Correction du CONTRÔLE N°6 Sujet A

Correction du CONTRÔLE N°6
Sujet A
Exercice 1
1.
c1=c0−30
100 c0=4−0 , 3×4=4−1, 2=2,8
c2=c1−30
100 c1=2 , 8−0,3×2, 8=1 , 96
et
c3=c2−30
100 c2=1 ,96−0,3×1 , 96=1 ,372
.
2.
cn+1=cn−30
100 cn=cn−0,3cn=0 ,7 cn
3.
cn+1
cn
=0 , 7 cn
cn
=0, 7
, donc
(
cn
)
est une suite géométrique
de raison
q=0 , 7
et de premier terme
c0=4
.
4. Voir ci-contre.
Variable :
N
,
K
entiers
C
réel
Traitement
Saisir
N
4→C
Pour
K
allant de
1
jusqu'à
N
0 , 7×C→C
FinPour
Afficher
C
Fin
5.
cn=c0×qn=4×0, 7n
.
6. La concentration
18 h
après l'injection correspond à
c18
. et
c18=4×0 , 718≈6,5×10−3mg/L
Exercice 2
Chez un fabriquant de calculatrice, une étude a montré que
2 %
des produits ont un défaut.
Un professeur commande
32
calculatrices pour ces élèves.
Les probabilités que ces calculatrices aient des défauts sont indépendantes.
On définit la variable aléatoire
X
donnant le nombre de calculatrice défectueuses.
1. On a une épreuve de Bernoulli : la calculatrice est défectueuse (succès) ou la calculatrice n'est pas
défectueuse (échec), la probabilité du succès est de
0 , 02
.
On répète de manière identique et indépendante
32
fois , on a un schéma de Bernoulli de
32
répétitions.
X
est la variable aléatoire qui compte le nombre de calculatrice défectueuse, donc qui compte le
nombre de succès.
Donc
X
suit une loi binomiale de paramètre
n=32
et
p=0 , 02
.
Pour les calculs de probabilités suivants, vous donnerez votre résultat arrondi à
10−3
près, calculer à l'aide de
votre calculatrice.
2. La probabilité qu'aucune calculatrice de la classe ne soit défectueuse correspond à
p
(
X=0
)
=
(
32
0
)
×0 ,020×
(
1−0 , 02
)
32≈0, 524
3. La probabilité qu'au plus deux calculatrices soient défectueuses correspond à
p ( X⩽2 ) ≈0 ,974
4. La probabilité qu'au moins une calculatrice soit défectueuse correspond à
p ( X⩾1 ) =1−p ( X<1 ) =1−p ( X=0 ) ≈0, 476
5. L'espérance de
X
est
E ( X ) =np=32×0 , 02=0 , 64
,
cela signifie qu'en moyenne il y aura
0 , 64
calculatrice défectueuse par lot de
32
calculatrices.

Correction du CONTRÔLE N°6
Sujet B
Exercice 1
1.
r1=r0−4
100 r0=50 000−0 , 04×50 000=48000
r2=r1−4
100 r1=48000−0 , 04×48 000=46 080
et
r3=r2−4
100 r2=46 080−0 ,04×46 080=44 236 ,8
.
2.
rn+1=rn−4
100 rn=rn−0 ,04 rn=0 ,96 rn
.
3.
rn+1
rn
=0 , 96 rn
rn
=0 , 96
. Donc la suite
(
rn
)
est une suite
géométrique de raison
q=0 , 96
et
r0=50 000
4. Voir ci-contre.
Variable :
N
,
K
entiers
R
réel
Traitement
Saisir
N
50 000>R
Pour
K
allant de
1
jusqu'à
N
0 , 96 R →R
FinPour
Afficher
R
Fin
5.
rn=r0×qn
=50 000×0 , 96n
en fonction de
r0
et
n
.
6. La quantité de rejets au bout de
10 ans
correspond à
r10
et
r10=50 000×0, 9610≈33 241, 63
Exercice 2
Chez un fabriquant de stylos, une étude a montré que la probabilité qu'un stylo soit défectueux est de
0 , 034
.
Un professeur commande
32
stylos pour ces élèves.
Les probabilités que ces stylos aient des défauts sont indépendantes.
On définit la variable aléatoire
X
donnant le nombre de stylos défectueux.
1. On a une épreuve de Bernoulli : le stylo est défectueux (succès) ou le stylo n'est pas défectueux (échec),
la probabilité du succès est de
0 , 034
.
On répète de manière identique et indépendante
32
fois , on a un schéma de Bernoulli de
32
répétitions.
X
est la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos défectueux, donc qui compte le nombre de
succès.
Donc
X
suit une loi binomiale de paramètre
n=32
et
p=0 , 034
.
Pour les calculs de probabilités suivants, vous donnerez votre résultat arrondi à
10−3
près., calculer à l'aide de
votre calculatrice.
2. La probabilité qu'aucun stylo de la classe ne soit défectueux correspond à
p
(
X=0
)
=
(
32
0
)
×0 ,0340×
(
1−0 , 034
)
32≈0 ,331
3. La probabilité qu'au plus un stylo soit défectueux correspond à
p ( X⩽1 ) ≈0 , 703
4. La probabilité qu'au moins deux stylos soient défectueux.correspond à
p ( X⩾2 ) =1−p ( X<2 ) =1−p ( X⩽1 ) ≈0 , 297
5. L'espérance de
X
est
E ( X ) =np=32×0 , 034=1 , 088
,
cela signifie qu'en moyenne il y aura
1, 088
stylos défectueux par lot de
32
stylos.