Centrale Maths 2 MP 2007 — Énoncé 1/4
Concours Centrale -Supélec 2007
Épreuve :MATHÉMATIQUES II Filière MP
Danstout ce probl`eme Eestun espace euclidien dedimension n1. Lesvecteurs
de Esontrepr´esent´espar deslettres surmont´eesde `eches et le produitscalairede
deux vecteurs
xet
yde Eestnot´e(
x|
y). L’orthogonal d’un sous-espace Fde E
estnot´eF.On note al’adjointde aL(E)pourla structureeuclidienne d´enie
par le produit scalaire (|)etab le compos´ededeuxendomorphismes aet bde E.
Le sous-espace deL(E)constitu´edes endomorphismes sym´etriquesest not´eS(E).
On appelle endomorphisme antisym´etriqueun endomorphismeaL(E)tel que
a=aet on note A(E)le sous-espacedeL(E)constitu´epar les endomorphismes
antisym´etriques.L’ensemble des endomorphismes sym´etriques positifs deEestnot´e
S+(E).
On d´esignepar O(E)l’ensemble desautomorphismesorthogonauxde Eet O+(E)
l’ensemble de ceux dontle d´eterminantest positif.
L’objectif de ce probl`eme estde prouverque certains sous-espacesvectoriels deL(E)
contiennentdesautomorphismesorthogonaux.Les deux parties du probl`eme sont
ind´ependantes nonobstantla question I.B.2.
Partie I-Cas dun hyperplan de L(E)
I.A-
I.A.1) Soit aL(E)et (e)=(
e1,
e2, . . . ,
en)unebase orthonorm´ee de E.
Prouver que
Tra=
n
X
i=1
(
ei|a(
ei))
I.A.2) Soientaet bdeux endomorphismes deE.
On pose hha, bii =Tr(ab),
montrer qu’on d´enit ainsiun produit scalaire sur L(E). L’orthogonal, pour ce
produit scalaire, d’unsous-espaceEL(E)sera not´eE.
I.A.3) Montrerqueles sous-espaces S(E)etA(E)sontdessuppl´ementaires or-
thogonauxdeL(E)pour hh ,ii.
I.B-
I.B.1) Soit aL(E)de rang r1.
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Centrale Maths 2 MP 2007 — Énoncé 2/4
a) Montrerque Keraa= Keraet que rgaa=rga.
b) Montrer queaaposs`edeau moinsunevaleur proprenon nulle.
c) Soit {λ1,λ2, . . . , λs}l’ensemble desvaleurspropresnon nulles de aa.En notant
E(λ)le sous-espace proprede aaassoci´e`a la valeur propreλ,montrer que:
Im a=Im aa=
s
M
i=1
E(λi)
d) Prouver l’existence d’unebaseorthonorm´ee (e)=(
e1,
e2, . . . ,
en)de Eet de
scalaires µ1,µ2,...,µnavec µi6=0pour irtels que aa(
ei)=µ2
i
eipour tout
i{1,2, . . . , n}.Pourtoute base orthonorm´ee (e)v´erifiantces propri´et´es,que valent
les µisi i>r?
e) La base(e)´etantchoisie comme dans laquestion pr´ec´edente,prouverl’existence
d’unebase orthonorm´ee (f)=
f1,
f2, . . . ,
fntelle que a(
ei)=µi
fipour touti.
I.B.2) SoitaL(E), a6=0, d´eduire de la question pr´ec´edente l’existence de
uO(E)tel que ua S+(E), et Tr(ua)>0.
I.C-SoitHun hyperplan de L(E)etaun ´el´ementnon nuldeH.
I.C.1) La base (
e1,
e2, . . . ,
en)de E´etanttoujours choisie commedans la question
I.B.1.d,prouver l’existence dehO(E)tel que,pour tout i{1,2, . . . , n},ha(
ei)
Vect(
ei).
I.C.2) Montrer queHcontientau moins un automorphismeorthogonal.
Partie II -Cas o`udim E=3
Danstoute cette partie l’espace euclidienEestdedimension 3etorient´e.On se
proposede prouverquetout sous-espace de L(E)dedimension 7contientau moins
unerotation.
II.A-Si
kEestun vecteurunitaire et siθR,on note p
kle projecteur
orthogonal d’image Vect(
k), ω
kl’endomorphisme
x7→
k
xet rθ,
kla rotation
d’angle θautour de
k.
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Centrale Maths 2 MP 2007 — Énoncé 3/4
SoitaL(E),
kun vecteurunitaire et θun r´eel.
II.A.1) Exprimer simplementle produit scalaire a, p
k `a l’aide du produit sca-
lairededeux vecteurs deE.
II.A.2) Exprimer simplementrθ,
k`a l’aide de p
ket de ω
k.En d´eduire la relation :
DDa, rθ,
kEE =cos θTr(a)+(1 cos θ)
k|a(
k)+sin θa, ω
k (1)
II.A.3) Que devientcette relation (1) lorsqueaS(E), lorsqueaA(E)?
II.B-Danscette section sS+(E)est un endomorphisme sym´etrique positif de
rang2et de trace ´egale `a 1 etνestun endomorphisme de Enon nul maisde
trace nulle. On pose V=Vect(s, ν)et on veutmontrerque VO+(E)6=.
II.B.1) Quelle estla dimension deV?
II.B.2) Soit (e)=(
e1,
e2,
e3)unebase orthonorm´ee deE.Pour ǫ=(ǫ1,ǫ2,ǫ3)
{−1,1}3,on note
xǫle vecteurǫ1
e1+ǫ2
e2+ǫ3
e3
3.
Prouver l’identit´e:Pǫ∈{−1,1}3(
xǫ|s(
xǫ)) =8
3.
II.B.3) Danscette question seulement, on rajoute l’hypoth`ese νsym´etrique.
a) Prouver l’existence d’unebase(e)telle que(
xǫ|ν(
xǫ)) =0pour tout ǫ{−1,1}3.
b) D´emontrer l’existence d’un vecteur
kunitaire v´erifiant:
0
k|s(
k)1
3et
k|ν(
k)=0
c) ´
Etablirl’existence de θ[π/2,π[tel que rθ,
kV.
II.B.4) On d´ecompose maintenantνsous la forme ν1+ao`uν1estsym´etrique et
aantisym´etrique. On choisit
k1unitairetel que :
0
k1|s(
k1)1
3et
k1|ν1(
k1)=0
a) Dans la suite on posera, pourtout r´eel x:
sgn(x)=1six0, 1sinon.
On note (e)=(
e1,
e2,
e3)unebase orthonorm´ee de vecteurs propresde set l’on
pose:
ki=ai
e1+bi
e2+ci
e3pour i=1,2.
D´emontrer l’existence d’unvecteur unitaire
k2tel que rπ,
k2soit orthogonale `a s
pour hh ,ii et que lescomposantesde
k2dans une base dediagonalisation de s
soientdemˆemes signes que cellesde
k1.
b) Justifier l’existence d’une fonction t7→
k(t)de [0,1] dansEet d’unefonction
t7→ θ(t)de [0,1] dansRv´erifiantles propri´et´essuivantes:
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Centrale Maths 2 MP 2007 — Énoncé 4/4
k(t)=a(t)
e1+b(t)
e2+c(t)
e3avec :
a(t)=sgn(a1)p2ta2
2+(1 2t)a2
1si 0t1/2, a(1 t)si1/2<t1
b(t)=sgn(b1)p2tb2
2+(1 2t)b2
1si 0t1/2, b(1 t)si1/2<t1
c(t)=sgn(c1)p2tc2
2+(1 2t)c2
1si 0t1/2, c(1 t)si1/2<t1
θ(t)=Arccos
k(t)|s(
k(t))
k(t)|s(
k(t))1
si 0t1/2, 2πθ(1 t)si 1/2<t1
c) V´erifier que
k(t)est unitaireet que ρ(t)=rθ(t),
k(t),estorthogonale`a spour
hh ,ii.
d) Montrerque la fonction t7→ hhρ(t),νii de [0,1] dans Restcontinue. ´
Etudierles
signes dehhρ(0),νii et dehhρ(1),νii et prouverqu’existe ttel que ρ(t)V.
II.C-Cas g´en´eral
II.C.1) En utilisant le r´esultat de la question I.B.2, prouver quetoutsousespace
vectorielde dimension 7deL(E)contientau moins un automorphisme orthogonal.
II.C.2) Un sous-espacevectoriel de dimension 6 de L(E)contient-il toujoursun
automorphisme deE?
•••FIN •••
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