cours

Fonctions usuelles
Bcpst 1 — 27 février 2017
I — Vocabulaire sur les fonctions
Définition 1.1 —
– On appelle fonction numérique toute application d’une partie de Rdans R.
– Soit une expression algébrique f(x)contenant un variable x.
L’ensemble des valeurs réelles pour lesquelles cette expression est syntaxiquement
correcte s’appelle le domaine de définition Dfde f.
L’expression algébrique f(x)définit donc une fonction f:Df−→ R.
La donnée d’un ensemble de définition et d’une expression algébrique sut donc à
définir une fonction numérique.
Exemple L’expression x+ln(x2−1) a pour domaine de définition ]−1 ; 1[ . Elle
définit donc une fonction numérique sur cet intervalle.
Attention ! Il est incorrect de parler de « la fonction sin(x) ». En eet l’expression
algébrique sin(x)peut définir une fonction sur R, une autre sur R∗, etc.
En revanche, lorsqu’on parle de « la fonction sin » il est clair que l’on parle de la
fonction définie dans le cours sur Rtout entier.
Définition 1.2 — Opérations usuelles sur les fonctions
Soit I une partie de R et f:I−→ R et g:I−→ R deux fonctions numériques. On
définit
le produit de fpar une constante réelle λ λf:I−→ R
x7−→ λf(x)
la somme de fet de gf+g:I−→ R
x7−→ f(x) + g(x)
le produit de fet de gf×g:I−→ R
x7−→ f(x)×g(x)

I — Vocabulaire sur les fonctions 2
Sur l’ensemble J={x∈Itel que f(x)6=0}, on peut définir l’inverse de fpar
1/f:J−→ R
x7−→ 1/f(x)
Par utilisation de ces opérations de bases, on définit ensuite le rapport g/f , les
puissances de f, etc.
Définition 1.3 — Composée de deux fonctions
Soit f une fonction numérique de I qui prend ses valeurs dans un ensemble J et g une
fonction numérique de Jdans R.
On définit la composée de fet gnotée g◦fpar
g◦f:I−→ R
x7−→ g(f(x))
Remarque I.0 Cette définition appelle plusieurs remarques importantes :
– Il est essentielle de s’assurer que f prend bien ses valeurs dans l’ensemble J , sans
quoi il ne serait pas possible, ensuite, d’appliquer la fonction g.
– La composée g◦f peut-être définie, mais pas la composée f◦g . De plus, lorsque
les deux composées sont définies, elles n’ont, en général, pas la même valeur.
Exercice 1 Écrire les composées de deux fonctions, parmi les trois suivantes.
Quels sont leurs domaines de définition ? Combien de fonctions diérentes sont
ainsi définies ?
f(x) = exp(x)g(x) = 2x+1h(x) = ln(x)
Définition 1.4 — Fonctions et ordre
Soit fune fonction de Idans R.
•fest majorée sur Isi et seulement si
∃M∈R,∀x∈I,f(x)¶M
•fest minorée sur Isi et seulement si
∃m∈R,∀x∈I,f(x)¾m
•fest bornée sur Isi et seulement si fest majorée et minorée sur I.

I — Vocabulaire sur les fonctions 3
•fest croissante sur Isi et seulement si
∀(x,y)∈I2,x¶y=⇒f(x)¶f(y)
•fest strictement croissante sur Isi et seulement si
∀(x,y)∈I2,x<y=⇒f(x)<f(y)
•fest décroissante sur Isi et seulement si
∀(x,y)∈I2,x¶y=⇒f(x)¾f(y)
•fest strictement décroissante sur Isi et seulement si
∀(x,y)∈I2,x<y=⇒f(x)>f(y)
•f est monotone sur I si et seulement si f est croissante sur I ou décroissante sur I .
•f est strictement monotone sur I si et seulement si f est strictement croissante
sur Iou strictement décroissante sur I.
•fest périodique de période Tsur Isi et seulement si
∀x∈I,x+T∈I=⇒f(x+T) = f(x)
Ox
y
1/4
4
Figure I.1 — La fonction 1/x est minorée, non majorée et décroissante sur l’intervalle
]0 ; 4].

I — Vocabulaire sur les fonctions 4
Ox
y
2π
3
Figure I.2 — La fonction 1/2x+sin(x) est croissante sur [0 ; 2π/3] , mais n’est pas
croissante sur R. Elle est bornée sur cet intervalle, mais n’est pas bornée sur R.
Ox
y
Figure I.3 — Exemple d’une fonction croissante mais pas strictement croissante (ici
sur R+).
Propriété 1.5 — Caractérisation des fonctions bornées
Une fonction f:I−→ Rdéfinie sur une partie Ide Rest bornée si et seulement si
∃C∈R,∀x∈I,|f(x)|¶C
Dém. Le sens réciproque est immédiat : fest majorée par Cet minorée par −C.
Montrons le sens direct. Soit f une fonction majorée par un réel M et minorée par m :
∀x∈I,m¶f(x)¶M

II — Fonctions monômes 5
Posons C=max(|(|M),|(|m)) . On remarque alors que C¾|M| , dpnc C¾M . De
plus, C¾|m|, donc C¾−met ainsi −C¶m. On a donc
∀x∈I,−C¶m¶f(x)¶M¶C
∀x∈I,−C¶f(x)¶Csoit
∀x∈I,|f(x)|¶Cdonc 
II — Fonctions monômes
II.1 — Étude
Soit n∈Net fn:R−→ R
x7−→ xn. La fonction fnest définie et dérivable sur Ret
∀x∈R,f0
n(x) = nxn−1
Tableau de variation et graphe
Cas npair
x−∞ 0+∞
f0
n(x)−0+
+∞+∞
fn& %
0
Cas nimpair
x−∞ +∞
f0
n(x) +
+∞
fn%
−∞
Ox
y
n=0
n=1
npair
nimpair
Figure I.4 — Graphe de x7→ xn