DS3 TS EXERCICE 1 : R.O.C. Prérequis : la fonction exponentielle

DS3 TS
EXERCICE 1 : R.O.C.
Prérequis : la fonction exponentielle, notée exp, a les trois propriétés suivantes
–exp est une fonction dérivable sur R
– sa fonction dérivée, notée exp0, vérifie exp0= exp
–exp(0) = 1
–exp(x)6= 0 pour tout réel x.
En n’utilisant que ces propriétés de la fonction exp, démontrer que pour tout nombre
réel aet tout nombre réel b,exp(a+b) = exp(a)×exp(b).
EXERCICE 2 :
Partie A :
On considère l’équation différentielle (E1) : y0=ay +boù ydésigne une fonction
de la variable t, dérivable sur R, et a, b réels avec anon nul.
Prérequis : les solutions de l’équation différentielle (E0) : y0=ay sont les fonctions
définies sur Rpar fC(t) = Ceat avec C∈R.
En n’utilisant uniquement ces propriétés, répondre aux questions suivantes.
1. Démontrer que la fonction constante définie sur Rpar u(t) = −b
aest solution
de l’équation différentielle (E1).
2. Soit vune fonction définie et dérivable sur R. Démontrer l’équivalence vsolution
de l’équation différentielle (E1)⇔v−uest solution de l’équation différentielle
(E0).
3. En déduire toutes les solutions de (E1).
Partie B :
On considère l’équation différentielle
(E) : y0=−1
2y+1 20
où yest une fonction dérivable sur R.
1. Donner (sans justifier) toutes les solutions de (E).
2. Montrer que la solution de (E)qui vaut 100 en 0 est la fonction hdéfinie sur R
par
h(t) = 1
10(1 + 999e−t
2)
Partie C : étude de la progression d’une épidémie dans une population.
Au début de l’épidémie, on constate que 0,01% de la population est contaminé. Pout
tappartenant à [0; +∞[, on note f(t)le pourcentage de personnes touchées par la
maladie après tjours. On a donc f(0) = 0,01. On admet que la fonction fainsi définie
sur [0; +∞[est dérivable, strictement positive et vérifie l’équation différentielle :
(E0) : y0= 0,05y(10 −y)
1. On considère la fonction gdéfinie sur l’intervalle [0; +∞[par g=1
f. Démontrer
que la fonction fest solution de (E0)avec f(0) = 0,01 si et seulement si la
fonction gest solution de (E)avec g(0) = 100.
1

2. En déduire, à l’aide de la Partie B, une expression de la fonction gpuis de la
fonction f.
3. (a) Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On don-
nera la valeur arrondie à l’entier le plus proche.
(b) Calculer la dérivée f0et dresser le tableau de variation de fsur [0; +∞[.
(c) Peut-on avoir plus de 10% de la population touché par le virus ? Justifier.
EXERCICE 3 :
Partie A :
On considère la fonction gdéfinie sur [0; +∞[par g(x) = ex−x−1.
1. Etudier les variations de la fonction gsur [0; +∞[.
2. En déduire que pour tout xde [0; +∞[, ex−x > 0.
Partie B :
On considère la fonction fdérivable sur [0; +∞[et définie par
f(x) = ex−1
ex−x
On note (C) la courbe représentative de la fonction fdans le plan muni dŠun repère
orthonormal.
1. Déterminer la limite de fen +∞.
2. Montrer que fest strictement croissante sur [0; +∞[.
3. Soit (D) la droite d’équation y=x.
Montrer que pour tout xde [0; +∞[,
f(x)−x=(1 −x)g(x)
ex−x
(a)(b) En déduire les positions relatives de la droite (D) et de la courbe (C) sur
[0; +∞[.
EXERCICE 4 :
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Si la pro-
position est vraie on demande une démonstration et si la proposition est fausse on
demande un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc-
tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Proposition 1 : "l’ensemble solution de l’inéquation e1+2x
e3x−1≥e2est S=] − ∞;−4]".
Soit fla fonction définie sur Rpar f(x)=1−4ex
e2x+ 1.
Proposition 2 :" la limite de fen +∞est 1".
Soit gla fonction définie sur R∗par g(x) = 1
x2e1
xde courbe représentative Cg.
Proposition 3 :" la tangente à Cgen x0= 1 a pour équation y=−2ex + 3e".
2

Soit hla fonction définie sur Rpar h(x) = e2x(cos x+ sin x).
Proposition 4 :"hest solution de l’équation différentielle y00 −4y0+ 5y= 0".
EXERCICE 5 :
Les résultats numériques seront donnés sous forme de fractions.
Une urne contient des boules indiscernables au toucher. 20 % des boules portent le
numéro 1 et sont rouges. Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, 10 % sont
rouges et les autres sont vertes.
1. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité quŠelle soit rouge ? Justi-
fier.
2. On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge. Quelle est la probabilité quŠelle
porte le numéro 2 ? Justfier.
3. Soit nun entier naturel supérieur ou égal à 2. On effectue ntirages successifs
dŠune boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans lŠurne).
(a) Exprimer en fonction de n la probabilité dŠobtenir au moins une boule
rouge portant le numéro 1 au cours des ntirages.
(b) Déterminer lŠentier nà partir duquel la probabilité dŠobtenir au moins une
boule rouge portant le numéro 1 au cours des ntirages est supérieure ou
égale à 0,99.
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