Intégration et analyse de Fourier Fiche de TD n 2 : Ensembles

Licence MIA 3ème année, 2012-2013
Intégration et analyse de Fourier
Fiche de TD no2: Ensembles mesurables, fonctions mesurables
Tribus, ensembles mesurables
Exercice 1. Soit Eun ensemble contenant 4 éléments E={a, b, c, d}. Déterminer la
tribu sur Eengendrée par les singletons de E, ainsi que la tribu sur Eengendrée par
{{a},{b, c}}.
Exercice 2. On considère un ensemble E. On appelle
S={{x}:x∈R}
l’ensemble des singletons. Le but de l’exercice est d’expliciter la tribu σ(S)générée par les
singletons.
1. Montrer que toute partie dénombrable est dans σ(S).
2. Montrer que toute partie Atelle que Acest dénombrable est dans σ(S).
3. Soit A={A⊂E:Adénombrable ou Acdenombrable}. Soit An;n≥1une famille
d’ensembles de A. En distinguant le cas où tous les Ansont dénombrables, montrer
que
∪nAn∈ A.
4. Conclure.
Exercice 3. Soit Aet Bdeux tribus de E. Soit C⊂E.
1. La famille A×B={A×B:A∈ A, B ∈ B} est-elle une tribu de E×E?
2. Montrer que
σ(A∪B) = σ{A∪B:A∈ A, B ∈ B} =σ{A∩B:A∈ A, B ∈ B}.
Exercice 4. Soit fune application de Edans F. Soit Aune tribu de E. Montrer que
f−1(B) = {B⊂F;f−1(B)∈ A} est une tribu de F. L’ensemble {f(A); A∈ A} est-il une
tribu de F?
Exercice 5. Une partitionfinie d’un ensemble Eest une collection finie d’ensembles
{A1, . . . , An}telle que
E=
n
[
i=1
Ai,et ∀i6=j, Ai∩Aj=∅.

Montrer que la tribu engendrée par la partition {A1, . . . , An}est ([
i∈J
Ai, J ⊂ {1, . . . , n}).
Exercice 6. Pour n≥1et 0≤k≤2n−1, on note
Ik,n = [k/2n,(k+ 1)/2n[.
Soit Anla tribu engendrée par les Ik,n,0≤k≤2n−1.
1. Montrer que pour tout n≥1,An⊆ An+1. A-t-on égalité ?
2. Soit Bla tribu des Boréliens. Montrer que pour tout n≥1,An⊆ B. On pose
A∞=σ(∪n≥1An).
Montrer que pour tout 0≤a<b≤1,[a, b]∈ A∞. En déduire que A∞=B.
Fonctions mesurables
Exercice 7. Trouver toutes les fonctions mesurables (E, A)→(R,B(R)) dans les cas
suivants :
1. Eest quelconque et A=σ{∅, E}
2. Eest quelconque et A=P(E)
3. E={a, b, c, d}et A=σ({{a},{b, c}})
Exercice 8. Soit fla fonction défine sur [0,3] par
f(x) = (0si x∈[0,1],
1si x∈]1,3],
et gla fonction définie par
g(x)=2si x∈[0,1],
−1si x∈]1,2],
4si x∈]2,3].
Montrer que fest mesurable par rapport à la tribu engendrée par gmais que la réciproque
est fausse. (On pourra expliciter les tribus engendrées par chacune de ces fonctions).
Exercice 9. On considère une fonction monotone f:R−→ R.
1. Montrer que l’ensemble des points de discontinuité de fest dénombrable.
2. Montrer que la fonction fest borélienne.
Exercice 10. Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions mesurables d’un ensemble (E, A)dans
(R,B(R)). Montrer que l’ensemble des points xpour lesquels (fn(x))nconverge est mesu-
rable.
Indication : on rappelle qu’une suite (un)n∈Nà valeurs réelles ou complexes est de Cauchy
si ∀ε > 0,∃N, ∀p, q ≥N, |up−uq|< ε. Le résultat fondamental est qu’une suite est de
Cauchy si et seulement si elle converge.
Exercice 11. Soit f:E−→ (R,B(R)) une fonction. On note f−1(B)la tribu image
réciproque de B:f−1(B) = {f−1(B); B∈ B}.
1. On considère une fonction g: (E, f −1(B))) −→ (R,B(R)) mesurable. Montrer que
si gest une fonction étagée, alors il existe h: (R,B(R)) −→ (R,B(R)) une fonction
borélienne telle que g=h◦f.

2. En déduire que dans le cas général, si g: (E, f −1(B))) −→ (R,B(R)) est mesurable,
alors il existe h: (R,B(R)) −→ (R,B(R)) une fonction borélienne telle que g=h◦f.
Exercice 12. Les applications suivantes sont-elles boréliennes ?
f(x) = 0si x∈Q
1sinon , g(x) = E(x)si x∈R\Z 0sinon , h(x) = X
n∈Z
n1[n,n+1[(x).
Exercice 13. Soit f:R→Rune fonction borélienne. Pour tout n∈N, on définit la
troncature,fn, de fde niveau npar
∀x∈Rfn(x) = 
nsi f(x)> n
f(x)si |f(x)| ≤ n
−nsi f(x)<−n
.
Faire un dessin, puis montrer que fnest borélienne et que ∀x∈Rlim
n→∞ fn(x) = f(x).
Exercice 14. Soit fla fonction de Rdans Rdéfinie par :
∀x∈Rf(x) = 
x2si 0≤x≤1
e−xsi x > 1
sin xsi x < 0
.
Montrer que fest une fonction borélienne.