Géométrie euclidienne et hermitienne

G´eom´etrie euclidienne et hermitienne
Nicole Mestrano
mai 2003

Table des mati`eres
0.1 Programme ............................ 2
0.2 Mode d’emploi et R´ef´erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Espaces euclidiens et hermitiens 5
1.1 Produitsscalaires......................... 5
1.2 Espaces m´etriques et formes positives d´efinies . . . . . . . . . 6
1.3 In´egalit´es de Schwarz et de Minkowski . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Ecriture dans une base, matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Proc´ed´e d’orthonormalisation de Schmidt . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8 Sym´etries et projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9 Espace vectoriel dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Endomorphismes 15
2.1 Adjoint d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Matrice de u∗et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Endomorphismes autoadjoints, (anti-)sym´etriques . . . . . . . 16
2.4 Diagonalisation .......................... 17
2.5 Endomorphismes normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Automorphismes orthogonaux 20
3.1 Isom´etries ............................. 20
3.2 Automorphismes orthogonaux, unitaires . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Les groupes O(n), SO(n), U(n) et SU(n)............ 22
3.4 Sym´etries orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Produit mixte et produit vectoriel dans les espaces euclidiens
orient´es .............................. 24
1

4 G´eom´etrie vectorielle euclidienne 26
4.1 Produits des reflexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Les angles non-orient´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Groupe orthogonal d’une droite euclidienne . . . . . . . . . . . 28
4.4 Groupe orthogonal du plan euclidien E=E2.......... 28
4.5 Classification des ´el´ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.6 Angle orient´e de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.7 Mesure de l’angle orient´e de deux vecteurs . . . . . . . . . . . 30
4.8 Groupe orthogonal de l’espace euclidien de dimension 3, E=E331
4.9 Classification des ´el´ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.10Similitudes. ............................ 33
5 R´eduction des endomorphismes 35
5.1 Formes bilin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Formepolaire ........................... 37
5.4 Noyaux des formes bilin´eaires et quadratiques, formes non-
d´eg´en´er´ees............................. 38
5.5 Endomorphisme sym´etrique associ´e `a une forme quadratique . 39
5.6 Diagonalisation .......................... 41
5.7 D´ecomposition en carr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.8 La signature d’une forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . 43
0.1 Programme
Nous proposons d’´etudier la partie suivante du programme de CAPES.
Programme : 2. Alg`ebre et G´eom´etrie
2.IV. Espaces euclidiens, espaces hermitiens
Les espaces vectoriels consid´er´es dans ce chapitre sont de dimension finie.
2.IV.1. Espaces euclidiens.
(a) Isomorphisme canonique avec le dual. Sommes directes orthogonales. Di-
mension de l’orthogonal d’un sous-espace, normale `a un hyperplan. Projec-
teurs et sym´etries orthogonales.
(b) Adjoint d’un endomorphisme : matrice associ´ee dans une base orthonor-
male. Endomorphismes sym´etriques, antisym´etriques.
2

(c) Automorphismes orthogonaux. Groupe orthogonal O(E), groupe des ro-
tations (ou sp´ecial orthogonal) SO(E). Matrices orthogonales. Groupes O(n)
et SO(n). Matrice associ´ee `a un automorphisme orthogonal dans une base
orthonormale.
Changements de base orthonormale.
(d) D´eterminant de nvecteurs d’un espace vectoriel euclidien orient´e de di-
mension n.
Produit vectoriel en dimension 3 ; expression dans une base orthonormale
directe.
2.IV.2. G´eom´etrie vectorielle euclidienne.
(a) Les r´eflexions engendrent le groupe orthogonal O(E).
(b) Dans le plan euclidien orient´e (n= 2) : matrice d’une rotation ; angle
d’une rotation. Morphisme canonique de Rsur SO(2).
Classification des automorphismes orthogonaux `a partir du sous-espace des
points invariants.
(c) Dans l’espace euclidien orient´e (n= 3) : Axe et angle d’une rotation. Lest
demi-tours engendrent SO(3).
Classification des automorphismes orthogonaux `a partir du sous-espace des
points invariants.
(d) En dimension 2 ou 3 : groupe des similitudes ; groupe des similitudes
drectes.
Rapport d’une similitude ; automorphisme orthogonal associ´e.
2.IV.3. Espaces hermitiens.
(a) Sommes diretes orthogonales. Projections orthogonaux.
(b) Adjoint d’un endomorphisme ; matrice associ´ee dans une base orthonor-
male.
Endomorphismes hermitiens, matrices hermitiennes.
(c) Automorphismes unitaires. Groupe unitaire U(E). Groupe U(n) des ma-
trices unitaires d’ordre n.
2.IV.5. R´eduction des endomorphismes sym´etriques et des endo-
morphismes hermitiens.
(b) Formes bilin´eaires sym´etriques sur un espace euclidien, formes quadra-
tiques, polarisation.
Endomorphisme sym´etrique associ´e `a une forme quadratique ; r´eduction dans
une base orthonormale.
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0.2 Mode d’emploi et R´ef´erences
Ce programme est divis´e en 5 chapitres.
Les d´emonstrations des th´eor`emes et propositions ne sont pas r´edig´ees car
ce sont d’excellents exercices `a faire en s’aidant, s’il le faut, d’anciens cours
ou de livres. Cependant toutes les ´etapes importantes (quand il y en a !) sont
explicit´ees dans les exercices pr´ec´edent leur ´enonc´e.
Pour un cours complet, on pourra consulter les livres de Marcel Berger,
“G´eom´etrie 1 et “G´eom´etrie 2” ´edit´e chez Nathan et le polycope de “G´eom´etrie
Euclidienne” de l’Universit´e d’Orsay r´edig´e par Marie-Claude David, Fr´ed´eric
Haglund et Daniel Perrin.
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