TD3 - L`Université Paris Descartes

Licence MIA 3ème année, année 2012-2013
Intégration et analyse de Fourier
Fiche de TD no3: Mesures
Exercice 1. Soit Xun ensemble non vide. Décrire toutes les mesures sur la tribu grossière.
Exercice 2. Soit Pune mesure de probabilité sur (X, A), et A, B deux ensembles
mesurables (i.e. dans A). On suppose P(A)=3/4et P(B)=1/3. En déduire que
1/12 ≤P(A∩B)≤1/3.
Exercice 3. a) Soit X={1,2,3,4,5,6}et A=P(X). Soit P:A → R+définie par
P(A) = 1
6#A. Vérifier que cela définit bien une mesure, appelée probabilité uniforme sur
X.
b) Soit A={2,4,6}l’événement “obtenir un chiffre pair”. Montrer que l’application
P(.|A) : B∈ P(A)7→ P(B|A) = P(B∩A)
P(A)est une mesure de probabilité sur (A, P(A)).
c) Plus généralement, si Xest un ensemble fini, comment définit-on une probabilité uni-
forme sur X?
d) Soit X=N. Existe-t-il une mesure de probabilité uniforme sur (N,P(N)?
Exercice 4. Soient (X, A, µ)un espace mesuré et f:X→Yune application.
a) On pose B:= f∗A={B∈Y|f−1(B)∈ A} la tribu image. On rappelle que Best une
tribu, montrer que
ν:B → R
B7→ µ(f−1(B)).
définit une mesure sur (Y, B), appelée mesure image de µpar fet notée f∗µ.
b) Déterminer la mesure image ν=f∗µdans le cas où µ=δaest la mesure de Dirac au
point a∈X.
c) Soit g:Y→Zune application. Montrer que
(g◦f)∗(µ) = g∗(f∗(µ)).
Exercice 5. On se place dans Rmuni de la tribu de Lebesgue B(R)et de la mesure de
Lebesgue λ. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre réponse.
1. Que peut-on dire de λ(Q)?
2. Si Uest un ouvert non vide de Ralors λ(U)>0.
3. Si Aest une partie mesurable telle que λ(A)>0alors il existe un ouvert non vide
contenu dans A.
4. Si Kest un compact de Ralors Kest mesurable et λ(K)<∞.
5. Si Aest une partie mesurable telle que λ(A)<∞alors il existe un compact Ktel
que A⊂K.
6. Si Aest une partie de Rtelle que A⊂B, où B∈ B(R), alors A∈ B(R).

Exercice 6. On construit l’ensemble tryadique de Cantor de la manière suivante. On
part de C1={[0,1]}, et on définit par récurrence pour n≥1
Cn+1 =[
Ssegment de Cn
ψ(S),
où la fonction découpage tryadique ψest définie sur chaque segment [a, a +l]⊂[0,1] par
ψ([a, a +l]) = {[a, a +l/3],[a+ 2l/3, a +l]}.
On pose ensuite pour n≥1
Kn=[
S∈Cn
S.
1. Faire un dessin. Montrer que Knest une suite décroissante d’ensembles. On appelle
K=\
n
Kn
l’ensemble tryadique de Cantor.
2. Donner la valeur des λ(Kn), n ≥1, puis λ(K)(pourquoi est-il mesurable ?).
3. Montrer que Kest d’intérieur vide.
4. * Dans la procédure précédente, on peut remplacer la procédure de découpage ψpar
une autre procédure
ψn([a, a +l]) = {[a, a +αnl],[a−αnl, a]},
avec un facteur 0< αn<1/2dépendant de n. Trouver (αn)n≥1qui permette d’ob-
tenir à la fin un ensemble Kde mesure non-nulle (mais toujours d’intérieur vide).
Cela donne un exemple de mesurable de Rd’intérieur vide et de mesure non-nulle.
Exercice 7. Sur (R,B(R)), on apelle mesure invariante par translation une mesure µqui
vérifie pour tout A∈ B(R), t ∈R
µ(A) = µ(A+t),
où
A+t={x+t:x∈A}.
1. *Montrer que la mesure de Lebesgue λest invariante par translation. On pourra
introduire
B={A∈ B(R) : λ(A+t) = λ(A)pour tout t ∈R}
et utiliser le théorème de la classe monotone fort.
2. Le but de cette question est de montrer que toute mesure µinvariante par translation
s’écrit µ=cλ pour un certain c≥0.
(a) Soit c=µ([0,1[). Montrer que
µ([0,1/n[) = c
n.
(b) Montrer que si a, b sont rationnels, alors
µ([a, b[) = cλ([a, b[).
(c) Conclure.