Fonctions usuelles I — Vocabulaire sur les fonctions Définition 1.3 — Composée de deux fonctions Soit f une fonction numérique de I qui prend ses valeurs dans un ensemble J et g une fonction numérique de J dans R. Définition 1.1 — – On appelle fonction numérique toute application d’une partie de R dans R. – Soit une expression algébrique f (x) contenant un variable x . L’ensemble des valeurs réelles pour lesquelles cette expression est syntaxiquement correcte s’appelle le domaine de définition D f de f . L’expression algébrique f (x) définit donc une fonction f : D f −→ R. On définit la composée de f et g notée g ◦ f par g ◦ f : I −→ R x 7−→ g( f (x)) Définition 1.4 — Fonctions et ordre Soit f une fonction de I dans R. Définition 1.2 — Opérations usuelles sur les fonctions Soit I une partie de R et f : I −→ R et g : I −→ R deux fonctions numériques. On définit le produit de f par une constante réelle λ λf la somme de f et de g f +g le produit de f et de g f ×g : I x : I x : I x −→ 7−→ −→ 7−→ −→ 7−→ R λ f (x) R f (x) + g(x) R f (x) × g(x) • f est majorée sur I si et seulement si ∃M ∈ R, ∀x ∈ I, f (x) ¶ M • f est minorée sur I si et seulement si ∃m ∈ R, ∀x ∈ I, f (x) ¾ m • f est bornée sur I si et seulement si f est majorée et minorée sur I . Sur l’ensemble J = {x ∈ I tel que f (x) 6= 0}, on peut définir l’inverse de f par • f est croissante sur I si et seulement si 1/ f : J −→ R x 7−→ 1/ f (x) ∀(x, y) ∈ I 2 , x¶y =⇒ f (x) ¶ f ( y) • f est strictement croissante sur I si et seulement si ∀(x, y) ∈ I 2 , x<y =⇒ f (x) < f ( y) II — Fonctions monômes • f est décroissante sur I si et seulement si ∀(x, y) ∈ I 2 , x¶y =⇒ II — Fonctions monômes f (x) ¾ f ( y) • f est strictement décroissante sur I si et seulement si ∀(x, y) ∈ I 2 , x<y =⇒ f (x) > f ( y) • f est monotone sur I si et seulement si f est croissante sur I ou décroissante sur I . • f est strictement monotone sur I si et seulement si f est strictement croissante sur I ou strictement décroissante sur I . Tableau de variation et graphe Cas n pair x f n0 (x) fn −∞ − +∞ +∞ + +∞ 0 0 & % x+T ∈I =⇒ x f n0 (x) + +∞ % −∞ y n impair f (x + T ) = f (x) n pair Propriété 1.5 — Caractérisation des fonctions bornées n=1 Une fonction f : I −→ R définie sur une partie I de R est bornée si et seulement si ∃C ∈ R, ∀x ∈ I, | f (x)| ¶ C n=0 O Figure I.1 — Graphe de x 7→ x n +∞ −∞ fn 0 • f est périodique de période T sur I si et seulement si ∀x ∈ I, Cas n impair x 2 IV — Valeur absolue III — Racine carrée IV — Valeur absolue Définition 3.1 — La fonction f : R+ −→ R est continue et strictement croisx 7−→ x 2 sante sur R+ . Définition 4.1 — La fonction valeur absolue est définie par Elle réalise donc une bijection de R+ dans f 〈R+ 〉 = R+ . Sa bijection réciproque p est la fonction racine carrée, définie et continue sur R+ · : R+ −→ R+ . p x 7−→ x et La fonction racine carrée est dérivable sur ∀x ∈ R∗+ , ∀x ∈ R∗+ , ou bien d (|x|) = 1 dx ∀x ∈ R∗ , d p 1 x = p dx 2 x Figure I.3 — Graphe de x 7→ |x| y +∞ + +∞ % f 0 ∀x ∈ R∗− , d (|x|) = |x| /x dx n’est pas dérivable en 0 et Tableau de variation et graphe 0 x O Figure I.2 — Graphe de x 7→ p x¾0 |x| = −x y O x f 0 (x) déf. x<0 Cette fonction est définie et continue sur R. Elle est dérivable sur R∗ et n’est pas dérivable en 0. Propriété 3.2 — Soit x et y deux réels positifs. On a p p p 1) xy = x y; p p 2) si x 6= 0, 1/x = 1/ x ; p p 3) pour n ∈ N, x n = ( x)n ; R∗+ , déf. |x| = x ∀x ∈ R, 3 x x d (|x|) = −1 dx V — Logarithme népérien V — Logarithme népérien 4 Propriété 5.6 — 1) ln est une fonction continue et strictement croissante. Définition 5.1 — La fonction f : R∗+ −→ R est définie sur un intervalle et x 7−→ 1/x continue : elle admet une unique primitive s’annulant en 1. Cette primitive est la fonction logarithme népérien ln Z x 1 déf. ∗ ∀x ∈ R+ , ln(x) = dt t 1 2) ln(x) −−−−→ +∞ ; x→+∞ 3) ln(x) −−→ −∞ ; x→0 Propriété 5.7 — Propriétés dite de « croissances comparées » ln(x) −−−−→ 0 ; x x→+∞ 2) x ln(x) −−→ 0. 1) x→0 Théorème 5.2 — Propriété caractéristique du logarithme ∀(x, y) ∈ R∗+ 2 , ln(x × y) = ln(x) + ln( y) Tableau de variation et graphe y Corollaire 5.3 — ∀x ∈ R∗+ , Corollaire 5.4 — ∀(x) ∈ R∗+ , ln(1/x) = − ln x ∀n ∈ Z, ln(x n ) = n ln(x) ln x ln (x) Définition 5.5 — Logarithme de base a Soit a ∈ R∗+ . On appelle logarithme de base a et on note loga la fonction définie sur R∗+ par log(x) ∀x ∈ R∗+ , loga x = log(a) En particulier on a loga (a) = 1. +∞ 0 0 + O +∞ % ln −∞ Figure I.4 — Graphe de ln x VI — Exponentielle 5 VI — Exponentielle y Définition 6.1 — La fonction x 7→ ln(x) étant continue et strictement croissante sur l’intervalle R∗+ , elle définit une bijection de R∗+ dans ln R∗+ = R. Sa bijection réciproque est la fonction exponentielle, noté exp. Théorème 6.2 — Propriété caractéristique de l’exponentielle ∀(x, y) ∈ R2 , x ln (x) exp(x + y) = exp(x) exp( y) +∞ + +∞ 0 0 En posant e = exp(1), on peut alors noter exp(x) = e x . Cette notation puissance est justifiée par le fait que la pté fondamentale des puissances est encore vérifiée. % ln −∞ O Figure I.5 — Graphe de exp VI.2 — Fonction puissance réelle VI.1 — Étude de la fonction exp Propriété 6.3 — La fonction exp 1) est continue et strictement croissante, e x −−−−→ +∞ et e x −−−−→ 0 ; x→+∞ x→−∞ 2) égale à sa propre dérivée ; Définition 6.5 — Soit a un réel strictement positif et x un réel quelconque. Alors par définition a x = exp(x ln(a)). On parle parfois d’exponentielle de base a. Propriété 6.6 — Propriété 6.4 — Propriétés dite « de croissances comparées » ex −−−−→ +∞ (propriété de croissances comparées) ; x x→+∞ ex 2) −−−−→ 0 (propriété de croissances comparées) ; x x→−∞ 1) Tableau de variation et graphe 1) Pour a ∈ R∗+ et (x, y) ∈ R2 : a x+ y = a x a y et a x y = a x y . 2) Pour (a, b) ∈ (R∗+ )2 et x ∈ R : (ab) x = a x b y . Les règles de calculs de la notation puissance sont donc vérifiées, ce qui justifie l’usage de cette notation. x VII — Fonctions circulaires VII — Fonctions circulaires Figure I.7 — Graphes de sin et cos y VII.1 — Définition de cosinus, sinus y M sin(α) tan(α) α x cos(α) O − π2 − 32π Figure I.8 — Graphe de tan Figure I.6 — Définition des fonctions circulaires Graphes x sin − π2 O π 2 π x cos O π 2 3π 2 x 6