TD 1. Opérations ensemblistes

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6)
UE LM364 Intégration 1
Licence de Mathématiques L3
Année 20142015
TD 1. Opérations ensemblistes
Une étoile indique un exercice important.
Exercice 1.1. Soit
note
A4B
X
un ensemble. Soient
la diérence symétrique de
A
et
A, B, C, D des parties de X .
B , c'est-à-dire la partie
On rappelle que l'on
A 4 B = (A ∪ B) r (A ∩ B) = (A r B) ∪ (B r A)
a)
A 4 ∅, A 4 X et A 4 A, puis montrer
(A r B) ∩ (C r D) = (A ∩ C) r (B ∪ D) ;
b)
(A ∪ B) = (A 4 B) 4 (A ∩ B) ;
c)
(A 4 B) 4 C = A 4 (B 4 C).
de
X.
Calculer
Exercice 1.2. Soient
X
Y
et
les égalités suivantes :
f :X→Y
deux ensembles. Soit
une application. Que pensez-
vous des assertions suivantes ?
a)
L'application
f est
f ◦ h = idY .
L'application
que
?
est injective si et seulement s'il existe une application
Exercice 1.3. Soient
a)
Soit
A ⊆ X.
telle
h:Y →X
telle
X
surjective si et seulement s'il existe une application
et
Y
deux ensembles. Soit
Montrer que
qu'on a égalité si
b)
g :Y →X
g ◦ f = idX .
que
b)
f
f
A⊆f
−1
(f (A))
f :X→Y
une application.
mais que l'égalité peut faire défaut. Montrer
est injective.
Montrer que si pour tout sous-ensemble
A
de
X
A = f −1 (f (A)),
on a l'égalité
alors
f
est
injective.
c)
Soit
B ⊆ Y.
Montrer que
qu'on a égalité si
d)
f
f (f −1 (B)) ⊆ B
mais que l'égalité peut faire défaut. Montrer
est surjective.
Montrer que si pour tout sous-ensemble
B
de
Y
on a l'égalité
f (f −1 (B)) = B , alors f
est
surjective.
?
Y deux ensembles. Soit f : X → Y une application. Soient (Ai )i∈I
X et (Bj )j∈J une famille de parties de Y . On suppose I et J non
vides. Soit A une partie de X et B une partie de Y . Démontrer les assertions suivantes.
[ [
\ \
a) f
Ai =
f (Ai ) et f
Ai ⊆
f (Ai ), avec égalité quand f est injective.
Exercice 1.4. Soient
X
et
une famille de parties de
i∈I
b)
f
c)
c
−1
[
i∈I
Bj
=
j∈J
(f
−1
(B)) = f
i∈I
[
f
−1
j∈J
−1 c
( B).
(Bj )
et
f
i∈I
−1
\
Bj
j∈J
=
\
f −1 (Bj ).
j∈J
Quelles inclusions y a-t-il entre
1
c
(f (A))
et
f (c A) ?
Exercice 1.5. Soient
a)
b)
Soit
X
et
Y
deux ensembles. Soit
f :X→Y
Φ : P(X) → P(Y ) l'application qui à une partie A de X
i)
Montrer que
f
est injective si et seulement si
ii)
Montrer que
f
est surjective si et seulement si
Soit
une application.
Ψ : P(Y ) → P(X)
Φ
associe la partie
f (A) de Y .
l'est.
Φ
l'est.
B
l'application qui à une partie
de
Y
associe la partie
f −1 (B)
de
X.
?
i)
Montrer que
f
est injective si et seulement si
ii)
Montrer que
f
est surjective si et seulement si
Exercice 1.6.
Soient
vantes, dénies sur
X
X
A, B, C
Ψ
est surjective.
Ψ
des parties d'un ensemble
est injective.
X.
Pour chacune des fonctions sui-
et à valeurs réelles, dire si elle est la fonction indicatrice d'une partie de
et si oui, de laquelle.
a)
b)
c)
1A + 1B ;
1A − 1B ;
1A 1B ;
|1A − 1B | ;
1A + 1B − 1A 1B ,
||1A − 1B |− 1C | ;
d)
e)
f)
|1A −|1B − 1C || ;
sup(1A , 1B ) ;
inf(1A , 1B ).
g)
h)
i)
X un ensemble. Construire une bijection entre l'ensemble P(X) des parties
{0, 1}X des fonctions de X dans {0, 1}.
Exercice 1.7. Soit
de
X
et l'ensemble
Exercice 1.8. Soit
X
un ensemble. Soit
Montrer que
1
Sn
i=1
Ai
=
n
X
n>1
B
et une bijection
P(A)
Construire une bijection entre
b)
On suppose que
et
c)
Construire une bijection entre
A×C
d)
Construire une bijection entre
AC
A ∩ C = B ∩ D = ∅.
A, B, C
Exercice 1.11. Soient
X
et
Y
des parties de
et
X.
1Ti∈I Ai .
n = 1, n = 2
et
n = 3.
quatre ensembles. On suppose données une bijection
a)
Exercice 1.10. Soient
A1 , . . . , An
I⊆{1,...,n}
card(I)=k
On commencera par écrire cette formule pour
A, B, C, D
g : C → D.
X
(−1)k+1
k=1
Exercice 1.9. Soient
un entier. Soient
f :A→
P(B).
Construire une bijection entre
et
A∪C
et
B ∪ D.
B × D.
BD.
trois ensembles. Construire une bijection entre
deux ensembles. Des ensembles
en a-t-il un qui soit naturellement inclus dans l'autre ?
2
P(X × Y )
et
AB×C
et
(AB )C .
P(X) × P(Y ),
y
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TD 2. Suites d'ensembles
Échauements
Exercice 2.1. Un sous-ensemble
A⊆N
est coni si
NrA
a)
l'intersection de deux ensembles conis est conie ;
b)
tout ensemble contenant un ensemble coni est coni.
est ni. Montrer que :
Est-ce encore vrai avec des ensembles nis ? avec des ensembles dénombrables ? codénombrables ?
?
Exercice 2.2. Soit
(an )N
une suite de
R.
a)
Montrer que
lim inf ] − ∞, an ] ⊆ ] − ∞, lim inf an ],
mais que l'inclusion peut être stricte.
b)
Montrer que
] − ∞, lim inf an [ ⊆ lim inf ] − ∞, an [,
mais que l'inclusion peut être stricte.
Exercice 2.3. Soit
les parties
(An )n≥0 une suite de parties d'un ensemble X . Classer par ordre d'inclusion
suivantes de X :
∞
[
∅, X,
An ,
n=0
∞
\
An , lim inf An , lim sup An .
n=0
Est-il possible que toutes les inclusions soient strictes ?
Suites d'ensembles
Exercice 2.4. Soient
partie de
a)
c)
?
lim
n→∞
X.
Acn
=
(An )n≥0
et
(Bn )n≥0
deux suites de parties d'un ensemble
X.
Soit
C
une
Que pensez-vous des assertions suivantes ?
lim An
c
b)
n→∞
lim (An ∪Bn ) = lim An ∪ lim Bn
n→∞
n→∞
n→∞
d)
lim (An ∩ C) =
n→∞
lim An ∩ C
n→∞
(∃n0 ≥ 0 ∀n ≥ n0 An ⊂ Bn ) ⇒ lim An ⊂ lim Bn
n→∞
n→∞
Exercice 2.5.
Soient
(An )n∈N
une suite de parties d'un ensemble
a)
Montrer que
lim sup Aϕ(n) ⊆ lim sup An .
b)
Montrer que
lim inf An ⊆ lim inf Aϕ(n) .
c)
On suppose que
(An )
converge vers
B ⊆ X.
X
et
ϕ:N→N
Montrer que
une extraction.
(Aϕ(n) )n∈N
converge aussi vers
B.
d)
Trouver un cas où
e)
On suppose que
(An )
tend aussi
(Aϕ(n) )
(A2n )n
vers B .
et
converge mais pas
(A2n+1 )n
(An ).
convergent vers le même ensemble
3
B.
Montrer que
?
Exercice 2.6.
( − n1 , 1 )n∈N∗
( − n1 , 1 )n∈N∗ .
et de
a)
Étudier l'éventuelle convergence de
b)
Donner des exemples variés de suites de parties de
c)
Déterminer les limites supérieure et inférieure de la suite
R dont la limite est ]0, 1]
(Bn )n≥1
(resp.
de parties de
R
]0, 1[).
dénie
par
B2n−1
1
= −2 − , 1
n
et
B2n
d)
Existe-t-il une suite d'ensembles de limite supérieure
e)
Trouver une condition portant sur les suites réelles
1
= −1, 2 + 2 .
n
[−1, 2] et de limite inférieure [−2, 1] ?
(an )n∈N
et
(bn )n∈N
qui soit nécessaire
et susante pour que l'on ait
lim [an , bn ] = [−1, 1[.
n
f)
Est-il possible que
limn [an , 6]
n'existe pas quand la suite réelle
a
converge vers 5 ?
Pour aller plus loin. . .
Exercice 2.7.
Existe-t-il une suite
(An )n∈N
de sous-ensembles de
N
innis et deux à deux
disjoints ?
Remarque.
On peut même montrer qu'il existe une famille
que :
si
X 6= Y
la famille
sont dans
A
A,
alors
a le cardinal de
X ∩Y
R!
est ni
4
A
de sous-ensembles de
N
telle
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TD 3. Cardinaux
Échauement
?
Exercice 3.1.
N{0,1}
est dénombrable, alors que
{0, 1}N
a)
Montrer que
ne l'est pas.
b)
Montrer que l'ensemble des parties nies d'un ensemble dénombrable est toujours dénombrable.
c)
Montrer que l'ensemble des parties innies d'un ensemble inni n'est jamais dénombrable.
d)
Existe-t-il un ensemble inni dont l'ensemble des parties dénombrables n'est que dénombrable ?
Ensembles dénombrables
?
Exercice 3.2.
a)
Montrer que l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction monotone
est dénombrable. (On pourra considérer les ensembles
f : [a, b] → R
J(n) = {x ∈ ]a, b[ ; |f (x+) − f (x−)| >
1/n}...)
b)
Qu'en est-il pour une fonction réelle croissante dénie sur
R
tout entier ?
Exercice 3.3. On rappelle qu'un nombre réel est dit algébrique s'il est racine d'un polynôme
à coecients entiers. Montrer que l'ensemble des réels algébriques est dénombrable.
Quel cardinal ?
?
Exercice 3.4. Soit
Card X X
?
X un
= Card P(X).
ensemble inni. On admet que
Card X 2 = Card X .
Montrer que
Exercice 3.5. Reconnaître dans la liste ci-après les ensembles dont le cardinal est égal à celui
de
N,
ceux dont le cardinal vaut celui de
parties de
R,
et ceux ayant même cardinal que l'ensemble des
R.
d)
Q×Q
e)
∪n∈N Nn
NQ
i)
R×R
j)
R×Z
RR
n)
NR
o)
RN
a)
P(N)
b)
P(P(N))
c)
P(P(P(N)))
f)
QQ
g)
QN
h)
k)
{0, 1}N
m)
p)
l'ensemble des ouverts de
q)
l'ensemble des ouverts de
r)
l'ensemble des fonctions continues réelles
s)
l'ensemble des fonctions continues de
t)
l)
{0, 1}R
R
R2
l'ensemble des polygones du plan
2
R
C
vers
C
dont chaque sommet est élément de
5
Q2
Pour aller plus loin. . .
Exercice 3.6. [théorème de Cantor] Montrer que si
surjection de
A
A
est un ensemble, il n'existe pas de
P(A).
sur
Exercice 3.7. [théorème de Cantor-Bernstein] Soient
existe une injection
f
de
A
dans
B
et une injection
A et B deux ensembles ; on suppose qu'il
g de B dans A. Montrer sans théorie des
A et B .
C
0 = A r g(B), pour tout n entier, Cn+1 = g(f (Cn )),
S
r
r
et C =
n Cn . Montrer que C = C0 ∪ g(f (C)), puis que g(B f (C)) = A C . Montrer que f
induit une bijection entre C et f (C), et g une bijection entre B r f (C) et A r C . Conclure.
cardinaux qu'il existe une bijection entre
On pourra procéder comme suit. Poser
Remarque.
Une petite remarque terminologique :
Card R est parfois appelé la puissance du
continu, ou le continu. Cela ne va pas sans créer quelques malentendus : puissance signie
ici cardinal, et n'a aucun rapport avec la fonction puissance
Le coin du curieux.
P(X).
Tous les ensembles que nous avons rencontrés ont un cardinal agréable,
qui se ramène plus ou moins facilement à celui d'un ensemble bien connu (N, ou
R, ou P(R)).
R est-il en
Une question reste en suspens : tout sous-ensemble inni non dénombrable de
bijection avec
R?
Cette propriété, baptisée hypothèse du continu, a fait couler beaucoup
d'encre. Cantor s'est usé la santé à tenter de la montrer ; Hilbert l'inscrivit en tête de ses
problèmes pour le vingtième siècle. Gödel puis Cohen (ce dernier obtint ainsi la médaille Fields)
montrèrent qu'elle n'est pas décidable sur la base des axiomes de Zermelo et Fraenkel.
Une autre question est donc de comprendre pourquoi malgré cette indécidabilité de l'hypothèse
du continu, nous continuons dans ce cours à ne rencontrer que des ensembles dont nous savons
toujours déterminer le cardinal !
6
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TD 4. Tribus
Échauements
?
Exercice 4.1. Soit
X
un ensemble. Donner des conditions sur
X
pour que les classes suivantes
soient des tribus.
d)
A = {∅, {x}, c {x}, X}
e)
La classe des parties
f)
La classe des parties dénombrables de
c)
A = {∅, X}.
A = P(X).
A = {∅, {x}, X}
g)
La classe des parties nies ou conies de
h)
La classe des parties dénombrables ou codénombrables de
a)
b)
où
x ∈ X.
x ∈ X.
nies de X .
où
X.
X.
X.
Exercice 4.2.
A
B
b)
Montrer que la réunion de deux tribus n'est pas en général une tribu.
c)
Soient
B
et
des classes de parties de
deux tribus sur
E.
telles que
A ⊆ B.
Soient
A
et
E
a)
Montrer que
σ(A) ⊆ σ(B).
Montrer que
σ(A ∪ B) = σ({A ∪ B | A ∈ A, B ∈ B}) = σ({A ∩ B | A ∈ A, B ∈ B}).
Tribus engendrées
?
Exercice 4.3. Soit
E
un ensemble.
S des singletons de E .
F des parties nies de E .
a)
Décrire la tribu engendrée par la classe
b)
Décrire la tribu engendrée par la classe
c)
Décrire et donner le cardinal de la tribu engendrée par une partition nie de
d)
Même question pour une partition innie dénombrable.
Exercice 4.4. Soit
E un
σ(C).
ensemble et
a)
Caractériser
b)
Donner des conditions sur
c)
Donner des conditions sur
A
A
A ⊆ E.
pour que
pour que
On dénit la classe
E.
C = {B ⊆ E : A ⊆ B}.
σ(C) = P(E) (tribu triviale).
σ(C) = {∅, E} (tribu grossière).
Tribus et fonctions
Exercice 4.5. Soit
est une tribu sur
?
f :X→Y
une application. Montrer que
T = {A ∈ P(X)|A = f −1 (f (A))}
X.
A une tribu sur X . Montrer par un contreexemple que la classe des images directes {f (A) | A ∈ A} n'est en général pas une tribu sur Y .
Exercice 4.6. Soit
f :X→Y
une application et
7
Soient (Yi , Bi )i∈I une famille d'espaces mesurables. Soit Y un ensemble et
fi : Y → Yi des fonctions. On note B la tribu engendrée par la famille des fonctions (fi )i∈I , c'està-dire la plus petite tribu pour laquelle les fi sont mesurables. Montrer que f : (E, A) → (Y, B)
est mesurable si et seulement si pour tout i ∈ I , fi ◦ f : (E, A) → (Yi , Bi ) est mesurable.
Exercice 4.7.
Tribus sur R
?
Exercice 4.8. Une partie
A⊆R
est dite symétrique si
A = −A,
où
−A = {x ∈ R : ∃y ∈ A, x = −y}.
A = {A ∈ P(R) : A = −A} l'ensemble des parties symétriques de R.
a) Montrer que A = {A ∪ (−A) : A ∈ P(R)}.
b) Montrer que A est une tribu de R.
c) Caractériser les fonctions mesurables de (R, A) dans (R, A).
d) Caractériser les fonctions mesurables de (R, A) dans (R, P(R)).
e) Montrer que A est la tribu image réciproque de la tribu grossière P(R) de R par la
fonction valeur absolue V : R → R.
f ) Décrire la tribu engendrée par {{a, −a} : a ∈ R}.
Indication : On pourra commencer par montrer qu'elle est incluse dans A ainsi que dans
Soit
la tribu engendrée par les singletons.
Pour aller plus loin...
Exercice 4.9. On souhaite montrer qu'il n'existe pas de tribu innie dénombrable. Soit donc
X un ensemble et ATune tribu dénombrable sur X . On va montrer que X est nie. Pour tout
x ∈ X , soit A(x) = x∈A,A∈A A.
a) Montrer que A(x) ∈ A.
b) Montrer que A(x) est le plus petit élément de A contenant x.
c) Montrer que y ∈ A(x) ⇒ A(y) = A(x).
0
0
0
d) Soit x et x deux éléments de X . Montrer que A(x) = A(x ) ou bien A(x) ∩ A(x ) = ∅.
e) Soit E = {B ⊆ X | ∃x ∈ X, B = A(x)}. Montrer que A = σ(E).
f)
En déduire que toute tribu dénombrable est nie.
Le coin du curieux. Dans les exercices au programme, trouver la tribu engendrée par une
C de parties d'un ensemble E se fait généralement en ajoutant à C les unions dénombrables
et les complémentaires des parties de C . Si l'on obtient ainsi une tribu, on a bien trouvé la tribu
engendrée σ(C). Manque de chance, cela ne marche pas toujours, notamment pour le cas de
la tribu borélienne sur R. Si l'on procède de la sorte en partant des intervalles réels, on ne
classe
tombe en eet pas sur une tribu. Il faut en fait itérer ce processus par récurrence transnie
pour obtenir la tribu des boréliens. Cela explique pourquoi il est impossible de fournir une
description explicite complète des boréliens de
sur
R
R.
On peut montrer que la tribu borélienne
a la puissance du continu, ce qui montre l'existence de non-boréliens (car
puissance strictement supérieure à celle du continu).
8
P(R)
a une
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TD 5. Fonctions en escalier, fonctions étagées, fonctions
réglées, fonctions boréliennes
Pour rappel, une fonction dénie sur un segment est réglée, c'est-à-dire limite
uniforme de fonctions en escalier, si et seulement si elle admet une limite à droite et à gauche
en tout point. Ce critère pourra être utilisé pour tous les exercices suivants, et sa preuve fait
l'objet du dernier exercice.
Remarque 1
Échauements
Exercice 5.1. Soit
a)
f : R2 → R
Décrire la tribu image réciproque de
tribu borélienne de
b)
l'application dénie par
B
par
f, f
−1
f (x, y) = x.
(B) = {f −1 (A) : A ∈ B},
Soit
couple de réels
(a, b),
B
est la
R.
Décrire la tribu image directe par f de la tribu borélienne de
f −1 (A) ∈ B 2 } avec B 2 la tribu borélienne de R2 .
Exercice 5.2.
où
f : R → R.
Montrer que
la restriction de
f
à
[a, b]
f
R2 , c'est-à-dire {A ∈ P(R) :
est mesurable si et seulement si pour tout
est mesurable.
Fonctions réglées
?
Exercice 5.3.
a)
Donner un exemple de fonction étagée qui n'est pas réglée.
b)
Existe-t-il une suite de fonctions en escalier qui converge simplement vers
1Q : R → R ?
Fonctions mesurables
?
Exercice 5.4.
Soit
(E, A)
un espace mesurable et
fn : E → C
une suite de fonctions mesu-
rables. Montrer que l'ensemble
A = {x ∈ E : la
est un élément de
suite
(fn (x))n∈N
est convergente}
A.
(E, A) un espace mesurable. Soient f et g
(A, B(R))-mesurables. Montrer que f + g est mesurable.
Exercice 5.5. Soit
sont
?
Exercice 5.6.
Soient
X
et
Y
deux espaces métriques et
deux fonctions réelles sur
f : X → Y une application
f est mesurable (X
l'ensemble des points de discontinuité est dénombrable. Montrer que
sont munis de leur tribu borélienne).
9
E
qui
dont
et
Y
?
Exercice 5.7. Soit
par
f : E → (R, B(R))
et
Af = f −1 (B(R))
la tribu image réciproque de
B(R)
f.
a)
h : R → R une fonction borélienne. Montrer que g = h◦f
(E, Af ) dans (R, B(R)).
Soit
de
b)
s : (E, Af ) → (R, B(R))
borélienne t telle que s = t ◦ f .
c)
Montrer que si
Soit
Indication :
est une fonctions mesurable
une fonction étagée. Montrer qu'il existe une fonction
g : (E, A) → R est mesurable, alors il existe h borélienne telle que g = h◦f .
On pourra approcher g par une suite de fonctions étagées.
Exercice 5.8.
a)
Soit
X
un borélien de
R
et
f : X → R
une fonction monotone. Montrer que
f
est
mesurable.
b)
?
Montrer que toute fonction réglée de
R
dans
R
est borélienne.
Exercice 5.9.
a)
L'application
a =
P
n∈N∗
lienne ?
1{ n1 } : [0, 1] → R
b=
P
est-elle une fonction réglée ? Étagée ? Boré-
1 : [0, 1] → R ?
1
1[ n+1
,n
]
b)
Qu'en est-il de l'application
c)
Répondre aux mêmes questions, concernant les applications suivantes (depuis
i)
c=
P
n∈N∗
1 ;
1
1] n+1
,n
]
n∈N∗
ii)
d=
iii)
e(x)
1
1
1
1
1 ;
,n
]
n∈N∗ n ] n+1
1
= x d(x) ]0,1] (x) ;
P
iv)
v)
[0, 1] vers R).
f (x) = xd(x) ;
g(x) =
1
√1 d(x) ]0,1] (x).
x
Pour aller plus loin... Un exercice classique
Exercice 5.10. Montrer qu'une fonction
en tout point de
]a, b[
f : [a, b] → R
est réglée si et seulement si elle admet
une limite à gauche et une limite à droite.
10
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TD 6. Rappels de topologie. Ensemble de Cantor.
Échauements
?
Exercice 6.1.
Soient
X
et
Y
deux espaces topologiques. Soit
f : X → Y.
Montrer que les
f (x)
est un voisinage
assertions suivantes sont équivalentes :
a)
L'image réciproque par
b)
L'image réciproque par
c)
Pour tout
de
de
X,
de tout ouvert est un ouvert.
de tout fermé est un fermé.
l'image réciproque par
f
de tout voisinage de
x.
Exercice 6.2.
tout
x
f
f
n, An
Exercice 6.3.
ensemble
Donner un exemple de suite décroissante d'ensembles
est inni et
B,
T
(An )n∈N
telle que pour
n∈N An = ∅.
Dans un espace métrique
si tout point de
B
E,
un ensemble
est un point adhérent à
ce qui est équivalent, si, pour tout
x ∈ B,
A,
A
est dit dense par rapport à un
B⊂A
en d'autres termes si
il existe une suite à valeurs dans
A
(ou,
convergeant vers
B ).
A
C.
Montrer que si
par rapport à
est dense par rapport à
B,
et
B
est dense par rapport à
C,
alors
A
est dense
Topologie générale
Exercice 6.4.
Soit
(un )n∈N
une suite à valeurs dans un espace topologique (ou métrique).
Supposons qu'elle converge vers
?
Exercice 6.5. Soit
F
K
`, et posons K = {`} ∪
S
n∈N {un }. Montrer que
un espace topologique compact. Montrer que si
F ⊆K
K
est compact.
est fermé, alors
est compact. (K n'est pas nécessairement un espace métrique. Il faut donc utiliser la notion
de compacité de Borel-Lebesgue. )
?
Exercice 6.6.
a)
Montrer que l'image continue d'un compact est un compact.
b)
R d'une topologie en ajoutant aux ouverts usuels O de R les unions d'ouverts
de la forme Ω∪]a, +∞] et Ω ∪ [−∞, a[ où a décrit R et Ω décrit O . Montrer que R, muni
de cette topologie, est homéomorphe à [0, 1].
En déduire que R est compact.
c)
On munit
Exercice 6.7. Soit E un espace métrique, et A
a)
b)
c)
⊂ E , A 6= ∅. On dénit d(x, A) = inf y∈A d(x, y).
x 7→ d(x, A) est continue.
Établir que pour tout x ∈ E , d(x, A) = d(x, A).
Que dire de x tel que d(x, A) = 0 ?
Montrer que
11
Pour aller plus loin...
?
Exercice 6.8. [L'ensemble triadique de Cantor]
On construit une suite d'ensembles récursivement comme suit :
F0 := [0, 1]
∀n ∈ N
Fn 2 + Fn
∪
3
3
Fn+1 :=
a)
Montrer qu'il s'agit d'une suite décroissante de fermés.
b)
Donner rigoureusement un sens à
c)
Montrer que
F∞
d)
Montrer que
F∞
F∞ .
est compact.
est totalement discontinu (ne contient aucun segment d'intérieur non
vide).
e)
Caractériser les points de
f)
Montrer que
que
V ∩ F∞
F∞ est sans
= {x}).
F∞ .
point isolé (x
g)
Montrer que
F∞
est équipotent à
h)
Montrer que
F∞
est homéomorphe à
∈ F∞
est dit isolé s'il possède un voisinage
V
tel
R.
2N
muni de la topologie produit (de Tychono ).
Le coin du curieux
Il peut être prouvé que la tribu borélienne de
cardinal ses parties
P(R).
R
est du cardinal de
Ainsi il existe des sous-ensembles de
R
R
seulement, et non du
non boréliens.
Si la mesure de Lebesgue est bien dénie sur la tribu borélienne, on peut la compléter avec les
parties incluses dans des boréliens de mesure nulle. La mesure de Lebesgue est alors dénie sur
une tribu
complétée L, dite de Lebesgue.
Cette tribu est bien plus grande que la tribu borélienne. Pour le voir, comme l'ensemble tria-
P (F∞ ) ⊂ L ⊂ P (R), ce qui implique
une inégalité sur les cardinaux. De plus F∞ a la puissance du continu, donc Card (P (F∞ )) =
Card (P (R)), et l'égalité Card (L) = Card (P (R)) est prouvée.
dique de Cantor
F∞
est un borélien de mesure nulle,
A ce niveau, l'argument de cardinalité ne permet plus d'armer qu'il existe des sous-ensembles
de
R
qui ne sont pas dans la tribu complétée. Des constructions existent comme l'ensemble
de Vitali donné dans le polycopié ou le paradoxe de Banach-Tarski, mais font toutes appel à
l'axiome du choix ! A cet égard, on peut se demander si l'axiome du choix est essentiel.
Le surprise fut au rendez-vous : Robert Solovay a répondu de façon satisfaisante au problème en
démontrant que la proposition Tout ensemble de réels est Lebesgue mesurable est consistante
avec les axiomes ZF sans l'axiome du choix ! Ainsi dans le seul cadre des axiomes ZF, l'existence
de non-mesurables réels est une proposition indécidable.
12
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Année 20142015
TD 7. Mesures
Échauements
?
(X, A, µ) un espace mesuré, (Y, B) un espace mesurable et f : (X, A) →
est une mesure sur (Y, B).
Montrer que µf : B →
R̄+
B 7→ µ(f −1 (B))
Exercice 7.1. Soient
(Y, B)
mesurable.
Exercice 7.2. On considère la tribu A
sur
?
R.
= {A ∈ P(R), A
µ : A → R̄+
0
A 7→
1
Montrer que
R
A
est dénombrable}
est une mesure sur
si
A
(R, A).
est dénombrable,
sinon ;
Exercice 7.3. Dans cet exercice on considère l'espace mesuré
de Lebesgue. Un ouvert de
c
est dénombrable ou
(R, B(R), λ)
où
λ
est la mesure
de mesure nie est-il nécessairement borné ?
Quelques exercices classiques
?
Exercice 7.4.
(X, A)
a)
(µj )j∈N une suite croissante de mesures positives
sur A (pour tout A ∈ A et pour tout j ∈ N, µj (A) ≤ µj+1 (A)). Pour tout A ∈ A, on
pose µ(A) = supj∈N µj (A). Montrer que µ est une mesure.
b)
Sur l'espace mesurable
Soient
un espace mesurable et
(N, P(N)),
card(A ∩ [j, +∞]). Montrer que
tout A ∈ A, νj (A) ≥ νj+1 (A).
c)
j ∈ N νj
A ∈ P(N), νj (A) =
sur P(N) et que pour
et tout
est une mesure
ν l'application positive dénie sur P(N) par ν(A) = inf j∈N νj (A) pour toute partie A
N. Déterminer ν(N) et ν({k}) pour tout k ∈ N. Dire si ν est une mesure sur (N, P(N)).
Exercice 7.5.
Soient
(X, A)
A est non vide
µA : A → R̄
+
1
B 7→
0
Exercice 7.6.
Soient
A ∈ A est un atome de
B ⊆ A, alors B = ∅ ou B = A.
sur (X, A).
un espace mesurable. On suppose que
c'est-à-dire que
Montrer que
?
pour tout
j∈N
Soit
de
A,
on dénit, pour tout
(X, A, µ)
et pour tout
B∈A
tel que
est une mesure
si
A⊆B
sinon.
un espace mesuré et
f : (X, A) → (R, B(R))
une fonction
mesurable.
a)
On pose, pour tout
que
b)
Montrer que, si
µ(X) 6= 0,
il existe
n∈N
tel
µ(An ) 6= 0.
µ({f 6= 0}) 6= 0,
x ∈ A, |f (x)| ≥ ε.
Montrer que si
tout
n ∈ N, An = {|f | ≤ n}.
alors il existe
13
A∈A
et
ε>0
tels que
µ(A) 6= 0
et pour
?
Exercice 7.7. [Lemme de Borel-Cantelli] Soient
suite d'éléments de
A
(X, A, µ)
un espace mesuré et
(An )n∈N
une
telle que
X
µ(An ) < +∞ .
n∈N
Montrer que
?
µ (lim supn An ) = 0.
Soient µ une mesure nie sur B(R) et F : R → R+ la fonction dénie, pour
F (x) = µ([x, +∞[).
que F est décroissante et continue à gauche sur R et calculer ses limites en +∞
Exercice 7.8.
tout
a)
x ∈ R,
Montrer
et
b)
par
−∞.
x ∈ R, montrer que F est continue en x si et seulement si µ({x}) = 0.
déduire que {x ∈ R : µ({x}) 6= 0} (l'ensemble des atomes de µ) est dénombrable.
Pour tout
En
Pour aller plus loin. . .
(X, A, µ) un espace mesuré tel que µ(X) < +∞ et
(X, A) dans (R, B(R)).
Montrer que l'ensemble de convergence C de la suite (fn )n∈N est mesurable.
On suppose que la suite (fn )n∈N converge µ-p.p. vers une fonction mesurable f , au sens
\
1
k
c
∗
.
où µ( C) = 0. Pour tout k ∈ N et tout n ∈ N, soit En =
|fi − f | ≤
k
i≥n
S
k
∗
Montrer que C ⊆
que, pour tout réel ε > 0, pour tout k ∈ N , il
n . En déduire
n≥1 E
∗
c k
existe nk,ε ∈ N tel que µ
Enk,ε < 2εk .
Exercice 7.9. [Théorème d'Egoro ] Soit
soit
a)
b)
c)
(fn )n∈N
une suite de fonctions mesurables de
Eε et tel que
lorsque µ(X) = +∞.
converge uniformément vers
d)
ε > 0, il existe Eε ∈ A
µ( c Eε ) < ε.
(Théorème d'Egoro ) En déduire que, pour tout
Donner un contre-exemple
f
sur
tel que
(fn )n∈N
(X, A, µ) un espace mesuré et soit
(X, A) dans (R, B(R)). On dit que la suite (fn )n∈N
Exercice 7.10. [Application du théorème d'Egoro ] Soit
(fn )n∈N
une suite de fonctions mesurables de
converge en mesure
vers
f
si :
∀ε > 0
a)
Montrer que si
en mesure vers
b)
µ(X) < +∞
f.
n
et la suite
Réciproquement, supposons que
i)
lim µ({|fn − f | > ε}) = 0.
(fn )n∈N
converge
µ-p.p.
vers
converge en mesure vers
f
f,
alors elle converge
:
(fnk )k≥1 telle que
1
1
< 2.
µ
|fnk − f | >
k
k
Montrer qu'il existe une sous-suite
∀k ≥ 1
ii)
(fn )n∈N
Soit
A = lim{|fnk − f | ≤ k1 }.
µ( c A) = 0
vers f ).
Montrer que (fnk )k≥1 converge vers f sur A et que
k
(en d'autres termes, (fn )n∈N possède une sous-suite qui converge µ-p.p.
14
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TD 8. Mesures. Mesure de Lebesgue. Intégrale des
fonctions positives.
Échauements
a un réel. On note δa la mesure de Dirac en a sur (R, B(R)), dénie par,
pour tout A ∈ B(R), δa (A) = 1 si a ∈ A et 0 sinon. Pour toute fonction mesurable positive
R
f : (R, B(R)) → (R, B(R)), déterminer R f dδa .
Exercice 8.1. Soit
(X, A, µ) un espace mesuré, avec µ une mesure non nulle et f : (X, A) →
(R, B(R)) une fonction mesurable. Montrer que pour tout > 0 il existe A ∈ A de mesure
µ(A) > 0 tel que pour tout x, y ∈ A,
Exercice 8.2. Soient
|f (x) − f (y)| < .
?
Exercice 8.3. On considère l'espace mesuré
a)
(R, B(R), λ),
λ
où
est la mesure de Lebesgue.
λ est σ -nie,S
c'est-à-dire qu'il existe une suite croissante (En )n∈N d'ensembles
R = n≥1 En et λ(En ) < +∞ pour tout n ∈ N.
Montrer que pour tout compact K de R, λ(K) < +∞.
Un ouvert de R de mesure nie est-il forcément borné ?
Montrer que
mesurables tels que
b)
c)
Mesures
?
P+∞
k
k=0 2 αk ≤ 1.
L'ensemble de Cantor associé à cette suite est déni de la manière suivante : on pose A0 = [0, 1],
n
et pour tout n ∈ N, An+1 s'obtient de An en retranchant, de chacun des 2 intervalles le
Exercice 8.4. Soit
(αk )k≥0
une suite de réels strictement positifs tels que
composant, un intervalle ouvert, centré, de longueur
K =
αn = 3−n−1
par
a)
αn .
On dénit alors l'ensemble de Cantor
T
n≥0 An . En particulier, l'ensemble triadique de Cantor est obtenu pour la suite
pour tout n ≥ 0.
Calculer la mesure de Lebesgue de
K.
En déduire que l'ensemble triadique de Cantor est
d'intérieur vide.
b)
Montrer que
K
est toujours d'intérieur vide. Comparer la mesure de
K
à celle de son
intérieur.
?
Exercice 8.5.
Pour tout
Soit
a ∈ R,
µ
une mesure sur
(R, B(R)),
telle que
Fa
Exercice 8.6.
dense dans
R
soit nie sur les compacts de
R.
on dénit
(
µ([a, t[),
Fa (t) =
−µ([t, a[),
Montrer que
µ
si
si
t > a,
t ≤ a.
est croissante et continue à gauche.
En utilisant l'exercice
de mesure de Lebesgue
5.
4,
montrer qu'il est possible de construire un ouvert
Proposer également une méthode directe.
15
Intégration
?
Exercice 8.7.
(X, A, µ) un espace
pour tout A ∈ A,
Soient
positive. On dénit
mesuré, et
Z
µf (A) =
f : X → [0, +∞]
une fonction étagée
f 1A dµ.
X
Montrer que
?
µf
est une mesure sur
Exercice 8.8.
Soient
(X, A, µ)
(X, A).
un espace mesuré et
mesurables et positives. Montrer que :
a)
Pour tout
a > 0, µ({f > a}) ≤
b)
Si
R
c)
R
f dµ = 0
d)
X
Si
X
f dµ < +∞,
alors
f
f = g µ-p.p.,
alors
X
R
X
est nie
si et seulement si
R
1
a
f
f dµ =
f dµ. ;
µ-p.p. ;
est nulle
R
X
µ-p.p. ;
gdµ.
16
f, g : X → [0, +∞]
des applications
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TD 9. Intégration. Convergence monotone.
Lemme de Fatou.
Échauements
Exercice 9.1. Vrai ou Faux ? Soit
(X, A, µ)
un espace mesuré.
a)
Si
f = 1A ,
b)
Si
f
c)
Le produit de deux fonctions intégrables est intégrable.
d)
Soit
i)
ii)
iii)
iv)
:
avec
A ∈ A,
X → [0, +∞]
alors
R
X
f dµ = µ(A).
est mesurable et vérie
µ(f −1 {+∞}) = 0,
alors
(fn ) une suite décroissante de fonctions mesurables positives
R
R
f dµ = lim fn dµ toujours.
R
R
R
f dµ = lim fn dµ s'il existe N tel que fN dµ < ∞.
R
R
R
f dµ ≤ lim fn dµ ssi il existe N tel que fN dµ < ∞.
R
R
f dµ ≤ lim fn dµ toujours.
Exercice 9.2.
Soit
(fn )
une suite d'applications boréliennes de
cas suivants, montrer que la suite
R
( R+ fn dλ)n
R+
f
est intégrable.
f
sa limite.
et
vers
R.
Dans les quatre
converge et déterminer sa limite (aucun calcul
d'intégrale n'est exigé).
a)
b)
?
ne−x
fn (x) = √
1 + n 2 x2
ne−nx
fn (x) = √
1 + n 2 x2
Exercice 9.3.
Soit
;
c)
fn (x) = sin(nx)1[0,n] (x) ;
d)
fn (x) = | cos(x)|1/n e−x .
;
(X, A, µ)
un espace mesuré et
f
une fonction
A−mesurable
positive.
Montrer qu'alors :
R
X
f dµ = 0
si, et seulement si,
f
est négligeable, c'est-à-dire
f = 0 µ-
p.p..
Quelques applications du théorème de convergence monotone
?
(X, A, µ) un espace mesuré. Soit f : X → R une
fonction mesurable positive. Pour t > 0, on pose Sf (t) = {x ∈ X, f (x) > t} et Ψf (t) = µ(Sf (t)).
Exercice 9.4. Ensembles de niveau. Soit
Montrer que
Z
Z
f dµ =
X
∞
Ψf (t)dt.
0
17
?
Exercice 9.5. Soit
a)
Soit
f ∈
(X, A, µ)
un espace mesuré.
L1R (µ) telle que, pour tout
A ∈ A,
R
A
f dµ = 0.
Montrer que
f = 0 µ-presque
partout.
b)
Soit
f ∈ L1R (µ)
F
et
un fermé de
pour tout
i)
ii)
?
Soit
I ⊂ Fc
tel que :
tel que
µ(A) > 0,
on a
un intervalle ouvert. Montrer que
f (x) ∈ F
En déduire que
Exercice 9.6. Soit
A∈A
R
1
µ(A)
Z
f dµ ∈ F .
A
µ(f −1 (I)) = 0.
x.
pour presque tout
(X, A, µ) un espace mesuré de masse totale nie et f : (X, A) → (R, B(R))
une fonction mesurable.
a)
?
Montrer que
f ∈ L1R (µ)
si et seulement si
X
nµ({n ≤ |f | < n + 1}) < +∞.
n≥1
b)
Montrer que :
n
X
∗
∀n ∈ N
kµ({k ≤ |f | < k + 1}) =
k=1
c)
Soit
d)
µ({|f | ≥ k}) − nµ({|f | ≥ n + 1}).
k=1
(un )n≥1
décroissante, convergente vers
Pn
est bornée. Montrer que
k=1 uk − nup+1
P
n≥1
n
X
P
0 et telle que la suite vn = nk=1 uk − nun+1
≤ vp pour tout p ≥ n. et en déduire que
un < +∞.
Montrer que
f ∈ L1R (µ)
si et seulement si
X
µ({|f | ≥ n}) < +∞.
n≥1
e)
Donner un contre-exemple lorsque
µ(X) = +∞.
Exercice 9.7.
a)
b)
P (X, A, µ) un espace mesuré, et soit (An )n≥1 une suite
d'ensembles mesurables tels que
n≥1 µ(An ) < +∞. Montrer que µ(lim supn An ) = 0.
R
Soit (fn )n≥1 une suite de fonctions mesurables telles que
|fn |2 dµ ≤ M pour tout n ≥ 1,
X
pour un certain M > 0. Montrer qu'il existe N ∈ A de mesure nulle tel que pour tout
x 6∈ N , à partir d'un certain rang, |fn (x)| < n.
[Lemme de Borel-Cantelli.] Soit
(X, A, µ) un espace mesuré et (An )n≥1 une suite d'ensembles mesurables.
f : (X, A) → (R, B(R)) une fonction intégrable telle que :
Z
|1An − f |dµ −→ 0
Exercice 9.8. Soient
Soit
n→∞
X
µ-p.p., |f | ≤ 2.
a)
Montrer que
b)
Montrer qu'il existe
c)
Montrer que si
P
A∈A
n≥0
tel que
f = 1A µ-p.p..
µ(An ∆A) < +∞
alors
18
1An −−−−→ 1A .
µ−p.p.
?
Exercice 9.9. Soient
a)
(X, A, µ)
f ∈ L1R (µ).
un espace mesuré, et
Montrer que :
Z
|f |1{|f |>n} dµ −→ 0.
n→∞
X
b)
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀A ∈ A,
En déduire que :
Z
µ(A) ≤ δ
|f |dµ ≤ ε
=⇒
A
(continuité de l'intégrale par rapport à la mesure).
c)
f : R → R borélienne
dénie sur R par
Soit
et intégrable pour la mesure de Lebesgue. Soit
(R
[0,x]
F (x) =
Montrer que
F
−
f dλ,
R
[x,0]
f dλ,
est uniformément continue sur
si
x ≥ 0,
si
x < 0.
F
la fonction
R.
Autour du lemme de Fatou
Exercice 9.10.
a)
Soit
(X, A, µ)
un espace mesuré. Soit
qui converge simplement vers
f.
(fn )n≥0
une suite de fonctions mesurables positives
On suppose qu'il existe une constante
K
telle que :
Z
fn dµ ≤ K.
sup
n≥0
X
Z
f dµ ≤ K .
Montrer que
X
b)
On considère sur
et
?
([0, 1], B([0,
Z 1], λ)
f2n+1 = 1[1/2,1] .
Exercice 9.11. Soit
tives. On suppose que
lim sup fn dλ
Calculer
n
et
dénies par
(fn )n∈N une suite de fonctions dénies sur (X, A, µ)
(fn )n∈N converge simplement vers f µ-p.p., et que :
Z
Z
fn dµ −→
f dµ < +∞.
X
f2n = 1[0,1/2]
n
X
Z
|fn − f |dµ −→ 0.
Montrer que
Z (fn )n≥0
lim sup fn dλ.
la suite de fonctions
X
19
mesurables et posi-
Le coin du curieux
R
Alors les suites de fonctions
(fn ), (gn )
et
(hn )
lim inf fn < lim inf
R
fn , même si la convergence a lieu presque partout. Voici trois situations typiques, sur l'espace R muni de la mesure
de Lebesgue. Soit ϕ une fonction continue, positive, nulle en-dehors de l'intervalle [0, 1], non
identiquement nulle. Pour n ≥ 1 on dénit


fn (x) = nϕ(nx),
gn (x) = n−1 ϕ(n−1 x),


hn (x) = ϕ(x − n).
Il est très facile de construire des exemples où
convergent vers 0 partout sur
facile de montrer, par des changements de variables évidents, que
R
il est
R R, pourtant
R
R
fn = gn = hn = ϕ.
(fn ) illustre un phénomène de concentration (toute la masse de la suite se
concentre près de 0), la suite (gn ) un phénomène d'évanescence (toute la masse part à l'inni
de manière diuse), tandis que la suite (hn ) présente un comportement de bosse glissante (la
On dit que la suite
masse glisse à l'inni, sans s'étaler).
20
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TD 10. Intégration. Théorèmes de convergence.
Échauement, exemples et contre-exemples
?
Exercice 10.1.
a)
Donner une suite de fonctions boréliennes positives
limite
c>0
et
R
(fn )n≥0
telle que
R
lim inf fn dλ < c.
R
R
fn dλ
admet une
b)
(E, A, µ) est un
intégrables de signe quelR espace mesuré, (fn )n≥0 une suite de fonctions
R
R
conque telle que
|
lim
inf
f
|dµ
<
+∞
, a-t-on toujours
lim
inf
f
dµ
≤
lim
inf
f dµ ?
n
n
E
E
E n
c)
Donner une suite
Si
pour tout
d)
(fn )n≥0 de fonctions continues sur [0, 1] à valeursR dans [0, 1] telle
x ∈ [0, 1] la suite fn (x) n'admet pas de limite et limn→∞ [0,1] fn dλ = 0.
Donner une suite
(fn )n≥0
Z
lim
n→∞
de fonctions continues positives sur
[0, 1]
que
telle que :
Z
fn dλ = 0
sup fn dλ = +∞.
et
[0,1] n≥0
[0,1]
Exercice 10.2. Calculer la limite des suites suivantes :
a)
R
R
e−|x|/n dx ;
2
e−x
dx ;
1{3|cos( mx )|≥2}
x
2 cos( m
)−1
R
P
n
1
m≥1 m sin( nm ).
Z
b)
c)
Convergence dominée, variations
Exercice 10.3. Soient (E, A, µ) un espace mesuré et (fn )n≥0 une suite décroissante de fonctions
mesurables positives qui converge
a)
On suppose qu'il existe
n0
µ-p.p.
vers une fonction
R
fn0 dµ < ∞. Montrer
Z
Z
lim
fn dµ =
f dµ.
tel que
E
n→∞
b)
f.
E
que
E
Que peut-on dire sans l'hypothèse d'intégrabilité ?
Exercice 10.4.
pour tout
f :]0, 1[→ R une fonction positive,
monotone
R
n
n ≥ 1, gn (x) = f (x ). Calculer la limite de ]0,1[ gn dλ.
Soit
21
et intégrable. On dénit
?
Exercice 10.5.
a)
(X, A, µ) un espace mesuré,
R n )n≥0 une suite de fonctions intégrables de (X, A)
P et (f
(R, B(R)). Montrer que si n≥0 X |fn |dµ < ∞, alors
!
Z
XZ
X
fn dµ =
fn dµ.
Soient
dans
n≥0
b)
Soit
(N, P(N), m)
où
m
X
X
est la mesure de comptage. Soit
Z
u dm =
N
c)
Soit
(an,p )n,p≥0
X
u : N → R+ .
Montrer que
u(n).
n≥0
des réels. Montrer que
XX
|ap,q | < ∞
=⇒
p≥0 q≥0
d)
n≥0
Calculer la limite de
XX
p≥0 q≥0
Pn
k=1
ap,q =
XX
ap,q .
q≥0 p≥0
(−1)k+1 1
.
k
Convergence en mesure, convergence dominée
?
(X, A, µ) un espace mesuré tel que µ(X) < ∞. Soient (fn )n≥1 et f des
fonctions mesurables de (X, A) dans (R, B(R)). On dit que la suite (fn )n≥1 converge en mesure
vers f si :
∀ε > 0
lim µ({|fn − f | > ε}) = 0.
n
R
a) Montrer que si
|fn − f |dµ → 0, alors la suite (fn )n≥1 converge en mesure vers f .
X
b) Montrer que si la suite (fn )n≥1 converge µ-p.p. vers f , alors elle converge en mesure vers f .
c) Réciproquement, supposons que (fn ) converge en mesure vers f :
i) Montrer qu'il existe une sous-suite (fnk )k∈N telle que
1
1
∀k ≥ 1
µ
|fnk − f | >
< 2.
k
k
Exercice 10.6.
ii)
Soit
Soit
µ(c A) = 0
?
1
}. Montrer que (fnk ) converge vers f sur A et que
k
k
(en d'autres termes, fn possède une sous-suite qui converge µ-p.p. vers f ).
A = lim{|fnk − f | ≤
(X, A, µ) un espace mesuré tel que µ(X) < ∞. Soient (fn )n≥1 et f des
fonctions mesurables de (X, A) dans (R, B(R)). On suppose que la suite (fn )n converge en
mesure vers f , et qu'il existe une fonction g : X → R intégrable positive telle que |fn | ≤ g
µ-p.p. pour tout n ≥ 1.
a) Montrer que |f | ≤ g µ-p.p.
Exercice 10.7.
b)
Soit
En déduire à l'aide de la propriété d'uniforme continuité de l'intégrale que
Z
|fn − f |dµ −→ 0.
n→∞
X
1. Indication : appliquer le théorème de convergence dominée à
22
k k
k≥0 (−1) x
P
sur
]0, 1[.
Exercice 10.8. Soient
a)
Montrer que
b)
Montrer que
(X, A, µ)
un espace mesuré et
f :X→R
une fonction intégrable.
limn nµ({|f | ≥ n}) = 0.
X 1 Z
|f |2 dµ < +∞.
2
n
|f |≤n
n≥1
Exercice 10.9. Soient
On suppose qu'il existe
(E, A, µ) un espace mesuré et (fn )n≥1 une suite de fonctions intégrables.
f intégrable telle que
Z
|fn − f |dµ −→ 0.
n→∞
E
(fφ(n) )n≥1
supn≥1 |fφ(n) | ≤ B µ-p.p.
Montrer qu'il existe une suite extraite
intégrable telle que
convergeant vers
f µ-p.p.,
et une fonction
B
Le coin du curieux
Exercice 10.10.
fn une suite de fonctions continues de [0, 1] dans [0, 1] telle que pour
tout x ∈ [0, 1] on ait fn (x) → 0 quand n → ∞. Retrouver sans utiliser la théorie de l'intégration
R1
de Lebesgue que la suite des intégrales de Riemann vérie lim
f (x)dx = 0.
0 n
Soit
23
Université Pierre & Marie Curie (Paris 6)
UE LM364 Intégration 1
Licence de Mathématiques L3
Année 20142015
TD 11. Intégrales dépendant d'un paramètre :
convergence, sommation, dérivation.
Échauement
?
Exercice 11.1. Déterminer la limite des suites
de
In
(i)
(ii)
n≥1:
Z 1
ne−x
In =
dx
0 nx + 1
+∞
X
n+k
In =
nk 3/2 + k 3
k=1
(In )n≥1
suivantes après avoir justié l'existence
pour
Z
(iii)
In =
R
2
nex + π
dx
ne2x2 + 4x4
Z
(iv)
In =
]0,+∞[
+∞
Z
In =
(v)
0
sin(nxn )
dx.
nxn+1/2
sin x x1/n
dx
x2 1 + x1/n
Interversions somme-intégrale
Exercice 11.2. La fonction
f
dénie sur
[0, 1]
par
f (x) =
+∞
X
n=2
sur
?
n2 |x
1
− n1 |1/2
est-elle intégrable
[0, 1] ?
Exercice 11.3.
+∞
Z
a)
Montrer que :
0
b)
X 1
sin x
dx
=
.
ex − 1
n2 + 1
n≥1
f : R → R une fonction borélienne telle que
R, la fonction
x 7→ eax f (x)
Z pour tout a ∈X
n Z
z
intégrable. Montrer que pour tout z ∈ C,
ezx f (x)dx =
xn f (x)dx.
n! R
R
n≥0
Soit
est
Intégrales à paramètre
Z
?
Exercice 11.4. Le but de cet exercice est de montrer que
+∞
I :=
0
a)
i) Montrer que l'intégrale généralisée
ii)
b)
Soit
i)
ii)
iii)
c)
I
sin x
π
dx = .
x
2
est convergente.
g : x 7→ sin(x)/x est-elle Lebesgue-intégrable sur R∗+ ?
sin x
1]0,+∞[ (x).
f (x, t) = e−xt
x
Montrer que pour tout t > 0, la fonction x 7→ f (x, t) est Lebesgue intégrable.
R
Montrer que la fonction F (t) =
f (x, t)dx est dérivable sur ]0, +∞[.
R
La fonction
Calculer
Soient
A>0
F 0 (t)
et
limt→+∞ F (t). En déduire que : F (t) =
R
+∞
t > 0. Montrer que A f (x, t)dx ≤ A2 .
puis
24
π
2
− arctan t.
d)
Montrer que pour
A > 0,
Z
lim+
Z
A
f (x, t)dx =
t→0
e)
A
0
0
sin x
dx.
x
Conclure.
+∞
Z
Exercice 11.5. Soit
ϕ
la fonction dénie sur
]0, +∞[
par :
e−xt
ϕ(t) =
0
ϕ
a)
Montrer que
b)
Calculer la limite de
t ∈ ]0, +∞[
est dérivable pour tout
ϕ(t)
t → +∞.
quand
et calculer explicitement sa dérivée.
En déduire la valeur de
Z
Exercice 11.6. Soit
f
la fonction dénie sur
R+
par
+∞
f (t) =
0
?
a)
Montrer que
b)
Calculer
f 00
f
est continue sur
Γ
et deux fois dérivable sur
ϕ(t).
sin x
x
2
e−tx dx.
R∗+ .
et
f 0.
En déduire une expression simple de
la fonction dénie sur
R∗+
par
et les limites en
Exercice 11.7. Soit
R+
1 − cos x
dx.
x
+∞
de
f
Z
f.
+∞
xt−1 e−x dx.
Γ(t) =
0
Γ
a)
Montrer que
est de classe
b)
Montrer que, pour tout
C∞
sur
R∗+ .
c)
Montrer que, pour tout
n ∈ N∗ , Γ(n + 1) = n!.
√ t −t Z
t > 0, Γ(t + 1) = t t e
d)
Montrer que, pour tout
y ≥ 0,
]0, +∞[
la fonction
et que
i √ h
∀y ∈ − t, 0
e)
y
t ln 1 + √
t
√
y2
−y t≤− .
2
Montrer que
t √
t √
Z +∞ Z +∞
y
y
2
− ty
− ty
1+ √
e
e
e−y /2 dy.
dy = lim
1+ √
dy =
√
t→+∞ 0
t
t
− t
0
Z
lim
t→+∞
f)
t √
y
1+ √
e− ty dy.
√
t
− t
√
y
√
t→
7 t ln 1 + t − y t est décroissante
+∞
0
En déduire la formule de Stirling :
Γ(t + 1) ∼
+∞
25
√
2πt tt e−t .
sur
Pour aller plus loin
Exercice 11.8. [Théorème de Bohr-Mollerup] Le but de cet exercice est de montrer que la
fonction
(i)
(ii)
(iii)
Γ
ln G
dénie à l'exercice précédent est l'unique fonction
est une fonction convexe (on dit aussi que
G
est
G : R∗+ −→ R∗+
qui vérie :
log-convexe) ;
∀x > 0 G(x + 1) = xG(x) ;
G(1) = 1.
1/ On montre d'abord que la fonction
a) Montrer que
Γ
Γ
vérie ces trois conditions.
vérie les conditions (ii) et (iii).
b) Montrer qu'une fonction
G
est log-convexe ssi
∀λ ∈ [0, 1] ∀x, y > 0
c) En déduire que
Γ
est log-convexe (on pourra utiliser l'inégalité de Hölder).
2/ Montrons maintenant l'unicité. Soit
a) Soient
n ∈ N∗
et
G(λx + (1 − λ)y) ≤ G(x)λ G(y)1−λ .
x ∈]0, 1].
G : R∗+ → R∗+
Montrer que
G(n + x) ≤ nx (n − 1)!
n + x (resp. n + 1)
n + x + 1)).
(Indication : écrire
(resp. de
n+x
et
b) En déduire que pour
une fonction vériant (i), (ii) et (iii).
n ∈ N∗
et
et
n! ≤ G(n + x)(n + x)1−x
comme une combinaison convexe de
x ∈]0, 1],
n!(n + x)x−1
nx (n − 1)!
≤ G(x) ≤
.
x(x + 1) · · · (x + n − 1)
x(x + 1) · · · (x + n − 1)
c) Conclure.
26
n
et
n+1