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Centrale Maths 2 MP 2007 — Énoncé 1/4
Concours Centrale -Supélec 2007
Épreuve :MATHÉMATIQUES II Filière MP
Danstout ce probl`eme Eestun espace euclidien dedimension n≥1. Lesvecteurs
de Esontrepr´esent´espar deslettres surmont´eesde fl`eches et le produitscalairede
deux vecteurs −→ xet −→ yde Eestnot´e(−→ x|−→ y). L’orthogonal d’un sous-espace Fde E
estnot´eF◦.On note a∗l’adjointde a∈L(E)pourla structureeuclidienne d´efinie
par le produit scalaire (|)etab le compos´ededeuxendomorphismes aet bde E.
Le sous-espace deL(E)constitu´edes endomorphismes sym´etriquesest not´eS(E).
On appelle endomorphisme antisym´etriqueun endomorphismea∈L(E)tel que
a∗=−aet on note A(E)le sous-espacedeL(E)constitu´epar les endomorphismes
antisym´etriques.L’ensemble des endomorphismes sym´etriques positifs deEestnot´e
S+(E).
On d´esignepar O(E)l’ensemble desautomorphismesorthogonauxde Eet O+(E)
l’ensemble de ceux dontle d´eterminantest positif.
L’objectif de ce probl`eme estde prouverque certains sous-espacesvectoriels deL(E)
contiennentdesautomorphismesorthogonaux.Les deux parties du probl`eme sont
ind´ependantes nonobstantla question I.B.2.
Partie I-Cas d’un hyperplan de L(E)
I.A-
I.A.1) Soit a∈L(E)et (e)=(−→ e1,−→
e2, . . . , −→ en)unebase orthonorm´ee de E.
Prouver que
Tra=
n
X
i=1
(−→ ei|a(−→ ei))
I.A.2) Soientaet bdeux endomorphismes deE.
On pose hha, bii =Tr(a∗b),
montrer qu’on d´efinit ainsiun produit scalaire sur L(E). L’orthogonal, pour ce
produit scalaire, d’unsous-espaceE⊂L(E)sera not´eE⊥.
I.A.3) Montrerqueles sous-espaces S(E)etA(E)sontdessuppl´ementaires or-
thogonauxdeL(E)pour hh ,ii.
I.B-
I.B.1) Soit a∈L(E)de rang r≥1.
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Centrale Maths 2 MP 2007 — Énoncé 2/4
a) Montrerque Kera∗a= Keraet que rga∗a=rga.
b) Montrer quea∗aposs`edeau moinsunevaleur proprenon nulle.
c) Soit {λ1,λ2, . . . , λs}l’ensemble desvaleurspropresnon nulles de a∗a.En notant
E(λ)le sous-espace proprede a∗aassoci´e`a la valeur propreλ,montrer que:
Im a∗=Im a∗a=
s
M
i=1
E(λi)
d) Prouver l’existence d’unebaseorthonorm´ee (e)=(−→ e1,−→
e2, . . . , −→ en)de Eet de
scalaires µ1,µ2,...,µnavec µi6=0pour i≤rtels que a∗a(−→
ei)=µ2
i−→
eipour tout
i∈{1,2, . . . , n}.Pourtoute base orthonorm´ee (e)v´erifiantces propri´et´es,que valent
les µisi i>r?
e) La base(e)´etantchoisie comme dans laquestion pr´ec´edente,prouverl’existence
d’unebase orthonorm´ee (f)=−→
f1,−→
f2, . . . , −→ fntelle que a(−→
ei)=µi−→
fipour touti.
I.B.2) Soita∈L(E), a6=0, d´eduire de la question pr´ec´edente l’existence de
u∈O(E)tel que ua ∈S+(E), et Tr(ua)>0.
I.C-SoitHun hyperplan de L(E)etaun ´el´ementnon nuldeH⊥.
I.C.1) La base (−→ e1,−→
e2, . . . , −→ en)de E´etanttoujours choisie commedans la question
I.B.1.d,prouver l’existence deh∈O(E)tel que,pour tout i∈{1,2, . . . , n},ha(−→ ei)∈
Vect(−→ ei)◦.
I.C.2) Montrer queHcontientau moins un automorphismeorthogonal.
Partie II -Cas o`udim E=3
Danstoute cette partie l’espace euclidienEestdedimension 3etorient´e.On se
proposede prouverquetout sous-espace de L(E)dedimension 7contientau moins
unerotation.
II.A-Si −→ k∈Eestun vecteurunitaire et siθ∈R,on note p−→
kle projecteur
orthogonal d’image Vect(−→ k), ω−→
kl’endomorphisme−→
x7→ −→ k∧−→ xet rθ,−→
kla rotation
d’angle θautour de−→ k.
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Centrale Maths 2 MP 2007 — Énoncé 3/4
Soita∈L(E), −→ kun vecteurunitaire et θun r´eel.
II.A.1) Exprimer simplementle produit scalaire a, p−→
k `a l’aide du produit sca-
lairededeux vecteurs deE.
II.A.2) Exprimer simplementrθ,−→
k`a l’aide de p−→
ket de ω−→ k.En d´eduire la relation :
DDa, rθ,−→
kEE =cos θTr(a)+(1 −cos θ)−→
k|a(−→ k)+sin θa, ω−→
k (1)
II.A.3) Que devientcette relation (1) lorsquea∈S(E), lorsquea∈A(E)?
II.B-Danscette section s∈S+(E)est un endomorphisme sym´etrique positif de
rang≤2et de trace ´egale `a 1 etνestun endomorphisme de Enon nul maisde
trace nulle. On pose V=Vect(s, ν)⊥et on veutmontrerque V∩O+(E)6=∅.
II.B.1) Quelle estla dimension deV?
II.B.2) Soit (e)=(−→ e1,−→
e2,−→ e3)unebase orthonorm´ee deE.Pour ǫ=(ǫ1,ǫ2,ǫ3)∈
{−1,1}3,on note −→
xǫle vecteurǫ1−→
e1+ǫ2−→ e2+ǫ3−→ e3
√3.
Prouver l’identit´e:Pǫ∈{−1,1}3(−→
xǫ|s(−→ xǫ)) =8
3.
II.B.3) Danscette question seulement, on rajoute l’hypoth`ese νsym´etrique.
a) Prouver l’existence d’unebase(e)telle que(−→ xǫ|ν(−→
xǫ)) =0pour tout ǫ∈{−1,1}3.
b) D´emontrer l’existence d’un vecteur−→ kunitaire v´erifiant:
0≤−→
k|s(−→ k)≤1
3et −→
k|ν(−→ k)=0
c) ´ Etablirl’existence de θ∈[π/2,π[tel que rθ,−→
k∈V.
II.B.4) On d´ecompose maintenantνsous la forme ν1+ao`uν1estsym´etrique et
aantisym´etrique. On choisit −→ k1unitairetel que :
0≤−→
k1|s(−→
k1)≤1
3et −→
k1|ν1(−→
k1)=0
a) Dans la suite on posera, pourtout r´eel x:
sgn(x)=1six≥0, −1sinon.
On note (e)=(−→ e1,−→
e2,−→ e3)unebase orthonorm´ee de vecteurs propresde set l’on
pose:−→
ki=ai−→
e1+bi−→ e2+ci−→ e3pour i=1,2.
D´emontrer l’existence d’unvecteur unitaire −→ k2tel que rπ,−→
k2soit orthogonale `a s
pour hh ,ii et que lescomposantesde −→ k2dans une base dediagonalisation de s
soientdemˆemes signes que cellesde−→ k1.
b) Justifier l’existence d’une fonction t7→ −→ k(t)de [0,1] dansEet d’unefonction
t7→ θ(t)de [0,1] dansRv´erifiantles propri´et´essuivantes:
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Centrale Maths 2 MP 2007 — Énoncé 4/4
−→
k(t)=a(t)−→ e1+b(t)−→ e2+c(t)−→ e3avec :
a(t)=sgn(a1)p2ta2
2+(1 −2t)a2
1si 0≤t≤1/2, a(1 −t)si1/2<t≤1
b(t)=sgn(b1)p2tb2
2+(1 −2t)b2 1si 0≤t≤1/2, b(1 −t)si1/2<t≤1
c(t)=sgn(c1)p2tc2
2+(1 −2t)c2 1si 0≤t≤1/2, c(1 −t)si1/2<t≤1
θ(t)=Arccos −→
k(t)|s(−→ k(t))
−→
k(t)|s(−→ k(t))−1
si 0≤t≤1/2, 2π−θ(1 −t)si 1/2<t≤1
c) V´erifier que−→ k(t)est unitaireet que ρ(t)=rθ(t),−→
k(t),estorthogonale`a spour
hh ,ii.
d) Montrerque la fonction t7→ hhρ(t),νii de [0,1] dans Restcontinue. ´ Etudierles
signes dehhρ(0),νii et dehhρ(1),νii et prouverqu’existe ttel que ρ(t)∈V.
II.C-Cas g´en´eral
II.C.1) En utilisant le r´esultat de la question I.B.2, prouver quetoutsousespace
vectorielde dimension 7deL(E)contientau moins un automorphisme orthogonal.
II.C.2) Un sous-espacevectoriel de dimension 6 de L(E)contient-il toujoursun
automorphisme deE?
•••FIN •••
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