TS 2016 Cours Ch14. Fonctions Sinus et Cosinus 1. Sinus et

TS 2016 Cours Ch14. Fonctions Sinus et Cosinus
1. Sinus et Cosinus dans un triangle rectangle : Vu au Collège
AB
C
D
E
α
Pythagore : environ 500 avant JC
Thalès de Milet : environ 620 avant JC
Le Théorème de Thalès assure que AB
AD =AC AE Soit AB AC =AD AE ,
Ce quotient ne dépend pas de la "taille" du triangle mais seulement de l’angle α.
On note cos αla valeur de ce quotient.
On peut définir de même sin αet tan α. Vous avez donc retenu, pour un triangle rectangle
cos α=côté Adjacent à α
Hypoténuse , sin α=côté Opposé à α Hypoténuse , tan α=côté Opposé à α côté Adjacent à α=sin α cos αAvec 
sin2α+ cos2α= 1
0≤sin α≤1
0≤cos α≤1
2. Sinus et Cosinus dans un cercle trigonométrique : Vu en Seconde et Première
•Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique, définition de la mesure d’un angle en radian.
Mesure principale d’un angle. Définition de cosinus et sinus d’un nombre réel. Valeurs Célèbres.
1
2
3
−1
−2
1−1−2
C
OI
J
×π
2
×π
×−π
2
1
−1
1−1
C
OI
J×x
×M
cos(x)
sin(x)
sin2x+ cos2x= 1
−1≤sin x≤1
−1≤cos x≤1
sin(−x) = −sin(x)
cos(−x) = cos(x)
1
1
1
2√2
2
√3
2
1
2
√2
2
√3
2
π
3π
4π
6
0
π
2
•Équations trigonométriques.
cos α= cos βsi et seulement si α≡β(2π)sin α= sin βsi et seulement si α≡β(2π)
ou bien ou bien
α≡ −β(2π)α≡π−β(2π)
•Formule d’addition et de duplication.
Addition : cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b) cos(a−b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
sin(a+b) = cos(a) sin(b) + sin(a) cos(b) sin(a−b) = cos(a) sin(b)−sin(a) cos(b)
Duplication : cos(2α) = (cos α)2−(sin α)2= 2 (cos α)2−1
sin(2α) = 2 sin(α) cos(α)
Angles Associés :
cos(−α) = cos(α) cos(α+π) = −cos(α) cos(π−α) = −cos(α) cos(α+π
2) = −sin(α) cos(α−π 2) = sin(α)
sin(−α) = −sin(α) sin(α+π) = −sin(α) sin(π−α) = sin(α) sin(α+π
2) = cos(α) sin(α−π 2) = −cos(α)
•Application : Fiche Exercices Première Partie.
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3. Fonctions Sinus et Cosinus définies sur R: En classe de Terminale
(a) Définitions, Dérivabilité :
•Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont définies sur R, respectivement par x7→ sin(x) et x7→ cos(x).
Sinus est Impaire : Pour tout x∈R, sin(−x) = −sin(x), (⇒courbe symétrique par rapport à l’origine).
Cosinus est Paire : Pour tout x∈R, cos(−x) = cos(x), (⇒courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées).
•Dérivabilité, Continuité de la fonction sinus :
. Sinus est dérivable en 0
Preuve : Cest le cercle trigonométrique, M(cos h; sin h) est le point de Cimage du réel h.
.1er cas, 0 < h < π
2.
On note A1l’aire du triangle OAM ,A2l’aire du secteur angulaire OAM et A3l’aire du triangle OAT .
mT = sin hdonc A1=1
2sin h, d’autre part A2=1 2h
Le théorème de Thalès donne : AT
mM =OA Om , où Om = cos h, donc AT =sin h cos het A3=1 2.sin h cos h.
On a A1≤A2≤A3, donc sin h≤h≤sin h
cos hon en déduit cos h≤sin h h≤1 (1).
.2eme cas, −π
2< h < 0.
On applique (1) à −h, alors cos(−h)≤sin(−h)
−h≤1.
Or cos(−h) = cos het sin(−h) = −sin h, Alors cos h≤sin h
h≤1.
lim
h→0cos h= 1 le théorème des gendarmes donne lim h→0
sin h
h= 1
Ainsi lim
h→0
sin h−sin 0
h= 1
M
mA
T
h
O
Alors la fonction Sinus est dérivable en 0 et sin′(0) = 1
. Sinus est dérivable sur R, pour tout x∈R, (sin x)′= cos x
. Sinus est dérivable sur RAlors Sinus est continue sur R
•Dérivabilité, Continuité de la fonction cosinus :
. Cosinus est dérivable sur R, pour tout x∈R, (cos x)′=−sin x
Preuve : Pour tout x∈R, cos(x) = sin x−π
2, Alors (cos x)′= 1 ×sin′x−π 2= cos x−π 2=−sin(x)
. Cosinus est dérivable sur RAlors Cosinus est continue sur R
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(b) Étude des Fonctions et Représentations Graphiques :
•Étude de la fonction Sinus, Courbe représentative :
. Sur [0; π]. Pour tout x∈[0; π], sin′(x) = cos(x).
On obtient alors le tableau de variations et la représentation graphique :
x0π
2π
sin′(x) + 0 −
sin
0
✒
1❅❅❅❘0
1
π
2π
y=x
. Sur [−π;π]. Sinus est Impaire, on obtient par symétrie par rapport à l’origine la représentation graphique :
1
−1
π
2π
−π
2
−π
y=x
. Sur R. Sinus est périodique, de période 2π. En effet pour tout x∈R, sin(x+ 2π) = sin(x).
Par translation de vecteur (±2π; 0), on obtient la représentation graphique :
1
−1
π
2π3π 22π
−π
2
−π
−3π
2
−2π
y=x
•Étude de la fonction Cosinus, Courbe représentative :
. Sur [0; π]. Pour tout x∈[0; π], cos′(x) = −sin(x).
On obtient alors le tableau de variations et la représentation graphique :
x0π
2π
cos′(x)− −
cos
1❍❍❍❥0❍❍❍❥−1
1
−1
π
2π
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. Sur [−π;π].
Cosinus est Paire, on obtient par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées la représentation graphique :
1
−1
π
2π
−π
2
−π
. Sur R. Cosinus est périodique, de période 2π. En effet pour tout x∈R, cos(x+ 2π) = cos(x).
Par translation de vecteur (±2π; 0), on obtient la représentation graphique :
1
−1
π
2π3π 22π
−π
2
−π
−3π
2
−2π
Soit sur un même graphique :
1
−1
π
2π3π 22π
−π
2
−π
−3π
2
−2π
sin
cos
y=x
(c) Dérivées et Primitives :a6= 0,bet kconstantes réelles, xvariable réelle
•(sin(ax +b))′=acos(ax +b) (cos(ax +b))′=−asin(ax +b)
•sin(ax +b) a pour primitive −1
acos(ax +b) + kcos(ax +b) a pour primitive 1 asin(ax +b) + k
(d) Applications : Fiche Exercices Deuxième Partie.
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