Examen de LM100

UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE L1-BGPC
Examen de LM100
Méthodes de calcul et statistiques
Première session – 1er juin 2011
Durée 2h — Documents, calculatrices et téléphones interdits
Cet examen se compose de 6 exercices entièrement indépendants
On donne une table sommaire de la fonction exponentielle exp(x):
x0 1 1,5 2 2,5 3 3,5
ex1 2,72 4,48 7,39 12,18 20,1 33,1
e−x1 0,368 0,223 0,135 8,21 ×10−24,99 ×10−23,02 ×10−2
et quelques valeurs utiles de la fonction de répartition de la loi normale réduite centrée :
F(u) = (2π)−1/2Zu
−∞
exp(−x2/2) dx avec F(−u)=1−F(u).
u0 0,25 0,333 0,5 0.674 1 1.28 1,5 1,65 2 3
F(u)0,5 0,599 0,631 0,691 0.75 0,841 0.900 0,933 0,951 0,977 0.999
A Racines complexes
On cherche les solutions dans Cde l’équation :
z3+ 1 = 0 .(1)
1En utilisant par exemple la représentation module et argument, c’est à dire en posant
z=|z|exp(iθ), déterminer les solutions de cette équation.
2En déduire l’expression de ce polynôme sous forme d’un produit de facteurs.
B Équation différentielle
On considère l’équation différentielle :
dx
dt =γx−λexp(2γ t)pour λréel quelconque et γréel strictement positif. (2)
1Déterminer les solutions x(t)de cette équation différentielle lorsque λ= 0.
2Dans le cas λ6= 0, on cherche une solution sous la forme :
x(t) = A(t) exp(2γ t)où A(t)est une fonction à déterminer. (3)
a) Déterminer l’expression de l’équation différentielle satisfaite par A(t), obtenue en reportant
l’expression (3) dans l’équation (2).
b) En déduire l’expression de A(t)par intégration.
3En utilisant les résultats B.1.) et B.2.b.), écrire la solution générale de l’équation (2).
4En déduire la solution de l’équation (2) dans le cas de la condition initiale : x(0) = 0.
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C Étude de fonction
On étudie pour t∈IR+la fonction f(t)ainsi définie :
f(t) = a
1+(a−1) e−γt où γ > 0et 1< a < 2. (4)
1Quel est son ensemble de définition ? La fonction est-elle périodique ?
2Quelle est la limite de f(t)pour t→0? pour t→+∞?
3Calculer la dérivée f0(t)et en déterminer le signe.
4En déduire le tableau de variation de f(t).
NB : Ne pas calculer f00(t): pour 1< a < 2, il n’y a pas de point d’inflexion.
5Tracer le graphe de f(t), avec γ= 1, et a= 1,5.
D Forme d’une boîte
La surface Set le volume Vd’une boîte parallélépipédique en carton de cotés a,bet c
sont donnés par :
S(a,b,c) = 2(a b +b c +a c)(5)
V(a,b,c) = abc (6)
1Calculer les dérivées partielles premières de Set de Vpar rapport à a,bet c.
2Pour économiser la matière première et l’énergie, on cherche à minimiser la surface de la
boîte pour un volume donné.
a) En exprimant cen fonction de a,bet de V, obtenir la fonction S(a,b,V ).
b) Le caractère minimal de Ss’écrit en annulant le gradient de Spar rapport aux variables
aet bàVconstant, soit :
∂S
∂a 
V=Cste
=∂S
∂b 
V=Cste
= 0 (7)
Quelle relation cela impose-t-il à aet b? Quelle est la solution obtenue pour a,bet c?
E Logique Shadok
Fig. 1 – La fusée
Le professeur Shadoko a calculé que le lancement d’une fusée a
p= 99,9% de chances d’échouer et q= 1 −p= 0,1% de chances
de réussir. Les Shadoks se hâtent donc de rater les 1000 premiers
essais dans le but de réussir le 1001e, considéré comme « sûr ». On
considère les lancements comme indépendants.
1Déterminer l’expression littérale (en fonction de p) de la proba-
bilité P(k)pour que le lancement échoue successivement jusqu’à
la k-ième tentative.
2Montrer que P(k)≈exp(−k q).
Indication : considérer ln(P)et utiliser les relations :
ln(ab) = b×ln(a)et ln(1 −q) = −q+o(q)
3En déduire la probabilité pour que les 1000 premiers lancements
soient des échecs et le 1001elancement soit réussi.
2/3

F Hyperglycémie
Dans la population ne présentant pas de troubles du métabolisme, la glycémie à jeun
(taux de glucose sanguin, exprimé en g/l) est une variable aléatoire Xsuivant une loi
normale de moyenne µ= 1 et d’écart-type σ= 0.1.
1Chez un individu pris au hasard dans la population « normale », quelles sont les probabi-
lités pour que :
a) X > 1,3,
b) 0,9< X < 1,1.
2Chez les individus atteints de diabète, la glycémie à jeun Xsuit une loi normale de
moyenne µ0= 1,3et d’écart type σ0= 0,3. La fréquence du diabète dans la population
est supposée être de 4%. On ne tient pas compte ici des autres causes d’hyperglycémie.
a) Chez un individu pris au hasard parmi les diabétiques, quelle est la probabilité d’avoir
une glycémie X > 1,3?
b) Pour un individu ayant une glycémie Xsupérieure à 1,3, quelle est la probabilité pour
qu’il soit diabétique ?
3/3FIN