TS 2016 Cours Ch14. Fonctions Sinus et Cosinus 1. Sinus et

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Ch14. Fonctions Sinus et Cosinus
1. Sinus et Cosinus dans un triangle rectangle : Vu au Collège
E
Pythagore : environ 500 avant JC
Thalès de Milet : environ 620 avant JC
AB
AC
AB
AD
Le Théorème de Thalès assure que
=
Soit
=
,
AD
AE
AC
AE
Ce quotient ne dépend pas de la "taille" du triangle mais seulement de l’angle α.
On note cos α la valeur de ce quotient.
b
C
b
α
b
b
A
b
B
D
On peut définir de même sin α et tan α. Vous avez donc retenu, pour un triangle rectangle
cos α =
côté Adjacent à α
côté Opposé à α
côté Opposé à α
sin α
, sin α =
, tan α =
=
Hypoténuse
Hypoténuse
côté Adjacent à α
cos α

2
2

sin α + cos α = 1
Avec 0 ≤ sin α ≤ 1


0 ≤ cos α ≤ 1
2. Sinus et Cosinus dans un cercle trigonométrique : Vu en Seconde et Première
• Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique, définition de la mesure d’un angle en radian.
Mesure principale d’un angle. Définition de cosinus et sinus d’un nombre réel. Valeurs Célèbres.
×
3
π
2
C
×
C 1
−2
−1
1
π
2
J
1
sin(x)
J
×
M
×
π
2
√
3
2
√
2
2
x
π
3
π
4
1
2
O
O
−1
1I
−1
cos(x) 1I
0
−1
π
× −
2
π
6
1
2
−2
√
2
2
√
3
2
1


sin2 x + cos2 x = 1





−1 ≤ sin x ≤ 1
−1 ≤ cos x ≤ 1



sin(−x) = − sin(x)



cos(−x) = cos(x)
• Équations trigonométriques.
cos α = cos β
si et seulement si
α ≡ β (2π)
ou bien
α ≡ −β (2π)
sin α = sin β
si et seulement si
α ≡ β (2π)
ou bien
α ≡ π − β (2π)
• Formule d’addition et de duplication.
Addition :
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
sin(a + b) = cos(a) sin(b) + sin(a) cos(b)
Duplication :
2
cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
sin(a − b) = cos(a) sin(b) − sin(a) cos(b)
2
2
cos(2α) = (cos α) − (sin α) = 2 (cos α) − 1
sin(2α) = 2 sin(α) cos(α)
Angles Associés :
cos(−α) = cos(α)
cos(α + π) = − cos(α)
cos(π − α) = − cos(α)
sin(−α) = − sin(α)
sin(α + π) = − sin(α)
sin(π − α) = sin(α)
• Application : Fiche Exercices Première Partie.
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π
) = − sin(α)
2
π
sin(α + ) = cos(α)
2
cos(α +
π
) = sin(α)
2
π
sin(α − ) = − cos(α)
2
cos(α −
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3. Fonctions Sinus et Cosinus définies sur R : En classe de Terminale
(a) Définitions, Dérivabilité :
• Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont définies sur R, respectivement par x 7→ sin(x) et x 7→ cos(x).
Sinus est Impaire : Pour tout x ∈ R, sin(−x) = − sin(x), (⇒ courbe symétrique par rapport à l’origine).
Cosinus est Paire : Pour tout x ∈ R, cos(−x) = cos(x), (⇒ courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées).
• Dérivabilité, Continuité de la fonction sinus :
. Sinus est dérivable en 0
Preuve : C est le cercle trigonométrique, M (cos h; sin h) est le point de C image du réel h.
π
. 1er cas, 0 < h < .
2
On note A1 l’aire du triangle OAM , A2 l’aire du secteur angulaire OAM et A3 l’aire du triangle OAT .
1
1
mT = sin h donc A1 = sin h, d’autre part A2 = h
2
2
AT
OA
sin h
1 sin h
Le théorème de Thalès donne :
=
, où Om = cos h, donc AT =
et A3 = .
.
mM
Om
cos h
2 cos h
sin h
sin h
on en déduit cos h ≤
≤ 1 (1).
On a A1 ≤ A2 ≤ A3 , donc sin h ≤ h ≤
cos h
h
π
. 2eme cas, − < h < 0.
2
T
b
On applique (1) à −h, alors cos(−h) ≤
sin(−h)
≤ 1.
−h
sin h
Or cos(−h) = cos h et sin(−h) = − sin h, Alors cos h ≤
≤ 1.
h
sin h
=1
lim cos h = 1 le théorème des gendarmes donne lim
h→0
h→0 h
sin h − sin 0
=1
Ainsi lim
h→0
h
Alors la fonction
b
M
h
O
b
m
b
A
Sinus est dérivable en 0 et sin′ (0) = 1
. Sinus est dérivable sur R, pour tout x ∈ R,
(sin x) = cos x
′
. Sinus est dérivable sur R Alors Sinus est continue sur R
• Dérivabilité, Continuité de la fonction cosinus :
. Cosinus est dérivable sur R, pour tout x ∈ R, (cos x) = − sin x
π
π
π
′
, Alors (cos x) = 1 × sin′ x −
= cos x −
= − sin(x)
Preuve : Pour tout x ∈ R, cos(x) = sin x −
2
2
2
′
. Cosinus est dérivable sur R Alors Cosinus est continue sur R
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(b) Étude des Fonctions et Représentations Graphiques :
• Étude de la fonction Sinus, Courbe représentative :
. Sur [0; π]. Pour tout x ∈ [0; π], sin′ (x) = cos(x).
On obtient alors le tableau de variations et la représentation graphique :
x
0
′
sin (x)
π
2
+
0
1
✒ ❅
sin
0
π
1
−
❅
❘
❅
y=x
0
π
2
π
. Sur [−π; π]. Sinus est Impaire, on obtient par symétrie par rapport à l’origine la représentation graphique :
1
−π
y=x
π
2
−π
2
π
−1
. Sur R. Sinus est périodique, de période 2π. En effet pour tout x ∈ R, sin(x + 2π) = sin(x).
Par translation de vecteur (±2π; 0), on obtient la représentation graphique :
1
−2π
−3π
2
−π
y=x
π
2
−π
2
3π
2
π
−1
• Étude de la fonction Cosinus, Courbe représentative :
. Sur [0; π]. Pour tout x ∈ [0; π], cos′ (x) = − sin(x).
On obtient alors le tableau de variations et la représentation graphique :
1
π
x
0
π
2
′
cos (x)
−
−
1❍
❍❥
❍
cos
0❍
❍❥
❍
−1
π
2
−1
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π
2π
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. Sur [−π; π].
Cosinus est Paire, on obtient par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées la représentation graphique :
1
−π
π
2
−π
2
π
−1
. Sur R. Cosinus est périodique, de période 2π. En effet pour tout x ∈ R, cos(x + 2π) = cos(x).
Par translation de vecteur (±2π; 0), on obtient la représentation graphique :
1
−2π
−3π
2
−π
π
2
−π
2
π
3π
2
2π
−1
Soit sur un même graphique :
1
y=x
cos
−2π
−3π
2
−π
π
2
−π
2
π
−1
3π
2
2π
sin
(c) Dérivées et Primitives : a 6= 0,b et k constantes réelles, x variable réelle
•
(sin(ax + b)) = a cos(ax + b)
•
1
sin(ax + b) a pour primitive − cos(ax + b) + k
a
′
(cos(ax + b)) = −a sin(ax + b)
′
(d) Applications : Fiche Exercices Deuxième Partie.
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cos(ax + b) a pour primitive
1
sin(ax + b) + k
a