2 problèmes dont 1 facultatif

Lycée La Bruyère, Versailles Pour le vendredi 04/11/2011
ECS 2 – Mathématiques
DM no6 : Variables aléatoires réelles discrètes
Problème 1 –Étude de la descendance d’un individu
Dans tout le problème, on désigne par λun réel strictement positif. L’objet du problème est d’étudier l’évolution au
cours du temps de la descendance d’un individu dans une population donnée.
Partie préliminaire
Soit fla fonction définie pour tout x∈[0,1] par f(x)=eλ(x−1), et soit (xn)n∈Nla suite définie par x0= 0 et la
relation de récurrence :
∀n∈N, xn+1 =f(xn).
1. (a) Étudier les variations sur Rde la fonction g:x7→ xe−x(on précisera en particulier son maximum).
(b) En étudiant les variations de la fonction x7→ f(x)−x, déterminer suivant la valeur de λle nombre de
solutions de l’équation f(x) = xdans [0,1].
On désigne désormais par `la plus petite solution dans [0,1] de l’équation f(x) = x
2. Montrer que (xn)n∈Nest strictement croissante et majorée par `.
Montrer que (xn)n∈Nconverge vers une limite que l’on précisera.
3. Montrer que : ∀α∈R∗
+,∃nα∈N,∀n>nα, xn6`6xn+α.
Pour toute valeur αon se donne une telle valeur nα.
En déduire que l’on a alors : ∀α∈]0,1−`[,∀n>nα, f(xn+α)−(xn+α)<0.
4. Écrire un algorithme permettant de déterminer une valeur approchée de `à10−6près lorsque λ > 1.
Partie I – Nombre moyen de descendants
On convient d’appeler, dans une population donnée, descendants de première génération d’un individu, ses enfants ;
descendants de deuxième génération, ses petits-enfants ; etc.
Soit Xune variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ. On suppose alors dans la suite du problème
que le nombre de descendants de première génération de tout individu au sein de cette population suit la même loi
que Xet que pour tout n∈N∗, les variables aléatoires associant aux différents individus d’une même génération le
nombre de leurs descendants de n-ième génération sont indépendantes et de même loi.
On note désormais :
•pour tout n∈N∗,Xnla variable aléatoire telle que le nombre de descendants de n-ième génération de tout
individu au sein de cette population suive la même loi que Xn;
•pour tout n∈N∗,un=P(Xn= 0) la probabilité pour un individu donné de n’avoir aucun descendant à la n-ième
génération (on posera par convention u0= 0).
1. (a) Déterminer la loi de X1.
(b) Pour tout n∈N∗et pour tout p∈N, déterminer la loi de Xn+1 sachant l’événement [Xn=p]réalisé.
2. Nombre moyen de descendants à la n-ième génération d’un individu
Pour toute variable aléatoire Yà valeurs dans N, on note GYla fonction définie sur [0,1] par :
∀x∈[0,1], GY(x) = X
k∈Y(Ω)
P(Y=k)xk.
(a) Déterminer GX. En déduire que : ∀n∈N∗, GXn+1 =GXn◦GX.
(b) En déduire, pour tout n∈N∗, l’expression de E(Xn+1)en fonction de E(Xn).
(On admettra qu’on peut dériver la somme définissant GYterme à terme sur [0,1].)
1

(c) Déterminer, pour tout n∈N∗,E(Xn), puis lim
n→+∞E(Xn).
Partie II – De la probabilité d’extinction de la descendance d’un individu
1. (a) Montrer que u1=f(u0).
(b) Déterminer pour tout k∈N, la probabilité qu’un individu n’ait pas de petits-enfants sachant qu’il a
exactement kenfants.
En déduire que u2=f(u1).
2. Montrer à l’aide d’un raisonnement analogue, que : ∀n∈N∗, un+1 =f(un).
3. Déterminer alors, à l’aide des résultats de la partie préliminaire, la probabilité d’extinction de la descendance
d’un individu lorsque λ= 5,λ= 3,λ= 2,λ61.
Partie III – Du nombre moyen de générations de la descendance d’un individu
Soit Dl’« aléa numérique » (un aléa numérique est similaire à une variable aléatoire, mais pour laquelle la somme
des probabilités n’est pas forcément égale à 1) égal au nombre de générations de descendants d’un individu donné.
Ainsi, Dprend la valeur 0si l’individu n’a pas d’enfants, 1si l’individu a des enfants mais pas de petits-enfants
etc., et Dne prend aucune valeur si l’individu admet des descendants de toute génération.
On définit également la suite (Sn)n∈N∗par : ∀n∈N∗, Sn=
n
X
k=1
(1 −uk).
On note Sla limite de cette suite lorsque celle-ci converge.
On pourra admettre, pour cette partie, que si (an)admet une limite `∈R, alors la suite 1
n(a1+· · · +an)n∈N
admet également `pour limite (théorème de la moyenne de Cesaro)
1. (a) Pour tout n∈N, calculer P(D > n), puis P(D=n)en fonction de unet un+1.
(b) En déduire pour tout n∈N∗une relation entre Snet
n
X
k=0
kP (D=k).
(c) Montrer que Dest une variable aléatoire si et seulement si λ61.
On suppose désormais que l’on a λ61, ce qui revient donc à supposer que la descendance d’un individu s’éteint
au bout d’un nombre fini de générations presque-sûrement.
2. On suppose dans cette question que λ= 1.
(a) On définit (vn)n∈Net (wn)n∈Npar :
∀n∈N, vn= 1 −unet ∀n∈N, wn=1
vn
.
Justifier que lim
n→+∞vn= 0 ; en déduire la limite de la suite (wn+1 −wn)n∈N.
(b) En déduire que 1−un∼
+∞
2
n.
(c) En déduire que Dn’admet pas d’espérance lorsque λ= 1.
3. On suppose dans cette question que λ < 1.
(a) Montrer, en intégrant une majoration de f0sur un intervalle adéquat, que : ∀n∈N,061−un6λn.
(b) Montrer alors que la suite (Sn)n∈Nconverge et en déduire une majoration de |S−Sn|.
(c) Montrer que Dadmet une espérance lorsque λ < 1.
(d) Écrire un algorithme donnant une valeur approchée à 10−6de E(D).
Problème 2 –FACULTATIF, conseillé pour ceux qui visent le TOP 3
Une éprouvette contient 10 bactéries dont 4de type Aet 6de type B. On les laisse se reproduire en milliers
d’exemplaires, la proportion de bactéries de chaque type restant inchangée. On prélève alors, au hasard, 10 bactéries
que l’on met dans une autre éprouvette. On les laisse se reproduire en milliers d’exemplaires dans les mêmes
conditions que précédemment, et on recommence. Que se passe-t-il après un grand nombre d’expériences ?
L’énoncé théorique ci-dessous propose un modèle probabiliste pour répondre à cette question.
2

Définitions et notations.
•On note Nun entier supérieur ou égal à 2, et k0un entier de [[ 0, N ]] . On pose p=k0
Net q= 1 −p.
•Soit (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé (Ω,T, P ), à valeurs dans [[ 0, N ]] ,
dont les lois de probabilité sont définies de la manière suivante :
∗X0est la variable certaine égale à k0.
∗X1suit la loi binomiale de paramètres Net p. Par convention, la loi binomiale de paramètres Net 0est la
loi de la variable certaine égale à 0, et la loi binomiale de paramètres Net 1est la loi de la variable certaine
égale à N.
∗Pour tout entier nnon nul, et tout entier kde [[ 0, N ]] tel que P(Xn=k)6= 0, la loi conditionnelle de Xn+1
sachant (Xn=k)est la loi binomiale de paramètres Net k
N.
•On suppose de plus que (Xn)n∈Nvérifie l’hypothèse (H) suivante :
Pour tout n∈N∗, et tout n-uplet (k1,...kn)∈[[ 0, N ]] ntel que P(X1=k1, . . . , Xn=kn)6= 0, on a : ∀i∈
[[ 0, N ]] , P (Xn+1 =i|X1=k1, . . . , Xn=kn) = P(Xn+1 =i|Xn=kn).
•On définit la suite de variables aléatoires (Fn)n∈Npar Fn=Xn
N.
•On adoptera la convention 00= 1.
Préliminaires
1. Justifier la convention adoptée pour les lois binomiales de paramètres (N, 0) et (N, 1).
2. Dans l’exemple ci-dessus, on appelle Nle nombre de bactéries prélevées à chaque expérience, k0le nombre
initial de bactéries de type Aet nle numéro de l’expérience consistant à prélever Nbactéries (n= 0 correspond
au choix initial des Nbactéries). Soit Y1la v.a.r. égale au nombre de bactéries de type Aprélevées lors de la
première expérience. Déterminer la loi de Y1. On exprimera ses paramètres en fonction de N,p, et du nombre
Mde bactéries obtenues après prolifération dans la première éprouvette.
3. Justifier soigneusement qu’on peut approcher la loi de Y1par celle de X1.
4. Donner une interprétation de la variable Xn. On justifiera les approximations effectuées.
5. Comment interpréter l’hypothèse (H) ?
Partie I – Étude d’un cas particulier
Dans cette partie, N= 3.
1. Que dire de la suite (Xn)n∈Nsi k0= 0 ? si k0= 3 ?
On suppose désormais, dans la suite de cette partie, que k0= 1.
2. On note an=P(Xn= 0),bn=P(Xn= 1),cn=P(Xn= 2) et dn=P(Xn= 3). Que valent a0,b0,c0et
d0?
3. Pour tout n∈N, exprimer an+1,bn+1,cn+1 et dn+1 en fonction de an,bn,cnet dn.
4. Écrire un programme en PASCAL calculant et affichant les mpremiers termes de chacune des suites (an)n∈N,
(bn)n∈N,(cn)n∈Net (dn)n∈N(métant rentré par l’utilisateur). Pour cela, on écrira une procédure prenant en
paramètres an,bn,cnet dnet modifiant ces paramètres en les remplaçant par an+1,bn+1,cn+1 et dn+1.
5. (a) Montrer que pour tout n∈N,an+bn+cn+dn= 1 et an+2
3bn+1 3cn=2 3.
(b) Déterminer deux valeurs de γtelles que (bn+γcn)n∈Nsoit une suite géométrique, et expliciter bn+γcn
en fonction de ndans chacun des deux cas.
(c) Déduire des questions précédentes que :
P(Xn= 0) = 2
3−1 22 3n−1 62 9n
P(Xn= 1) = 1
22 3n+2 9n
P(Xn= 2) = 1
22 3n−2 9n
P(Xn= 3) = 1
3−1 22 3n+1 62 9n
(d) Montrer que la suite (Fn)n∈Nconverge en loi. Quelle est la loi limite ?
6. (a) Calculer P(Xn= 0) + P(Xn= 3) et sa limite. Interpréter le résultat.
3

(b) Modifier le programme de la question ?? afin qu’il affiche la plus petite valeur de npour laquelle
P(Xn= 0) + P(Xn= 3) >0,999. On se servira de la procédure écrite précédemment, et on écrira
simplement le corps du programme (inutile de réécrire l’entête).
7. Pour tout entier nnon nul, on définit l’événement Bn=
n
\
k=1
(Xk61).On pose :
•x1=P(X1= 0),
•pour tout k>2,xk=P(X1= 1, . . . , Xk−1= 1, Xk= 0),
•pour tout k>1,yk=P(X1= 1, . . . , Xk= 1).
(a) Exprimer, pour tout entier knon nul, xk+1 et yk+1 en fonction de xket yk. En déduire les valeurs de
xnet ynpour tout entier nnon nul.
(b) Montrer que P(Bn) =
n
X
k=1
xk+yn.En déduire P(Bn)et la limite de la suite (P(Bn))n∈N∗.
(c) En déduire la probabilité qu’il existe nvérifiant Fn>0,5.
Partie II – Étude générale
Dans cette partie, Nest un entier supérieur ou égal à 2, et k0un entier de [[ 1, N ]] .
On pose, pour tout entier n,un=P(Xn= 0) + P(Xn=N), et vn= 1 −un.
1. Loi de Xn.
(a) Montrer que pour tout i∈[[ 0, N ]] :P(Xn+1 =i) =
N
X
k=0
P(Xn=k)N
i k Ni1−k NN−i
.
(b) Montrer que pour tout entier n,E(Xn+1) = E(Xn).
(c) i. Montrer que pour tout entier n,E(Xn+1(N−Xn+1)) = N−1
NE(Xn(N−Xn)) .
ii. En déduire la valeur de E(Xn(N−Xn)) en fonction de n,Net k0.
(d) Montrer que la suite (un)n∈Nest croissante et convergente.
(e) i. Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans R+, prenant un nombre fini de valeurs. (Re)démontrer
que pour tout réel a > 0,P(X>a)6E(X)
a.
ii. Étudier la fonction fdéfinie sur [1, N −1] par f(x) = x(N−x). Déterminer ses extrema.
iii. En utilisant la valeur de E(Xn(N−Xn)), montrer : ∀n∈N,06vn6pq N2
N−11−1 Nn
.
(f) i. Quelle est la limite de la suite (vn)n∈N?
ii. En déduire que pour tout entier kde [[ 1, N −1 ]] ,lim
n→+∞P(Xn=k)=0.
iii. En utilisant la question ??, montrer que lim
n→+∞P(Xn=N) = p. Déterminer lim n→+∞P(Xn= 0).
iv. Montrer que la suite (Fn)n∈Nconverge en loi. Quelle est la loi limite ?
2. Temps d’arrêt On définit la variable aléatoire Tpar :
•si pour tout entier n,(Xn6= 0) et (Xn6=N), alors T= 0 ;
•sinon T=n, où nest le plus petit entier ktel que (Xk= 0) ou (Xk=N).
(a) Que vaut P(T= 0) ?
Montrer que pour tout entier nnon nul, P(T=n) = vn−1−vn.
(b) i. Montrer que
n
X
k=1
k·P(T=k) =
n−1
X
k=0
vk−n·vn.
ii. En déduire que Tadmet une espérance et que E(T)6pq N3
N−1(on ne calculera pas E(T)).
3. Retour aux bactéries
Dans l’exemple des bactéries, on a posé la question : « que se passe-t-il après un grand nombre d’expé-
riences ? ». Pouvez-vous maintenant y répondre ?
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