APPROXIMATION PAR LA LOI NORMALE - gerard

APPROXIMATION PAR LA LOI NORMALE
1) Théorème de la limite centrale
Soit
X1, X2, ... Xn
n variables aléatoires de même loi (espérance m et écart type
) ,
X=X1X2...Xn
la somme de ces n variables aléatoires, on a :
EX=EX1EX2....EXn=n m
VX=VX1VX2....VXn=n2
 X= n
Soit
T
la variable aléatoire définie à partir de
X
par :
T=X−n m
n
,
Théorème : quelles que soient les lois de probabilités suivies par les variables aléatoires
X1, X2, ... Xn
, la variable aléatoire
T
tend à suivre une loi normale N(0,1) centrée réduite
lorsque
n
devient grand .
Exemple : une urne contient 2 boules rouges et 3 boules noires. On tire de manière successive et
avec remise 1000 boules de l'urne. Soit
X
la loi suivie par le nombre de boules rouges tirées au
cours de ces 1000 tirages .
1° utilisation d'une loi binomiale
Les 1000 tirages sont successifs et indépendants . Ils suivent chacun une loi de Bernoulli de
paramètre
p=2
5
; On en déduit que la loi de
X
est une loi binomiale de paramètres
n=1000 et p=0,4 .
2) Utilisation du théorème de la limite centrale
La loi de Bernoulli a pour espérance
m=p=2
5
et pour écart type
= p1−p= 0,40,6
donc
X
a pour espérance
EX=n m=1000∗0,4=400
et pour écart type
 X= n= 1000∗0,4∗0,6= 240≈15,5
.
D'après le théorème de la limite centrale, la loi
T=X−400
15,5
suit la loi normale centrée réduite
puisque
n=1000
est suffisamment grand.
On peut par exemple calculer la probabilité d'avoir au moins 415 boules rouges .
t=415−400
15,5 ≈0,97
; p(T>=0,97)= 1-0,834=0,166 .
La probabilité d'avoir tiré au moins 415 boules rouges est 16,6% .

3) Approximation d'une loi binomiale par une loi normale
Soit
X
une variable aléatoire binomiale de paramètres
n
et
p
et
T
la variable
aléatoire définie par
T=X−np
np 1−p
, si
n
est grand et
p
n'est voisin ni de 1 ni de 0
alors la variable aléatoire
T
converge en loi vers la loi normale centrée réduite avec
EX=np
et
 X= np1−p
.
X
suit alors la loi normale de moyenne
np
et d'écart type
np 1−p
.
Dans la pratique, cette approximation est valable dès que
n≥30 ou np1−p≥3
.
Exemple : une pièce de monnaie est jetée 100 fois.
X
est le nombre de fois où « pile » est
obtenu.
L'épreuve est répétée de façon indépendante 100 fois avec une probabilité de 0,5 à chaque lancer
.La loi suivie par
X
est une loi binomiale de paramètre
n=100 et p=0,5.
L'espérance de
X
est
np=100∗0,5=50
; l'écart type est
 X= 25=5 .
n30 et np 1−p3
donc on peut approcher la loi binomiale par la loi normale de paramètres
m=50 et  X=5
;
Quelle est la probabilité qu'on obtenu au plus 55 « piles » ?
On pose
T=X−50
5
; On cherche
pX≤55= pT≤1=0,8413
;
La probabilité d'obtenir au plus 55 « piles » est de 84,13% .

EXERCICES : APPROXIMATION DE LA LOI BINOMIALE PAR UNE LOI NORMALE
EXERCICE 1
Dans une urne, il y a 5 boules : 3 boules marquées « 1 » et 2 boules marquées « 2 ».
On tire successivement et avec remise 900 boules de l’urne. X est la variable aléatoire donnant le
nombre de boules marquées « 1 » dans le tirage.
1) Montrer que X suit la loi binomiale dont on précisera les paramètres ;Déterminer son
espérance et son écart type .
2) Justifier que X peut être approchée par la loi normale Y d'espérance µ=540 et d'écart type
σ≈14,7
.
3) a) Quelle est la probabilité d’obtenir moins de 550 boules « 1 » c'est à dire
P(Y⩽549,5)
.
b) Quelle est probabilité d'obtenir au moins 520 boules « 1 » c'est à dire
P(Y⩾519,5)
EXERCICE 2
Un dé non truqué à 4 faces comprend 3 faces rouges et 1 face bleue. On lance le dé 400 fois de suite
et on note à chaque lancer la couleur obtenue. Soit X le nombre de faces rouges .
1) Montrer que X suit la loi binomiale dont on précisera les paramètres ; Déterminer son
espérance et son écart type .
2) Justifier que X peut être approchée par la loi normale Y d'espérance µ=300 et d'écart
type
σ≈8,66
.
3) a) Quelle est la probabilité d’obtenir au plus 310 faces rouges dans le tirage c'est à dire
P(Y⩽310,5)
?
b) Quelle est probabilité d'obtenir au moins 295 faces rouges c'est à dire
P(Y⩾294,5)
?
EXERCICE 3
Dans une usine , pour fabriquer un objet on a besoin d'une pièce . La probabilité qu'une pièce soit
défaillante est de
1
1000
.On vérifie un lot de 16000 pièces . Soit X la loi correspondant au
nombre de pièces défaillantes .
1) Montrer que X suit la loi binomiale dont on précisera les paramètres ; Déterminer son
espérance et son écart type .
2) Justifier que X peut être approchée par la loi normale Y d'espérance µ=16 et d'écart type
σ≈4
.
3) a) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 12 pièces défaillantes dans ce lot c'est à dire
P(Y⩾11,5)
?
b) Quelle est probabilité d'obtenir moins de 10 pièces défaillantes dans ce lot c'est à dire
P(Y⩽9,5)
4) Déterminer le nombre maximum
x
de pièces défaillantes tel que
p(Y<x)≤0,1
.

EXERCICE 4
Une collaboratrice d'une équipe de télémarketing compose 900 numéros de téléphone par semaine.
Chaque appel a une probabilité de 0,2 d'obtenir une réponse . Soit X la variable aléatoire
correspondant au nombre d'appels ayant obtenu une réponse .
1) Montrer que X suit la loi binomiale dont on précisera les paramètres ; Déterminer son
espérance et son écart type .
2) Justifier que X peut être approchée par la loi normale Y d'espérance µ=180 et d'écart
type
σ≈12
.
3) a) Quelle est la probabilité d’obtenir plus de 200 appels ayant une réponse c'est à dire
P(Y⩾200,5)
?
b) Quelle est probabilité que le nombre d'appels ayant une réponse soit compris entre 160 et 200
c'est à dire
P(159,5⩽Y⩽200,5)
?
4) Déterminer le nombre minimum
x
d'appels ayant obtenu une réponse tel que
p(Y>x)≤0,05
.
EXERCICE 5
A une caisse de supermarché , un client sur 5 dépense au moins 120 euros . Il est passé 100
clients .Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de clients ayant dépensé au moins 120
euros .
1) Montrer que X suit la loi binomiale dont on précisera les paramètres ; Déterminer son
espérance et son écart type .
2) Justifier que X peut être approchée par la loi normale Y d'espérance µ=20 et d'écart type
σ≈4
.
3) Quelle est la probabilité qu' au moins 16 clients aient dépensé au moins 120 euros chacun c'est à
dire
P(Y⩾15,5)
?
4) Déterminer le nombre minimum
x
de clients ayant dépensé au moins 120 euros tels que
p(Y≥x)≤0,1
.