algébrique, et l`on ramène la question à la résolution d`une équation

Fis- 9-
6û8 COMPLÉMENT DALGÈBRE.
algébrique, et l'on ramène la question à la résolution d'une équation
algébrique.
C'est la marche qu'on suivra, lorsque les différences du troisième ordre
ou celles du second ordre seront négligeables : on n'aura qu'à résoudre
une équation du second ou du premier degré (244, 24S).
Dans les autres cas, on séparera d'abord la racine à l'aide d'un petit
nombre de substitutions convenablement choisies; puis, on pourra en
approcher après autant qu'on voudra, en appliquant la méthode de
Newton, comme nous l'indiquerons.
257. Par un point A pris sur la circonférence d'un cercle, mener une
corde AB qui détermine un segment AwB équivalent au quart de l'aire
du cercle (Euler).
Soit R le rayon du cercle, soit z l'arc correspondant à l'angle AOB
dans le cercle de rayon 1. On aura
B - —3 —
R2 sin" - -R2
224
d'où
z — sin z = - •
2
Pour simplifier, 'posons z — — = x, d'où sinz = cos.*-. Nous aurons à
résoudre l'équation
x — cos x = o,
de sorte que le problème proposé revient à trou-
B ver un arc égal à son cosinus.
La fonction x — cos x est évidemment crois-
sante , comme l'indique d'ailleurs la dérivée
i+sinx. Quand x croît de o à —•> la fonction
2
passe de la valeur —râla valeur -+-' — • Donc
l'équation donnée a une racine réelle et une seule, comprise entre les li-
mites o et —•
2
La Table (voir à la fin du volume) qui donne les arcs et leurs rapports
trigonométriques exprimés en parties décimales du rayon pris pour unité,
montre immédiatement que l'arc cherché est nécessairement compris
entre 4^° et 43°. On a. en effet,
arc 420 = o,733c et cos 42° = 0,7431 .
arc 43° = o,75o5 et cos 43° = 0,7314.
C'est, par conséquent, dans cet intervalle que la fonction change de signe
en passant par zéro.
Désignons par y la fonction x — cosx, et cherchons les valeurs de la
fonction pour les arcs 410, 4^°, 43°, 44°- Nous aurons :
arc 4i° = 0.7136 et cos 4*° = 0,7547,
arc 44° =-0.7679 et cos 44° = 0.7193.