DS3 TS EXERCICE 1 : R.O.C. Prérequis : la fonction exponentielle

DS3
E XERCICE 1 : R.O.C.
Prérequis : la fonction exponentielle, notée exp, a les trois propriétés suivantes
– exp est une fonction dérivable sur R
– sa fonction dérivée, notée exp0 , vérifie exp0 = exp
– exp(0) = 1
– exp(x) 6= 0 pour tout réel x.
En n’utilisant que ces propriétés de la fonction exp, démontrer que pour tout nombre
réel a et tout nombre réel b, exp(a + b) = exp(a) × exp(b).
E XERCICE 2 :
Partie A :
On considère l’équation différentielle (E1 ) : y 0 = ay + b où y désigne une fonction
de la variable t, dérivable sur R, et a, b réels avec a non nul.
Prérequis : les solutions de l’équation différentielle (E0 ) : y 0 = ay sont les fonctions
définies sur R par fC (t) = Ceat avec C ∈ R.
En n’utilisant uniquement ces propriétés, répondre aux questions suivantes.
1. Démontrer que la fonction constante définie sur R par u(t) = − ab est solution
de l’équation différentielle (E1 ).
2. Soit v une fonction définie et dérivable sur R. Démontrer l’équivalence v solution
de l’équation différentielle (E1 ) ⇔ v − u est solution de l’équation différentielle
(E0 ).
3. En déduire toutes les solutions de (E1 ).
Partie B :
On considère l’équation différentielle
1
1
(E) : y 0 = − y +
2
20
où y est une fonction dérivable sur R.
1. Donner (sans justifier) toutes les solutions de (E).
2. Montrer que la solution de (E) qui vaut 100 en 0 est la fonction h définie sur R
par
t
1
h(t) =
(1 + 999e− 2 )
10
Partie C : étude de la progression d’une épidémie dans une population.
Au début de l’épidémie, on constate que 0, 01% de la population est contaminé. Pout
t appartenant à [0; +∞[, on note f (t) le pourcentage de personnes touchées par la
maladie après t jours. On a donc f (0) = 0, 01. On admet que la fonction f ainsi définie
sur [0; +∞[ est dérivable, strictement positive et vérifie l’équation différentielle :
(E 0 ) : y 0 = 0, 05y(10 − y)
1. On considère la fonction g définie sur l’intervalle [0; +∞[ par g = f1 . Démontrer
que la fonction f est solution de (E 0 ) avec f (0) = 0, 01 si et seulement si la
fonction g est solution de (E) avec g(0) = 100.
1
TS
2. En déduire, à l’aide de la Partie B, une expression de la fonction g puis de la
fonction f .
3.
(a) Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur arrondie à l’entier le plus proche.
(b) Calculer la dérivée f 0 et dresser le tableau de variation de f sur [0; +∞[.
(c) Peut-on avoir plus de 10% de la population touché par le virus ? Justifier.
E XERCICE 3 :
Partie A :
On considère la fonction g définie sur [0; +∞[ par g(x) = ex − x − 1.
1. Etudier les variations de la fonction g sur [0; +∞[.
2. En déduire que pour tout x de [0; +∞[, ex − x > 0.
Partie B :
On considère la fonction f dérivable sur [0; +∞[ et définie par
f (x) =
ex − 1
ex − x
On note (C) la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni dŠun repère
orthonormal.
1. Déterminer la limite de f en +∞.
2. Montrer que f est strictement croissante sur [0; +∞[.
3. Soit (D) la droite d’équation y = x.
Montrer que pour tout x de [0; +∞[,
f (x) − x =
(1 − x)g(x)
ex − x
(b)
(a) En déduire les positions relatives de la droite (D) et de la courbe (C) sur
[0; +∞[.
E XERCICE 4 :
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Si la proposition est vraie on demande une démonstration et si la proposition est fausse on
demande un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Proposition 1 : "l’ensemble solution de l’inéquation
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 1 −
Proposition 2 :" la limite de f en +∞ est 1".
e1+2x
≥ e2 est S =] − ∞; −4]".
e3x−1
4ex
.
+1
e2x
1
Soit g la fonction définie sur R∗ par g(x) = x12 e x de courbe représentative Cg .
Proposition 3 :" la tangente à Cg en x0 = 1 a pour équation y = −2ex + 3e".
2
Soit h la fonction définie sur R par h(x) = e2x (cos x + sin x).
Proposition 4 :" h est solution de l’équation différentielle y 00 − 4y 0 + 5y = 0".
E XERCICE 5 :
Les résultats numériques seront donnés sous forme de fractions.
Une urne contient des boules indiscernables au toucher. 20 % des boules portent le
numéro 1 et sont rouges. Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, 10 % sont
rouges et les autres sont vertes.
1. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité quŠelle soit rouge ? Justifier.
2. On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge. Quelle est la probabilité quŠelle
porte le numéro 2 ? Justfier.
3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On effectue n tirages successifs
dŠune boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans lŠurne).
(a) Exprimer en fonction de n la probabilité dŠobtenir au moins une boule
rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages.
(b) Déterminer lŠentier n à partir duquel la probabilité dŠobtenir au moins une
boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages est supérieure ou
égale à 0,99.
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