Examen de LM100

UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE
L1-BGPC
Examen de LM100
Méthodes de calcul et statistiques
Première session – 1er juin 2011
Durée 2h — Documents, calculatrices et téléphones interdits
Cet examen se compose de 6 exercices entièrement indépendants
On donne une table sommaire de la fonction exponentielle exp(x) :
x
ex
e−x
0
1
1
1
1,5
2
2,5
3
3,5
2,72 4,48 7,39
12,18
20,1
33,1
0,368 0,223 0,135 8,21 × 10−2 4,99 × 10−2 3,02 × 10−2
et quelques valeurs utiles de Zla fonction de répartition de la loi normale réduite centrée :
u
−1/2
F (u) = (2π)
exp(−x2 /2) dx avec F (−u) = 1 − F (u).
−∞
u
F (u)
0
0,5
0,25
0,599
0,333
0,631
0,5
0,691
0.674
0.75
1
0,841
1.28
0.900
1,5
0,933
1,65
0,951
2
0,977
3
0.999
A Racines complexes
On cherche les solutions dans C de l’équation :
z3 + 1 = 0 .
(1)
1
En utilisant par exemple la représentation module et argument, c’est à dire en posant
z = |z| exp(iθ), déterminer les solutions de cette équation.
2
En déduire l’expression de ce polynôme sous forme d’un produit de facteurs.
B Équation différentielle
On considère l’équation différentielle :
dx
= γ x − λ exp(2γ t) pour λ réel quelconque et γ réel strictement positif.
dt
1
Déterminer les solutions x(t) de cette équation différentielle lorsque λ = 0.
2
Dans le cas λ 6= 0, on cherche une solution sous la forme :
x(t) = A(t) exp(2γ t) où A(t) est une fonction à déterminer.
(2)
(3)
a) Déterminer l’expression de l’équation différentielle satisfaite par A(t), obtenue en reportant
l’expression (3) dans l’équation (2).
b) En déduire l’expression de A(t) par intégration.
3
En utilisant les résultats B.1.) et B.2.b.), écrire la solution générale de l’équation (2).
4
En déduire la solution de l’équation (2) dans le cas de la condition initiale : x(0) = 0.
1/3
C Étude de fonction
On étudie pour t ∈ IR+ la fonction f (t) ainsi définie :
f (t) =
a
1 + (a − 1) e−γt
où γ > 0 et 1 < a < 2.
(4)
1
Quel est son ensemble de définition ? La fonction est-elle périodique ?
2
Quelle est la limite de f (t) pour t → 0 ? pour t → +∞ ?
3
Calculer la dérivée f 0 (t) et en déterminer le signe.
4
En déduire le tableau de variation de f (t).
NB : Ne pas calculer f 00 (t) : pour 1 < a < 2, il n’y a pas de point d’inflexion.
5
Tracer le graphe de f (t), avec γ = 1, et a = 1,5.
D Forme d’une boîte
La surface S et le volume V d’une boîte parallélépipédique en carton de cotés a, b et c
sont donnés par :
S(a,b,c) = 2(a b + b c + a c)
V (a,b,c) = a b c
1
(5)
(6)
Calculer les dérivées partielles premières de S et de V par rapport à a, b et c.
Pour économiser la matière première et l’énergie, on cherche à minimiser la surface de la
boîte pour un volume donné.
a) En exprimant c en fonction de a, b et de V , obtenir la fonction S(a,b,V ).
b) Le caractère minimal de S s’écrit en annulant le gradient de S par rapport aux variables
a et b à V constant, soit :
∂S ∂S =
= 0
(7)
∂a V =Cste
∂b V =Cste
2
Quelle relation cela impose-t-il à a et b ? Quelle est la solution obtenue pour a, b et c ?
E Logique Shadok
Le professeur Shadoko a calculé que le lancement d’une fusée a
p = 99,9% de chances d’échouer et q = 1 − p = 0,1% de chances
de réussir. Les Shadoks se hâtent donc de rater les 1000 premiers
essais dans le but de réussir le 1001e, considéré comme « sûr ». On
considère les lancements comme indépendants.
1
Déterminer l’expression littérale (en fonction de p) de la probabilité P(k) pour que le lancement échoue successivement jusqu’à
la k-ième tentative.
2
Montrer que P(k) ≈ exp(−k q).
Indication : considérer ln(P) et utiliser les relations :
ln(ab ) = b × ln(a) et ln(1 − q) = −q + o(q)
3
En déduire la probabilité pour que les 1000 premiers lancements
soient des échecs et le 1001e lancement soit réussi.
2/3
Fig. 1 – La fusée
F Hyperglycémie
Dans la population ne présentant pas de troubles du métabolisme, la glycémie à jeun
(taux de glucose sanguin, exprimé en g/l) est une variable aléatoire X suivant une loi
normale de moyenne µ = 1 et d’écart-type σ = 0.1.
Chez un individu pris au hasard dans la population « normale », quelles sont les probabilités pour que :
a) X > 1,3 ,
b) 0,9 < X < 1,1.
1
Chez les individus atteints de diabète, la glycémie à jeun X suit une loi normale de
moyenne µ0 = 1,3 et d’écart type σ 0 = 0,3. La fréquence du diabète dans la population
est supposée être de 4%. On ne tient pas compte ici des autres causes d’hyperglycémie.
a) Chez un individu pris au hasard parmi les diabétiques, quelle est la probabilité d’avoir
une glycémie X > 1,3 ?
b) Pour un individu ayant une glycémie X supérieure à 1,3, quelle est la probabilité pour
qu’il soit diabétique ?
2
3/3
FIN