Géométrie Cours de Licence

G´eom´etrie
Cours de Licence
Bernard Le Stum1
Universit´e de Rennes 1
Version du 19 janvier 2004
1b[email protected]

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Table des mati`eres
Table des mati`eres 4
Introduction 5
1 Rappels d’alg´ebre g´en´erale 7
1.1 Ensembles................................. 7
1.2 Relations.................................. 8
1.3 Fonctions, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Loisdecomposition............................ 10
1.5 Groupes .................................. 11
1.6 Permutations ............................... 13
1.7 Actiondegroupe ............................. 14
1.8 Groupescommutatifs........................... 14
1.9 Anneaux.................................. 15
1.10Exercices.................................. 17
2 Alg´ebre Lin´eaire 19
2.1 Espaces vectoriels et sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Sommesdirectes.............................. 23
2.4 Syst´emes g´en´erateurs et libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Bases.................................... 26
2.6 Dimension................................. 29
2.7 Matrices.................................. 32
2.8 Dualit´e,´equations............................. 35
2.9 D´eterminants ............................... 38
2.10Produitscalaire.............................. 42
2.11Exercices.................................. 46
3 G´eom´etrie affine : 1´ere partie 51
3.1 Espacesaffines .............................. 51
3.2 Sous-espaceaffines ............................ 52
3.3 Positionsrelatives............................. 54
3.4 Applicationsaffines............................ 57
3.5 Projections, dilatations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6 Th´eor´emes de Desargues et Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.7 Exercices.................................. 66
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4TABLE DES MATI ` ERES
4 G´eom´etrie affine : 2´eme partie 71
4.1 Hyperplan affine d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Barycentres ................................ 75
4.3 Rep´eres .................................. 79
4.4 Le th´eor´eme de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5 Rep´ere affine dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6 G´eom´etrie affine sur un corps ordonn´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.7 Exercices.................................. 89
5 G´eom´etrie Euclidienne 93
5.1 Orthogonalit´e dans les espaces affines euclidiens . . . . . . . . . . . . 93
5.2 Distance dans les espaces affines euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3 Sous espaces et sph´eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.4 Cerclesetdroites .............................102
5.5 Exercices..................................107

Introduction
Ce cours de g´eom´etrie est le fruit de cinq ann´ees d’enseignement en licence plu-
ridisciplinaire en sciences et technologie `a l’universit´e de Rennes I.
Il s’adresse donc principalement `a des ´etudiants qui on obtenu un Deug `a domi-
nante math´ematiques mais qui ne souhaitent pas s’engager dans des ´etudes longues.
Cela dit, ces ´etudiants se destinent pour la plupart `a l’enseignement. D’autre
part, ils aiment, ont aim´e ou ont cru aimer les math´ematiques. Mme si celles-ci ne
leur ont pas toujours rendu la pareille. Pour ces diff´erentes raisons, il m’a sembl´e
important de pr´esenter ce cours avec la plus grande rigueur.
La premi`ere partie du cours est consacr´ee a (re) mettre en place le vocabulaire de
base en th´eorie des ensembles et en alg`ebre. Il n’y a ni d´emonstrations, ni exemples,
mais quelques exercices. On refait dans la seconde partie (num´erot´ee 1, etc) un cours
complet d’alg`ebre lin´eaire. le but est de mettre en place les outils n´ecessaires pour
faire de la g´eom´etrie ´el´ementaire. Cela peut sembler inutile de r´ep´eter ce qui a d´ej`a
´et´e vu longuement en Deug. L’exp´erience montre qu’il n’en est rien.
Le cours consacr´e a la g´eom´etrie proprement dite est d´ecoup´e en trois par-
ties : g´eom´etrie affine, g´eom´etrie euclidienne et g´eom´etrie projective. L’ordre des
2 derni`eres parties peut tre invers´e. Il n’y a aucune interf´erence. La partie consacr´ee
a la g´eom´etrie affine est coup´ee en deux. Il y a d’abord l’approche “contemplative”
sans calcul. On introduit ensuite la notion de coordonn´ees affines ou barycentriques.
En g´eom´etrie euclidienne, seule l’orthogonalit´e et les distances seront ´etudi´ees. On
ne parlera pas d’angle.
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