1 Propriétés mathématiques d`une solution 2 Étude de la réciproque

TS. Recherche des solutions de f ′ = k × f vérifiant f (0) = 1 avec k 6= 0
Nous allons rechercher les propriétés de ces solutions puis les caractériser. Plus exactement,
1reétape on suppose qu’il existe une solution f ( la méthode d’E ULER permet d’approcher une solution )
et on montre que cette solution vérifie alors la relation f (x + a) = f (x) × f (a).
2eétape on prouve la réciproque :
toute fonction vérifiant f (x + a) = f (x) × f (a) est solution de l’équation différentielle.
3eétape on montre que si une solution existe, alors elle est unique.
1 Propriétés mathématiques d’une solution
Soit f une fonction dérivable sur R vérifiant f (0) = 1 et, pour tout x, f ′ (x) = k × f (x), avec k 6= 0.
1.
2.
Montrez que f ′ (0) = k.
Soit a un réel fixé et g la fonction définie par g (x) = f (x + a) f (−x) .
1. Montrez que g est dérivable sur R et calculez g ′ (x).
2. Calculez g (0) et déduisez-en que pour tous x et a réels,
f (x + a) × f (−x) = f (a) .
3.
(1)
Montrez alors successivement que
1. pour tout réel x, f (x) f (−x) = 1 ;
2. f ne s’annule pas sur R ;
3. pour tous réels x et a, f (x + a) = f (x) × f (a) .
2 Étude de la réciproque
Nous avons montré que, si une telle fonction existe , alors elle vérifie nécessairement l’équation fonctionnelle
f (x + y) = f (x) × f (y) .
(E)
Montrons que, réciproquement, une fonction dérivable, non nulle, vérifiant la relation (E) est nécessairement telle
que f (0) = 1 et vérifie pour tout réel x, f ′ (x) = k × f (x), avec k un réel non nul.
1.
2.
3.
Montrez que f ne s’annule pas et que f est à valeurs strictement positives.
Montrez que, comme f n’est pas la fonction nulle, alors f (0) = 1 en utilisant la relation (E).
Soit a un réel fixé. On définit la fonction φ : x 7→ f (x + a) et la fonction ψ : x 7→ f (x) × f (a).
Montrez que f ′ (x + a) = f (a) × f ′ (x), puis que, pour tout réel a, f ′ (a) = k × f (a),
où k est un réel que vous déterminerez.
3 Unicité de la solution
Peut-on trouver une autre fonction, g , distincte de f , et vérifiant les mêmes propriétés que f ,
à savoir : g est une fonction dérivable sur R, vérifiant g (0) = 1 et, pour tout x, g ′ (x) = k g (x), avec k 6= 0 ?
Comme f ne s’annule pas sur R, on peut définir la fonction h =
g
.
f
Vérifiez que h est dérivable sur R, calculez sa dérivée. Que peut-on en déduire pour h ? Montrez alors que f = g .
TS. La fonction exponentielle
Théorème - Relation fonctionnelle
Les fonctions dérivables sur R, non nulles, telles que
f (0) = 1 et pour tout x, f ′ (x) = k × f (x)
sont les solutions de l’équation fonctionnelle
f (x + y) = f (x) × f (y) .
En particulier, pour k = 1, on a
Théorème et définition de la fonction exponentielle
Il existe une unique fonction f , dérivable sur R, telle que
f ′ = f et f (0) = 1 .
On la nomme fonction exponentielle et on la note exp.
L’exponentielle est à valeurs strictement positives et vérifie la relation
Solutions de l’équation différentielle f ′ = k · f
Les fonctions dérivables sur R, non nulles, vérifiant pour tout réel x, f ′ (x) = k × f (x)
sont les fonctions x 7→ C exp(kx) où C est une constante.
Si de plus f vérifie f (0) = a, a réel fixé, alors la solution est unique.
Conséquences immédiates
• exp(0) = 1.
• exp est dérivable sur R et exp′ (x) = exp(x).
• Pour tout réel x, exp(x) > 0.
• La fonction exp est strictement croissante sur R.
exp(a)
• exp(a − b) =
.
exp(b)
1
• exp(−b) =
.
exp(b)
¡
¢n
• exp(na) = exp(a) , avec n ∈ N.
p
¡
¢1
a
• exp( ) = n exp(a) = exp(a) n , avec n ∈ N∗ .
n
La notation e x
On pose
e = exp(1).
On obtiens grâce à la méthode d’E ULER une approximation de e,
¡
¢k
Comme pour tout entier k, exp(k) = exp(k × 1) = exp(1) = ek .
µ
¶
1 n
e = lim 1 +
≃ 2,718 281 828 .
n→+∞
n
on note, par convention,
exp(x) = e x .
Vous vérifierez que les propriétés vues précédemment sont conformes à l’usage de la notation puissance.
TS. La fonction exponentielle
Courbe, approximation affine - Propriétés
• C exp est au dessus de sa tangente en zéro :
y = ex
4
3
e
∀x ∈ R,
y = x +1
ex ≥ x + 1
• Au voisinage de 0 , exp (h) = e h ≃ 1 + h.
bc
• ea ≤ eb ⇔ a ≤ b
2
• ea = eb ⇔ a = b
1
ex − 1
=
x→0
x
• lim
-4
-3
-2
-1
y = x +-1
1
1
2
3
lim e x = 0
•
et
x→−∞
lim e x = +∞
x→+∞
par comparaison
Limites fondamentales
ex
= +∞
x→+∞ x
et
ex
= +∞
x→+∞ x n
et
lim
lim x.e x = 0
x→−∞
pour tout entier n strictement positif :
lim
lim x n .e x = 0
x→−∞
Ces limites sont à priori des formes indéterminées mais on retient :
"l’exponentielle de x l’emporte dans un produit ou un quotient sur les puissances de x"
Formule de dérivation
Si u est une fonction dérivable sur l’intervalle I, la fonction exp ◦u est dérivable sur I et
¡
¢′
exp ◦u =
ln (a) - Notation
L’équation e x = a, n’a pas de solution si a ≤ 0 , mais pour tout réel strictement positif a, l’équation en x :
ex = a
a une unique solution que l’on note : ln (a) appelé logarithme népérien de a
Résolution d’équations - On pourra poser X = e x
2e 2x − 3e x + 1 = 0
e 2x − 2e x = 0
e x + 12e −x + 7 = 0
TS. Équations différentielles
Équation différentielle y ′ = a y
Les solutions de l’équation différentielle y ′ = a y avec a réel fixé, sont les fonctions définies et dérivables sur R
de la forme
f (x) = C e ax avec C ∈ R .
Si l’équation admet une condition initiale f (x 0 ) = y 0 alors l’équation admet une solution unique.
Lignes essentielles de la démonstration :
– Montrons que les fonctions x 7→ C exp(ax) où C est une constante sont des solutions de l’équation y ′ = a y ;
– Montrons que ce sont les seules.
f (x)
Soit f une fonction vérifiant l’équation différentielle, on pose Φ : x 7→
. On montre que Φ est constante sur R
exp(ax)
c’est-à-dire qu’il existe un réel C tel que pour tout x, Φ(x) = C .
On en déduit alors f (x) = C exp(ax).
y0
. C est unique d’où l’unicité de la solution.
Si f (x 0 ) = y 0 , on a C exp(a × x 0 ) = y 0 c’est-à-dire C =
exp(a × x 0 )
Équation différentielle y ′ = a y + b
Les solutions de l’équation différentielle y ′ = a y +b avec a et b deux réels fixés, a 6= 0, sont les fonctions définies
et dérivables sur R de la forme
b
f (x) = C e ax −
avec C ∈ R .
a
Si l’équation admet une condition initiale f (x 0 ) = y 0 alors l’équation admet une solution unique.
Démonstration : Principe à connaître
1.
2.
3.
Montrons que la fonction constante g : x 7→ −
b
est une solution de l’équation différentielle y ′ = a y + b.
a
Montrons qu’une fonction f est solution de y ′ = a y + b ssi la fonction h = f − g est solution de y ′ = a y.
En déduire les solutions de y ′ = a y + b.