Logarithme népérien Exponentielle

Logarithme népérien
Exponentielle
I. Logarithme népérien
Définition :
La fonction
1
x
x! admet des primitives sur ]0 ;
+∞ [.
La primitive qui prend la valeur 0 en 1 est la fonction logarithme
népérien, notée « ln ».
La fonction ln est définie sur ]0 ;
+∞ [, ln’(x) =
1
x
et ln (1) =0.
Variation et limites :
ln’(x) =
1
x
> 0 sur ]0 ; +∞ [, donc la fonction ln est strictement croissante
sur ]0 ;
+∞ [.
lim ln x
x=−∞ →−∞
et
lim ln x
x=+∞ →+∞
.
On note e le nombre réel tel que ln e = 1.
Approximation affine de
ln(1 )hh+!
pour h proche de 0 :
On pose f(x) = ln x.
Au voisinage de 1 pour f, f(x)
≈
f’(1) (x – 1) + f(1) = x – 1 (équation de
sa tangente en 1), donc pour x = 1+h et h proche de 0, on a : f(1+h)
≈
h.
Par exemple : ln (1,05) = ln (1 + 0,05) est proche de 0,05.
Représentation graphique :
• En bleu :
Représentation graphique de la
fonction ln.
• En vert :
Représentation graphique de sa
tangente au point d’abscisse 1,
d’équation y = x -1.
Dérivation de ln u avec u >0 :
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et sur lequel u(x) > 0.
On a : (ln u)’ = u'
u
sur I.
Propriétés de la fonction logarithme népérien :
Soit a et b appartenant à ]0 ;
+∞ [. On a :
ln (a×b) = ln (a) + ln (b)
ln (
1
b
) = - ln (b)
ln (
a
b
) = ln (a) - ln (b)
ln(an) = n ln a pour n∈" et ln (
n
a) = ln(a
1
n
) =
1
n
ln a pour n *∈" .
Equation et inéquation :
Soit a et b appartenant à ]0 ;
+∞ [.
a = b ⇔ ln (a) = ln (b)
a < b ⇔ ln (a) < ln (b) (ou a ≤ b ⇔ ln (a) ≤ ln (b))
a > b ⇔ ln (a) > ln (b) (ou a ≥ b ⇔ ln (a) ≥ ln (b))
Exemple :
Résoudre ln (2x - 1) = 2 ln (x).
On doit avoir 2x – 1 > 0 et x > 0, donc x>
1
2
.
Pour x>
1
2
, ln (2x - 1) = 2 ln (x) = ln (x2) donc x2 = 2x -1 et x2 – 2x +1 =0.
On peut résoudre l’équation du second degré ou remarquer que :
x2 – 2x +1 = (x - 1)2 = 0 et que x = 1 ( >
1
2
). S={1}.
II. Fonction exponentielle
La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞ [.
Si à x dans ]0 ;
+∞ [, on associe un unique y = ln x sur ] −∞ ; +∞ [, on
peut aussi, ici, associer à cet y dans ]
−∞ ; +∞ [, un unique x dans ]0; +∞ [.
Cette fonction appelée bijection réciproque de la fonction ln est la
fonction exponentielle.
exp :
" → ]0 ; +∞ [
y = ln x
! x = exp (y)
Propriétés découlant de la définition : ( ! au domaine de départ)
Pour tout x dans ]0 ;
+∞ [, exp (ln x ) = x
Pour tout x dans
" , ln (exp(x )) = x
ln (1) = 0 donc exp(0) = 1. ln e =1 donc exp (1) = e.
Variation et limites :
La fonction exp est strictement croissante sur
" et exp’ = exp.
lim exp( ) 0x
x= →−∞
et
lim exp( )x
x=+∞ →+∞
.
Approximation affine de
exp( )hh!
pour h proche de 0 :
Au voisinage de 0 pour f, exp(x)
≈
exp’(0) x + exp(0) = x + 1 (équation
de sa tangente en 0). Son approximation affine est
1hh+! .
Par exemple : exp (0,05) est proche de 0,05 +1 = 1,05
Notation :
La relation ln(an) = n ln a est aussi valable pour n
∈ " .
Pour a = e, ln(en) = n ln e = n = ln (exp(n))
On pose donc : exp (x) = ex pour x dans
" en étendant l’égalité sur " .
Représentation graphique :
• En bleu :
Représentation graphique de la
fonction exponentielle.
• En vert :
Représentation graphique de sa
tangente au point d’abscisse 1,
d’équation y = x +1.
Dérivation de eu avec u dérivable :
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
On a : (eu)’ = u’ eu sur I.
Propriétés de la fonction exponentielle :
Soit a et b appartenant à " . On a :
ea+b = ea × eb ; e-b =
1
b
e
; ea-b =
a
e
b
e
.
Equation et inéquation :
Soit a et b appartenant à
" .
a = b ⇔ ea = eb
a < b ⇔ ea < eb (ou a ≤ b ⇔ ea≤ eb )
a > b ⇔ ea > eb (ou a ≥ b ⇔ ea) ≥ eb )
Editeur : MemoPage.com SA © / Auteur : Pierre Larivière / 2008