Correction du CONTRÔLE N°6 Sujet A

Correction du CONTRÔLE N°6
Sujet A
Exercice 1
30
c =4−0 , 3×4=4−1, 2=2 , 8
100 0
30
c 2=c1−
c =2 , 8−0 , 3×2, 8=1 , 96
100 1
30
c =1 ,96−0 , 3×1 , 96=1 ,372 .
et c 3=c 2−
100 2
30
c n+ 1=c n−
c =c −0 ,3 c n=0 ,7 c n
100 n n
c n +1 0 , 7 c n
=
=0, 7 , donc ( c n ) est une suite géométrique
cn
cn
de raison q=0 , 7 et de premier terme c 0=4 .
Voir ci-contre.
c n=c0 ×q n=4×0, 7 n .
La concentration 18 h après l'injection correspond à c 18 . et
1. c 1=c 0−
2.
3.
4.
5.
6.
Variable : N , K entiers
C réel
Traitement
Saisir N
4 →C
Pour K allant de 1 jusqu'à N
0 , 7×C→C
FinPour
Afficher C
Fin
c 18=4×0 , 718≈6 , 5×10−3 mg/L
Exercice 2
Chez un fabriquant de calculatrice, une étude a montré que 2 % des produits ont un défaut.
Un professeur commande 32 calculatrices pour ces élèves.
Les probabilités que ces calculatrices aient des défauts sont indépendantes.
On définit la variable aléatoire X donnant le nombre de calculatrice défectueuses.
1. On a une épreuve de Bernoulli : la calculatrice est défectueuse (succès) ou la calculatrice n'est pas
défectueuse (échec), la probabilité du succès est de 0 , 02 .
On répète de manière identique et indépendante 32 fois , on a un schéma de Bernoulli de 32
répétitions.
X est la variable aléatoire qui compte le nombre de calculatrice défectueuse, donc qui compte le
nombre de succès.
Donc X suit une loi binomiale de paramètre n=32 et p=0 , 02 .
Pour les calculs de probabilités suivants, vous donnerez votre résultat arrondi à 10−3 près, calculer à l'aide de
votre calculatrice.
2. La probabilité qu'aucune calculatrice de la classe ne soit défectueuse correspond à
32
0
p ( X=0 ) = 32 ×0 ,02 ×( 1−0 , 02 ) ≈0, 524
0
3. La probabilité qu'au plus deux calculatrices soient défectueuses correspond à p ( X⩽2 )≈0 ,974
4. La probabilité qu'au moins une calculatrice soit défectueuse correspond à
p ( X⩾1 ) =1− p ( X<1 )=1− p ( X=0 ) ≈0, 476
5. L'espérance de X est E ( X ) =np=32×0 , 02=0 , 64 ,
cela signifie qu'en moyenne il y aura 0 , 64 calculatrice défectueuse par lot de 32 calculatrices.
( )
Correction du CONTRÔLE N°6
Sujet B
Exercice 1
4
r =50 000−0 , 04×50 000=48000
100 0
4
r 2=r 1−
r =48000−0 , 04×48 000=46 080
100 1
4
r =46 080−0 ,04×46 080=44 236 ,8 .
et r 3=r 2−
100 2
4
r =r −0 ,04 r n=0 ,96 r n .
2. r n+1=r n −
100 n n
r n+1 0 , 96 r n
=
=0 , 96 . Donc la suite ( r n) est une suite
3.
rn
rn
géométrique de raison q=0 , 96 et r 0=50 000
4. Voir ci-contre.
1. r 1=r 0−
Variable : N , K entiers
R réel
Traitement
Saisir N
50 000>R
Pour K allant de 1 jusqu'à N
0 , 96 R →R
FinPour
Afficher R
Fin
5. r n=r 0×qn =50 000×0 , 96n en fonction de r 0 et n .
6. La quantité de rejets au bout de 10 ans correspond à r 10 et r 10=50 000×0, 9610≈33 241, 63
Exercice 2
Chez un fabriquant de stylos, une étude a montré que la probabilité qu'un stylo soit défectueux est de 0 , 034 .
Un professeur commande 32 stylos pour ces élèves.
Les probabilités que ces stylos aient des défauts sont indépendantes.
On définit la variable aléatoire X donnant le nombre de stylos défectueux.
1. On a une épreuve de Bernoulli : le stylo est défectueux (succès) ou le stylo n'est pas défectueux (échec),
la probabilité du succès est de 0 , 034 .
On répète de manière identique et indépendante 32 fois , on a un schéma de Bernoulli de 32
répétitions.
X est la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos défectueux, donc qui compte le nombre de
succès.
Donc X suit une loi binomiale de paramètre n=32 et p=0 , 034 .
Pour les calculs de probabilités suivants, vous donnerez votre résultat arrondi à 10−3 près., calculer à l'aide de
votre calculatrice.
2. La probabilité qu'aucun stylo de la classe ne soit défectueux correspond à
32
0
p ( X=0 ) = 32 ×0 ,034 ×( 1−0 , 034 ) ≈0 ,331
0
3. La probabilité qu'au plus un stylo soit défectueux correspond à p ( X⩽1 )≈0 , 703
4. La probabilité qu'au moins deux stylos soient défectueux.correspond à
p ( X⩾2 )=1− p ( X< 2 ) =1− p ( X⩽1 ) ≈0 , 297
5. L'espérance de X est E ( X ) =np=32×0 , 034=1 , 088 ,
cela signifie qu'en moyenne il y aura 1, 088 stylos défectueux par lot de 32 stylos.
( )