Enoncé et corrigé

BACCALAUREAT GENERAL
Session de Juin 2010
MATHEMATIQUES
-SérieS-
Enseignement Obligatoire
Polynésie
EXERCICE 1
Partie A - Restitution organisée de connaissances
a) Soient a,b,a!et b!quatre nombres réels puis z=a+ib et z!=a!+ib!.
z×z!=(a−ib)(a! −ib!)=(aa! −bb!)−i(ab!+ba !)=((aa! −bb!)+i(ab!+ba!))
=(a+ib)(a!+ib!)=z×z!.
Pour tous nombres complexes zet z!,z×z!=z×z!.
b) Soit zun nombre complexe. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul n,zn=(z)n.
•C’est vrai pour n=1car z1=z=(z)1.
•Soit n!1.Supposonsquezn=(z)n.Alors
zn+1=zn×z=zn×z(d’après a))
=(z)n×z(par hypothèse de récurrence)
=(z)n+1.
Le résultat est démontré par récurrence.
Pour tout nombre complexe zet tout entier naturel non nul n,zn=(z)n.
Partie B
1. Soit zun nombre complexe. Puisque (−z)4=z4,z4=−4⇒(−z)4=−4.D’autrepart,puisque−4est un nombre
réel, z4=−4⇒z4=−4⇒(z)4=−4.Onamontréque
si zest solution de (E)alors −zet zsont solutions de (E).
2. a) z0=√2!1
√2+1 √2i"=√2#cos #π
4$+isin #π 4$$=√2eiπ/4.
z0=√2eiπ/4.
b) z4
0=#√2eiπ/4$4
=#√2$4%eiπ/4&4=4eiπ=4(−1+0i)=−4.Doncz0est solution de l’équation (E).
3. L’équation (E)admet z0=1+ipour solution. mais alors, d’après la question 1, l’équation(E)admet aussi pour
solution −z0=−1−i,z0=1−iet −z0=−1+i.
L’équation (E)admet pour solutions 1+i,1−i,−1+iet −1−i.
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Partie C
1. L’expression complexe de la rotation de centre Ωd’affixe ωet d’angle θest z!=ω+eiθ(z−ω).Doncl’expression
complexe de la rotation rest
z!=−1−i+#cos #−
π
3$+isin #−
π
3$$(z+1+i)=−1−i+1 2(1−i√3)(z+1+i)
=1
2(−2−2i)+ 1 2(1−i√3)z+1 2(1−i√3)(1+i)= 1 2(1−i√3)z+1 2(−2−2i +1+√3−i√3+i)
=1
2(1−i√3)z+1 2(−1+√3−i(1+√3))
2. a)
zE=1
2(1−i√3)zB+1 2(−1+√3−i(1+√3)) = 1 2(1−i√3)(−1+i)+ 1 2(−1+√3−i(1+√3))
=1
2(−1+√3+i√3+i−1+√3−i(1+√3)) = −1+√3.
zE=−1+√3.
b)
zF=1
2(1−i√3)zD+1 2(−1+√3−i(1+√3)) = 1 2(1−i√3)(1−i)+ 1 2(−1+√3−i(1+√3))
=1
2(1−√3−i√3−i−1+√3−i(1+√3)) = −i(1+√3).
zF=−i(1+√3).
c)
zA−zE
zA−zF
=1+i−(−1+√3)
1+i+i(1+√3)=2−√3+i 1+i(2+√3)=(2−√3)
1+i
2−√3
1+i(2+√3)
=(2−√3)1+i(2+√3)
1+i(2+√3)(car (2+√3)(2−√3)=4−3=1)
=2−√3.
En particulier, zA−zE
zA−zF
est un nombre réel.
d) Un réel non nul admet pour argument 0ou πmodulo 2πet donc
#−→
FA, −→ EA$=arg !zA−zE
zA−zF"=0[π].
On en déduit que
les points A,Eet Fsont alignés.
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