Algèbre linéaire / Intégrales multiples - Jean

Colles 17 septembre 2012
Algèbre linéaire et Intégrales multiples
ECAM Rennes
Louis de Broglie
Colle 1
ECAM 2
Question de cours : Énoncer le Théorème du rang.
Exercice 1 : Soit E un espace vectoriel de dimension nie et F un espace vectoriel.
a)
Soient f et g deux applications linéaires de E dans F . Montrer les inégalités
rg(f ) − rg(g) ≤ rg(f + g) ≤ rg(f ) + rg(g).
b) Soient deux endomorphismes f, g ∈ L(E) tels que f g = 0 et f + g inversible. Montrer que
rg(f ) + rg(g) = dim E .
Exercice 2 : Calculer
RR
D
xy dxdy , où D = (x, y) ∈ R2 , 0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ 1 .
Colle 2
ECAM 2
Question de cours : Donner la dénition du noyau et de l'image d'une application linéaire.
Exercice 1 : Soit E un espace vectoriel et p, q ∈ L(E) deux projecteurs.
a) Montrer que p + q est un projecteur si et seulement si p ◦ q = q ◦ p = 0.
b) Monter que si p + q est un projecteur, Im(p + q) = Imp ⊕ Imq et Ker(p + q) = Kerp ∩ Kerq .
Exercice 2 : Calculer
RR
D
x2 dxdy , où D = (x, y) ∈ R2 , x2 ≤ y ≤ x .
Colle 3
ECAM 2
Question de cours : Énoncer le Théorème de la base incomplète.
Exercice 1 : Soit E un espace vectoriel de dimension nie, soit f ∈ L(E). Monter l'équivalence
E = Imf ⊕ Kerf ⇐⇒ Imf = Imf 2 .
Cette équivalence reste-t-elle vraie en dimension innie ?
Exercice 2 : Calculer
2
2
2
2
2 xy
(x,
y)
∈
R
,
x
+
y
≤
1,
x
+
y
≥
1,
x
≥
y
(x
−
y
)e
dxdy
,
où
D
=
.
D
RR
Colle 4
ECAM 2
Question de cours : Donner la dénition du rang d'une application linéaire.
Exercice 1 : Soient f et g deux endomorphismes d'un espace vectoriel E de dimension nie, tels
que E = Kerf + Kerg = Imf + Img . Montrer que ces deux sommes sont directes.
Exercice 2 : Calculer
RR
D
p
x cos( x2 + y 2 ) dxdy , où D = (x, y) ∈ R2 , 0 ≤ y ≤ x, x2 + y 2 ≤ π 2 .
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Colles 17 septembre 2012
Algèbre linéaire et Intégrales multiples
ECAM Rennes
Louis de Broglie
Colle 5
ECAM 2
Question de cours : Deux espaces vectoriels de dimension nie E et F sont isomorphes si et
seulement si dimE = dimF , vrai ou faux ?
Exercice 1 : Monter que l'espace vectoriel Sn (R) des matrices carrées symétriques d'ordre n à
coecients réels et l'espace vectoriel An (R) des matrices carrées antisymétriques d'ordre n à
coecients réels sont supplémentaires dans Mn (R).
Donner une base de chacun de ces sous-espaces et rappeler leur dimension.
Exercice 2 : Calculer
1
D x+y+1
RR
dxdy , où D = (x, y) ∈ R2 , 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ x .
Colle 6
ECAM 2
Question de cours : Donner la dénition d'un espace vectoriel de dimension nie.
Exercice 1 : Soit E un espace K vectoriel (K = R ou K = C) ϕ1 , ..., ϕp ∈ E ∗ et ϕ : E −→ Kp
dénie par ϕ = (ϕ1 , ..., ϕp ). Montrer que ϕ est surjective si et seulement si les éléments ϕ1 , ..., ϕp
sont linéairement indépendants.
Exercice 2 : Calculer
(a, b, R) ∈ (R∗+ )3 xé.
x2
D a2
RR
+
y2
b2
dxdy , où D = (x, y) ∈ R2 , x2 + y 2 ≤ R2 , et où
Colle 7
ECAM 2
Question de cours : Donner la dénition d'une base d'un espace vectoriel.
Exercice 1 : Montrer que tout hyperplan de Mn (K) (K = R ou K = C) contient au moins une
matrice inversible.
Exercice 2 : Calculer
RR
D
e−(x
2 +xy+y 2 )
dxdy , où D = (x, y) ∈ R2 , x2 + xy + y 2 ≤ 1 .
Colle 8
ECAM 2
Question de cours : Tout sous espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension nie est de
dimension nie, vrai ou faux ?
Exercice 1 : Soit E un R espace vectoriel de dimension nie n ≥ 2. On considère un entier
1 ≤ p ≤ n et p formes linéaires indépendantes e∗1 , e∗2 , ..., e∗p de noyaux respectifs H1 , H2 , ..., Hp .
Montrer que : ∪pk=1 Hk 6= E .
Exercice 2 : Calculer
1
D 1+x2 +y 2
RR
dxdy , où D = (x, y) ∈ R2 , x2 + y 2 ≤ 1 .
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