1 Propriétés mathématiques d`une solution 2 Étude de la réciproque

TS. Recherche des solutions de f′=k×fvérifiant f(0) =1 avec k6= 0
Nous allons rechercher les propriétés de ces solutions puis les caractériser. Plus exactement,
1reétape on suppose qu’il existe une solution f( la méthode d’EULER permet d’approcher une solution )
et on montre que cette solution vérifie alors la relation f(x+a)=f(x)×f(a).
2eétape on prouve la réciproque :
toute fonction vérifiant f(x+a)=f(x)×f(a) est solution de l’équation différentielle.
3eétape on montre que si une solution existe, alors elle est unique.
1 Propriétés mathématiques d’une solution
Soit fune fonction dérivable sur Rvérifiant f(0) =1 et, pour tout x,f′(x)=k×f(x), avec k6= 0.
1. Montrez que f′(0) =k.
2. Soit aun réel fixé et gla fonction définie par g(x)=f(x+a)f(−x).
1. Montrez que gest dérivable sur Ret calculez g′(x).
2. Calculez g(0) et déduisez-en que pour tous xet aréels,
f(x+a)×f(−x)=f(a). (1)
3. Montrez alors successivement que
1. pour tout réel x,f(x)f(−x)=1 ;
2. fne s’annule pas sur R;
3. pour tous réels xet a,f(x+a)=f(x)×f(a).
2 Étude de la réciproque
Nous avons montré que, si une telle fonction existe , alors elle vérifie nécessairement l’équation fonctionnelle
f(x+y)=f(x)×f(y) . (E)
Montrons que, réciproquement, une fonction dérivable, non nulle, vérifiant la relation (E) est nécessairement telle
que f(0) =1 et vérifie pour tout réel x,f′(x)=k×f(x), avec kun réel non nul.
1. Montrez que fne s’annule pas et que fest à valeurs strictement positives.
2. Montrez que, comme fn’est pas la fonction nulle, alors f(0) =1 en utilisant la relation (E).
3. Soit aun réel fixé. On définit la fonction φ:x7→ f(x+a) et la fonction ψ:x7→ f(x)×f(a).
Montrez que f′(x+a)=f(a)×f′(x), puis que, pour tout réel a,f′(a)=k×f(a),
où kest un réel que vous déterminerez.
3 Unicité de la solution
Peut-on trouver une autre fonction, g, distincte de f, et vérifiant les mêmes propriétés que f,
à savoir : gest une fonction dérivable sur R, vérifiant g(0) =1 et, pour tout x,g′(x)=k g (x), avec k6= 0 ?
Comme fne s’annule pas sur R, on peut définir la fonction h=g
f.
Vérifiez que hest dérivable sur R, calculez sa dérivée. Que peut-on en déduire pour h? Montrez alors que f=g.

TS. La fonction exponentielle
Les fonctions dérivables sur R, non nulles, telles que
f(0) =1 et pour tout x,f′(x)=k×f(x)
sont les solutions de l’équation fonctionnelle
f(x+y)=f(x)×f(y).
Théorème - Relation fonctionnelle
En particulier, pour k =1, on a
Il existe une unique fonction f, dérivable sur R, telle que
f′=fet f(0) =1.
On la nomme fonction exponentielle et on la note exp.
L’exponentielle est à valeurs strictement positives et vérifie la relation
Théorème et définition de la fonction exponentielle
Les fonctions dérivables sur R, non nulles, vérifiant pour tout réel x,f′(x)=k×f(x)
sont les fonctions x7→ Cexp(kx) où Cest une constante.
Si de plus fvérifie f(0) =a,aréel fixé, alors la solution est unique.
Solutions de l’équation différentielle f′=k·f
• exp(0) =1.
• exp est dérivable sur Ret exp′(x)=exp(x).
• Pour tout réel x, exp(x)>0.
• La fonction exp est strictement croissante sur R.
• exp(a−b)=exp(a)
exp(b).
• exp(−b)=1
exp(b).
• exp(na)=¡exp(a)¢n, avec n∈N.
• exp( a
n)=n
pexp(a)=¡exp(a)¢1
n, avec n∈N∗.
Conséquences immédiates
On pose e =exp(1).
On obtiens grâce à la méthode d’EULER une approximation de e, e =lim
n→+∞ µ1+1
n¶n
≃2,718281828.
Comme pour tout entier k, exp(k)=exp(k×1) =¡exp(1)¢k=ek. on note, par convention, exp(x)=ex.
Vous vérifierez que les propriétés vues précédemment sont conformes à l’usage de la notation puissance.
La notation ex

TS. La fonction exponentielle
1
2
3
4
-1
1 2 3-1-2-3-4
e
y=x+1
y=ex
•Cexp est au dessus de sa tangente en zéro : y=x+1
∀x∈R,ex≥x+1
• Au voisinage de 0 , exp(h)=eh≃1+h.
•ea≤eb⇔a≤b
•ea=eb⇔a=b
• lim
x→0
ex−1
x=
• lim
x→−∞ ex=0 et lim x→+∞ ex= +∞ par comparaison
Courbe, approximation affine - Propriétés
lim
x→+∞
ex
x= +∞ et lim
x→−∞ x.ex=0
pour tout entier nstrictement positif :
lim
x→+∞
ex
xn= +∞ et lim
x→−∞ xn.ex=0
Ces limites sont à priori des formes indéterminées mais on retient :
"l’exponentielle de x l’emporte dans un produit ou un quotient sur les puissances de x"
Limites fondamentales
Si uest une fonction dérivable sur l’intervalle I, la fonction exp◦uest dérivable sur I et
¡exp◦u¢′=
Formule de dérivation
L’équation ex=a, n’a pas de solution si a≤0 , mais pour tout réel strictement positif a, l’équation en x:
ex=a
a une unique solution que l’on note : ln(a)appelé logarithme népérien de a
ln(a)- Notation
2e2x−3ex+1=0
e2x−2ex=0
ex+12e−x+7=0
Résolution d’équations - On pourra poser X=ex

TS. Équations différentielles
Les solutions de l’équation différentielle y′=a y avec aréel fixé, sont les fonctions définies et dérivables sur R
de la forme
f(x)=Ceax avec C∈R.
Si l’équation admet une condition initiale f(x0)=y0alors l’équation admet une solution unique.
Équation différentielle y′=ay
Lignes essentielles de la démonstration :
– Montrons que les fonctions x7→ Cexp(ax) où Cest une constante sont des solutions de l’équation y′=a y ;
– Montrons que ce sont les seules.
Soit fune fonction vérifiant l’équation différentielle, on pose Φ:x7→ f(x)
exp(ax). On montre que Φest constante sur R
c’est-à-dire qu’il existe un réel Ctel que pour tout x,Φ(x)=C.
On en déduit alors f(x)=Cexp(ax).
Si f(x0)=y0, on a Cexp(a×x0)=y0c’est-à-dire C=y0
exp(a×x0).Cest unique d’où l’unicité de la solution.
Les solutions de l’équation différentielle y′=a y +bavec aet bdeux réels fixés, a6= 0, sont les fonctions définies
et dérivables sur Rde la forme
f(x)=Ceax −b
aavec C∈R.
Si l’équation admet une condition initiale f(x0)=y0alors l’équation admet une solution unique.
Équation différentielle y′=ay +b
Démonstration : Principe à connaître
1. Montrons que la fonction constante g:x7→ − b
aest une solution de l’équation différentielle y′=a y +b.
2. Montrons qu’une fonction fest solution de y′=ay +bssi la fonction h=f−gest solution de y′=a y.
3. En déduire les solutions de y′=ay +b.