PHR 101 Leçon n°2 Exercice n°4: Modèle simple de la conductivité

PHR 101 Leçon n°2
Exercice n°4: Modèle simple de la conductivité
Résoudre une équation différentielle de premier ordre avec un second membre non nul.
On propose ci d’étudier un modèle très simple expliquant la conductivité dans un métal.
On va supposer que l’application d’une tension sur un fil conducteur engendre un champ
électrique constant
0
E
constant et donc une force électrique perçue par les électrons de charge
–e qui est donnée par :
0
x
e E e
→
−
On va également voir les électrons comme « des coureurs du 110 mètres haies ». Les haies
représentent les noyaux des atomes constituant le matériau conducteur. Leur présence se
traduit par une opposition au mouvement des électrons et est donc associée à une force
donnée par :
( )
x
f v t e
→
−, où
f
est une constante.
Les électrons sont animés d’une vitesse
( ) = ( )
x
v t v t e
→
, où
x
e
→
est un vecteur unitaire
immobile. On fera donc abstraction de l’agitation thermique et donc
(0) 0.
v
=
1) Déterminez l’équation différentielle qui fixe l’évolution de la vitesse v(t).
On a plus l’habitude de travailler avec des équations différentielles relatives au mouvement et
qui fixent l’évolution de x. Dans cet exercice, c’est bien la vitesse que nous cherchons à
déterminer.
Correction
1) En appliquant le principe fondamental de la dynamique :
( )
= ( ) =
i
i
dv t
F ma t m
dt
∑
0
0
0
( )
: ( )
( )
: = ( )
( ) ( ) =
x x x
d v t
On a suivant l axe des x m e e E e f v t e
dt
dv t
ou encore m e E f v t
dt
dv t f e
v t E
dt m m
→ → →
′= − −
− −
⇒+ −

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2) En proposant une solution particulière constante
2 0
( )
e
v t E
f
= − , résoudre cette équation et
indiquer la vitesse en régime permanent (pour t → ∞).
La solution est la somme d’une solution générale + une solution particulière.
Correction
2) On commence par résoudre l’équation sans second membre :
( )
( ) 0
dv t f v t
dt m
+ =
La solution de cette équation est :
1
( ) exp( )
t
v t A
τ
= −
, avec
m
f
τ
=
La solution particulière de l’équation différentielle est
2 0
( )
e
v t E
f
= −
La solution générale est par conséquent :
0
( ) exp( )
e E
t
v t A
f
τ
= − + −
On utilise à la fin les CI pour déterminer les valeurs des constantes
En utilisant la condition initiale v(0) = 0, on trouve l’expression de v(t) :
0
( ) 1 exp( )
eE
t
v t f
τ
= − − − ×
On obtient alors une vitesse en régime permanent de : 0
x
eE
v e
f
→
∞
= −
3) La vitesse de dérive des électrons = vitesse en régime permanent :
19 3
012
10 10
0,1 /
10
eE
v mm s
f
−
∞−
= − ≈ =