Soita∈L(E), −→
kun vecteurunitaire et θun r´eel.
II.A.1) Exprimer simplementle produit scalaire a, p−→
k `a l’aide du produit sca-
lairededeux vecteurs deE.
II.A.2) Exprimer simplementrθ,−→
k`a l’aide de p−→
ket de ω−→
k.En d´eduire la relation :
DDa, rθ,−→
kEE =cos θTr(a)+(1 −cos θ)−→
k|a(−→
k)+sin θa, ω−→
k (1)
II.A.3) Que devientcette relation (1) lorsquea∈S(E), lorsquea∈A(E)?
II.B-Danscette section s∈S+(E)est un endomorphisme sym´etrique positif de
rang≤2et de trace ´egale `a 1 etνestun endomorphisme de Enon nul maisde
trace nulle. On pose V=Vect(s, ν)⊥et on veutmontrerque V∩O+(E)6=∅.
II.B.1) Quelle estla dimension deV?
II.B.2) Soit (e)=(−→
e1,−→
e2,−→
e3)unebase orthonorm´ee deE.Pour ǫ=(ǫ1,ǫ2,ǫ3)∈
{−1,1}3,on note −→
xǫle vecteurǫ1−→
e1+ǫ2−→
e2+ǫ3−→
e3
√3.
Prouver l’identit´e:Pǫ∈{−1,1}3(−→
xǫ|s(−→
xǫ)) =8
3.
II.B.3) Danscette question seulement, on rajoute l’hypoth`ese νsym´etrique.
a) Prouver l’existence d’unebase(e)telle que(−→
xǫ|ν(−→
xǫ)) =0pour tout ǫ∈{−1,1}3.
b) D´emontrer l’existence d’un vecteur−→
kunitaire v´erifiant:
0≤−→
k|s(−→
k)≤1
3et −→
k|ν(−→
k)=0
c) ´
Etablirl’existence de θ∈[π/2,π[tel que rθ,−→
k∈V.
II.B.4) On d´ecompose maintenantνsous la forme ν1+ao`uν1estsym´etrique et
aantisym´etrique. On choisit −→
k1unitairetel que :
0≤−→
k1|s(−→
k1)≤1
3et −→
k1|ν1(−→
k1)=0
a) Dans la suite on posera, pourtout r´eel x:
sgn(x)=1six≥0, −1sinon.
On note (e)=(−→
e1,−→
e2,−→
e3)unebase orthonorm´ee de vecteurs propresde set l’on
pose:−→
ki=ai−→
e1+bi−→
e2+ci−→
e3pour i=1,2.
D´emontrer l’existence d’unvecteur unitaire −→
k2tel que rπ,−→
k2soit orthogonale `a s
pour hh ,ii et que lescomposantesde −→
k2dans une base dediagonalisation de s
soientdemˆemes signes que cellesde−→
k1.
b) Justifier l’existence d’une fonction t7→ −→
k(t)de [0,1] dansEet d’unefonction
t7→ θ(t)de [0,1] dansRv´erifiantles propri´et´essuivantes: