ensuit que √1−x2·[Arc sin x]0= 1.
Etant donné que x26= 1, il est permis de diviser par
√1−x2, et nous obtenons :
(Arc sin x)0=1
√1−x2.
Remarquons qu’en −1et en 1, la fonction Arc sin n’est
pas dérivable et que la courbe représentative y admet des
demi-tangentes verticales.
Théorème 2 La fonction Arc cos est dérivable sur ]−
1; 1[, et, pour tout x∈]−1; 1[: (Arc cos x)0=−1
√1−x2.
Démonstration
Nous admettrons sans démonstration que la fonction est
dérivable sur ]−1; 1[ et nous allons démontrer la formule.
Par définition : ∀x∈]−1; 1[: cos[Arc cos x] = x.
Dérivons les deux membres de cette égalité :
−sin[Arc cos x]·[Arc cos x]0= 1.
Posons a= sin[Arc cos x]et calculons aen fonction de x:
x2+a2= 1, donc a=√1−x2ou a=−√1−x2.
Le sinus d’un angle compris entre 0et πétant positif, la
valeur négative est à rejeter et a=√1−x2.
Il s’ensuit que −√1−x2·[Arc cos x]0= 1.
Etant donné que x26= 1, il est permis de diviser par
−√1−x2, et nous obtenons :
(Arc cos x)0=−1
√1−x2.
Remarquons qu’en −1et en 1, la fonction Arc cos n’est
pas dérivable et que la courbe représentative y admet des
demi-tangentes verticales.
x∈]−1; 1[,Arc sin x∈]−π
2;π 2[, a = cos(Arc sin x)>0x∈]−1; 1[,Arc cos x∈]0; π[, a = sin(Arc cos x)>0
a
x
1
•Arc sin xx
a
1
•Arc cos x
Théorème 3 La fonction Arc tan est dérivable sur R, et, pour tout x∈R: (Arc tan x)0=1
1 + x2
Démonstration
Nous admettrons sans démonstration que la fonction est dérivable sur Ret nous allons démontrer la formule.
Par définition : ∀x∈R: tan[Arc tan x] = x.
Dérivons les deux membres de cette égalité : [1 + tan2(Arc tan x)] ·[Arc tan x]0= 1.
Etant donné que [1 + tan2(Arc tan x)] = 1 + x26= 0, il est permis de diviser par 1 + x2, et, par conséquent :
[Arc tan x]0=1
1 + x2.
3