cours et exercices

Les fondements des mathématiques (du programme de PCSI)
C. Charignon
Dieu a créé les nombres entiers, le reste est l’œuvre de l’homme.
Léopold Kronecker
Table des matières
I Cours 3
1 Relation d’ordre 3
1.1 Relations ............................................... 3
1.2 La relation d’ordre de R....................................... 3
1.2.1 Propriétésadmises...................................... 3
1.2.2 Manipulation d’inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Valeurabsolue ........................................ 6
1.3 Majorants,minorant,extrema.................................... 6
2 Nombres entiers 7
2.1 Propriétés caractéristiques de Z................................... 7
2.2 Récurrence .............................................. 7
2.3 Exemple de récurrence forte : décomposition en produit d’irréductibles . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Suitesdéfiniesparrécurrence .................................... 9
2.4.1 Lethéorèmedebase..................................... 9
2.4.2 Puissances........................................... 9
2.4.3 Factorielle........................................... 10
3 Sommes 11
3.1 Définition ............................................... 11
3.2 Linéarité................................................ 11
3.3 Chasles ................................................ 11
3.4 Décalaged’indice........................................... 12
3.5 Sommestélescopiques ........................................ 12
3.6 Sommesarithmétiques........................................ 12
3.7 Différence de puissance n◦et Sommes géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.8 Coefficients binomiaux et formule de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.9 Inégalitétriangulaire......................................... 16
3.10Sommedetermespositifs ...................................... 16
1

4 Retour aux complexes : équations et racines de l’unité 17
4.1 Racinescarrée............................................. 17
4.2 Résolution des équations de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.1 Résolutiongénérale...................................... 18
4.2.2 Cas d’une équation à coefficients réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2.3 Relations coefficients racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Racinesdel’unité........................................... 20
5 Un peu d’informatique et division euclidienne 22
5.1 Terminaisond’uneboucle ...................................... 22
5.2 Définition de la division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6 Bonus : Un peu plus de vocabulaire 23
6.1 Relationsd’équivalence........................................ 23
6.2 Opérations / lois de commutation interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.2.1 définition d’une loi de commutation interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.2.2 Associativité et commutativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.2.3 Élémentneutre........................................ 25
6.2.4 Inverse............................................. 25
6.2.5 Distributivité......................................... 26
II Exercices 27
1 Relations 1
2 Manipulation d’inégalités 1
3 Valeur absolue 2
4 Récurrence 2
5 Sommes 4
5.1 Sommestélescopiques ........................................ 4
5.2 Diversessommes ........................................... 5
5.3 Coefficientsbinomiaux........................................ 6
5.4 Limites et encadrements de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6 équations et racines de l’unité 8
2

Première partie
Cours
1 Relation d’ordre
Le but de cette partie est essentiellement d’étudier la relation 6.
En analyse, la plus grande partie des calculs consiste à obtenir des encadrements, c’est pourquoi il est
essentiel de savoir manipuler rapidement et sans erreur des inégalités. Soyez soigneux, les erreurs d’inattention
sont très fréquentes dans ce domaine.
Bien que vous connaissiez déjà les règles de calcul, nous allons prendre le temps de redonner les règles
fondamentales et d’en déduire les autres règles.
La première partie est plus générale : avant d’étudier spécifiquement la relation 6, on donne du vocabulaire
et des généralités sur les relations en général.
1.1 Relations
Définition 1.1. Soit Eun ensemble. Une relation sur Eest une fonction R:E2→ {vrai, faux}. Si
(e, f)∈E2est tel que R(e, f) = vrai, on note plutôt eRf. Lorsque R(e, f) = faux, on note e6 Rf(Rbarré,
pb de typographie...)
Exemples:
•Sur N:=,6,>,|(divise)
•Sur P(E)pour n’importe quel ensemble E:=,⊂
•Soit I∈ P(R)et a∈¯ I. Sur F(I, R), on a vu les relations =oa() et ∼a.
Proposition 1.2. (admis) N’importe quel ensemble est toujours muni d’au moins une relation : l’égalité
notée =.
Remarque : En un certain sens, il s’agit d’un axiome... La relation =peut être décrite ainsi : étant donnés
un ensemble Eet (x, y)∈E2, on dit que x=ylorsque toute propriété vérifiée par xl’est aussi par y, et que
toute propriété vérifiée par yl’est aussi par x.
Définition 1.3. Soit Eun ensemble muni d’une relation R. On dit que Rest :
•réflexive si ∀x∈E,xRx.
•transitive si ∀(x, y, z)∈E3,(xRyet yRz)⇒xRz.
•symétrique si ∀(x, y)∈E2,xRy⇒yRx.
•antisymétrique si ∀(x, y)∈E2,(xRyet yRx)⇒x=y.
Définition 1.4. Soit Eun ensemble muni d’une relation R.
1. On dit que Rest une relation d’équivalence lorsqu’elle est transitive, réflexive, et symétrique.
2. On dit que Rest une relation d’ordre lorsqu’elle est transitive, réflexive, et antisymétrique.
Exemple: ⇔,⊂,=,6,≡[m], l’ordre alphabétique
1.2 La relation d’ordre de R
1.2.1 Propriétés admises
L’ensemble Rest muni d’une relation d’ordre 6, c’est celle-ci que nous allons étudier maintenant. Elle
vérifie la propriété supplémentaire suivante :
3

Proposition 1.5. (l’ordre 6est total)
∀(a, b)∈R2,a6bou b6a.
N.B. Cette propriété n’est pas vérifiée par ⊂.
En outre, la relation 6vérifie les propriétés de compatibilité avec les opérations suivantes :
1. (compatibilité avec +) : ∀(a, b, c)∈R3,a6b⇒a+c6b+c.
2. (compatibilité avec le produit par un nombre positif) : ∀(a, b, c)∈R3,(a6betc >0) ⇒a.c 6b.c.
Remarque : Soit Eun ensemble. Dans P(E),⊂est compatible avec ∩et ∪.
Proposition 1.6. Soit Eun ensemble muni d’une relation d’ordre 6et d’une lci ?. On suppose 6compatible
avec ?. Alors, pour tout (a, b, c, d)∈E4:
(a6b
c6d⇒a?c6d?b
Dans Rmuni de l’ordre usuel, pour l’addition ceci donnera donc :
∀(a, b, c, d)∈R4,(a6b
c6d⇒a+c6b+d
Attention : pour la multiplication, en général, ça ne marche pas car .n’est pas compatible avec 6dans
R. Par exemple : −26−1et −36−1et pourtant (−2).(−3) >(−1).(−1).
Par contre, 6est compatible avec .dans R+, donc on obtient :
∀(a, b, c, d)∈(R+)4,(a6b
c6d⇒a.c 6b.d
Donc bien retenir la règle : « ne multiplier des inégalités que lorsque tout est positif ». Sinon réfléchir au
cas par cas...
1.2.2 Manipulation d’inégalités
Voici quelques conséquences des conditions de compatibilité de 6avec +et .:
Proposition 1.7. (inégalités et opérations)
Soit (a, b, c, d)∈R4. Alors :
1. a > 0⇔1/a > 0.
2. a > 0⇔ −a < 0.
3. Si c > 0, alors : a6b⇔ac 6bc.
4. Si c < 0, alors : a6b⇔ac >bc.
5. a6bet c6d⇒a+b6c+d.
6. a6bet c6det b>0et c>0⇒ac 6bd.
Démonstration:
(i) Supposons a > 0. Supposons par l’absurde 1/a 60, en multipliant par a, on trouve a.1/a 60.a donc 160.
Ceci contredit le fait que 6prolonge l’ordre de N.
La réciproque peut s’obtenir de la même manière, ou bien en appliquant le sens direct à 1/a au lieu de a:
a−1>0⇒(a−1)−1>0.
(ii) Se prouve comme dans Z:a > 0⇔a−a > 0−a⇔0>−a.
4

(iii) Nous savons déjà que a6bet c > 0⇒ac 6bc, par le théorème définissant R. Pour la réciproque, sachant
que 1/c > 0(par le premier point), on a :
ac 6bc ⇒ac.1/c 6bc.1/c ⇒a6b
(iv) Supposons c < 0. Alors, en utilisant successivement (iii)puis (ii):
a6b⇔(−c).a 6(−c).b ⇔ca >cb
(v) Supposons a6bet c6d. En ajoutant cà la première inégalité, on trouve :
a+c6b+c
Et en ajoutant bà la seconde :
b+c6b+d
On conclut par transitivité de 6.
cf exercice: 5
Lemme 1.8. (moyenne)
Soit (a, b)∈R2tel que a < b. Alors :
a < a+b
2< b
Et même plus généralement, pour tout λ∈]0,1[,
a < λ.a + (1 −λ).b < b
Remarque : λ.a+(1−λ).b s’appelle le barycentre de (a, λ)et (b, 1−λ). Lorsque λparcourt [0,1], ce barycentre
parcourt le segment [a, b].
En pratique, il arrive souvent qu’on ait deux nombres aet btels que a < b, et qu’on cherche x∈Rtel
que a<x<b: on sait maintenant qu’il suffit de prendre x= (a+b)/2.
Lemme 1.9. (un carré est positif)
Pour tout x∈R,x2>0.
Exemple: Montrer que ∀(a, b)∈R2,a2+b2>2ab.
Lemme 1.10. (Somme de nombres positifs valant 0)
Soit (a, b)∈(R+)2. On suppose a+b= 0. Alors a= 0 et b= 0.
Exemple: Déterminer les couples (a, b)∈R2tel que (a−b)(a+b)=2a2.
Lemme 1.11. Soit (a, b, c)∈R3. On suppose a6bet b < c.
Alors a < c.
Démonstration:
Par transitivité, on a déjà a6c. Reste à prouver que a6=c.
Supposons par l’absurde a=c. Alors par réflexivité, c6a. Puis par transitivité, b6a. Mais alors on a b6aet
a6b, d’où par antisymétrie, a=b: contradiction. 
cf exercice: 8 et 10
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