Intégration et analyse de Fourier Fiche de TD n 2 : Ensembles

Licence MIA 3ème année, 2012-2013
Intégration et analyse de Fourier
Fiche de TD no 2 : Ensembles mesurables, fonctions mesurables
Tribus, ensembles mesurables
Exercice 1. Soit E un ensemble contenant 4 éléments E = {a, b, c, d}. Déterminer la
tribu sur E engendrée par les singletons de E, ainsi que la tribu sur E engendrée par
{{a}, {b, c}}.
Exercice 2. On considère un ensemble E. On appelle
S = {{x} : x ∈ R}
l’ensemble des singletons. Le but de l’exercice est d’expliciter la tribu σ(S) générée par les
singletons.
1. Montrer que toute partie dénombrable est dans σ(S).
2. Montrer que toute partie A telle que Ac est dénombrable est dans σ(S).
3. Soit A = {A ⊂ E : A dénombrable ou Ac denombrable}. Soit An ; n ≥ 1 une famille
d’ensembles de A. En distinguant le cas où tous les An sont dénombrables, montrer
que
∪n An ∈ A.
4. Conclure.
Exercice 3. Soit A et B deux tribus de E. Soit C ⊂ E.
1. La famille A × B = {A × B : A ∈ A, B ∈ B} est-elle une tribu de E × E ?
2. Montrer que
σ(A ∪ B) = σ{A ∪ B : A ∈ A, B ∈ B} = σ{A ∩ B : A ∈ A, B ∈ B}.
Exercice 4. Soit f une application de E dans F . Soit A une tribu de E. Montrer que
f −1 (B) = {B ⊂ F ; f −1 (B) ∈ A} est une tribu de F . L’ensemble {f (A); A ∈ A} est-il une
tribu de F ?
Exercice 5. Une partitionf inie d’un ensemble E est une collection finie d’ensembles
{A1 , . . . , An } telle que
E=
n
[
i=1
Ai ,
et ∀i 6= j, Ai ∩ Aj = ∅ .
(
Montrer que la tribu engendrée par la partition {A1 , . . . , An } est
)
[
Ai , J ⊂ {1, . . . , n} .
i∈J
Exercice 6. Pour n ≥ 1 et 0 ≤ k ≤ 2n − 1, on note
Ik,n = [k/2n , (k + 1)/2n [.
Soit An la tribu engendrée par les Ik,n , 0 ≤ k ≤ 2n − 1.
1. Montrer que pour tout n ≥ 1, An ⊆ An+1 . A-t-on égalité ?
2. Soit B la tribu des Boréliens. Montrer que pour tout n ≥ 1, An ⊆ B. On pose
A∞ = σ(∪n≥1 An ).
Montrer que pour tout 0 ≤ a < b ≤ 1, [a, b] ∈ A∞ . En déduire que A∞ = B.
Fonctions mesurables
Exercice 7. Trouver toutes les fonctions mesurables (E, A) → (R, B(R)) dans les cas
suivants :
1. E est quelconque et A = σ{∅, E}
2. E est quelconque et A = P(E)
3. E = {a, b, c, d} et A = σ({{a}, {b, c}})
Exercice 8. Soit f la fonction défine sur [0, 3] par
(
0 si x ∈ [0, 1],
f (x) =
1 si x ∈]1, 3],
et g la fonction définie par


g(x) = 2 si x ∈ [0, 1],
−1 si x ∈]1, 2],


4 si x ∈]2, 3].
Montrer que f est mesurable par rapport à la tribu engendrée par g mais que la réciproque
est fausse. (On pourra expliciter les tribus engendrées par chacune de ces fonctions).
Exercice 9. On considère une fonction monotone f : R −→ R.
1. Montrer que l’ensemble des points de discontinuité de f est dénombrable.
2. Montrer que la fonction f est borélienne.
Exercice 10. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions mesurables d’un ensemble (E, A) dans
(R, B(R)). Montrer que l’ensemble des points x pour lesquels (fn (x))n converge est mesurable.
Indication : on rappelle qu’une suite (un )n∈N à valeurs réelles ou complexes est de Cauchy
si ∀ε > 0, ∃N, ∀p, q ≥ N, |up − uq | < ε. Le résultat fondamental est qu’une suite est de
Cauchy si et seulement si elle converge.
Exercice 11. Soit f : E −→ (R, B(R)) une fonction. On note f −1 (B) la tribu image
réciproque de B : f −1 (B) = {f −1 (B); B ∈ B}.
1. On considère une fonction g : (E, f −1 (B))) −→ (R, B(R)) mesurable. Montrer que
si g est une fonction étagée, alors il existe h : (R, B(R)) −→ (R, B(R)) une fonction
borélienne telle que g = h ◦ f .
2. En déduire que dans le cas général, si g : (E, f −1 (B))) −→ (R, B(R)) est mesurable,
alors il existe h : (R, B(R)) −→ (R, B(R)) une fonction borélienne telle que g = h ◦ f .
Exercice 12. Les applications suivantes sont-elles boréliennes ?
X
0 si x ∈ Q
E(x) si x ∈ R \ Z
f (x) =
, g(x) =
, h(x) =
n1[n,n+1[ (x) .
1 sinon
0 sinon
n∈Z
Exercice 13. Soit f : R → R une fonction borélienne. Pour tout n ∈ N, on définit la
troncature, fn , de f de niveau n par

si f (x) > n
 n
f (x) si |f (x)| ≤ n .
∀x ∈ R fn (x) =

−n si f (x) < −n
Faire un dessin, puis montrer que fn est borélienne et que ∀x ∈ R
Exercice 14. Soit f la fonction de R dans R définie par :

 x2 si 0 ≤ x ≤ 1
∀x ∈ R f (x) =
e−x si
x>1

sin x si
x<0
Montrer que f est une fonction borélienne.
.
lim fn (x) = f (x).
n→∞