Deuxièmepartie
Danscettepartie,on désigneparFl’espace vectorieldesfonctionsfréelles,d’unevariable
réelle,continueset tellesque,pour toutentierk>0, lafonctionx7→ xkf(x)soitbornée.
8.Soitfunefonction deF.Montrerque,pour toutentierk>0, lafonctionx7→ xkf(x)
estintégrablesurR.
On poseramk(f)=ZR
xkf(x)dx.
9.SoientfetgdeuxfonctionsdeF.
9.a)Montrerque,pour tout réelx, lafonctiony7→ f(x−y)g(y)estintégrablesurR.
On noteraf∗glafonctionx7→ ZR
f(x−y)g(y)dy.
9.b)Montrerquef∗gappartientàFetécrireuneformuledelaforme
mk(f∗g)=
k
X
p=0
γk,pmp(f)mk−p(g),
oùlesγk,psontdescoefficientsàdéterminer.
Onadmettralacommutativité etl’associativitédel’opération(f,g)7→ f∗g.
Danslasuitedu problème,on désigneparF0l’ensembledesfonctionsfdeFquisont
positiveset tellesquem0(f)=1etm1(f)=0.
10.Étantdonnédesfonctionsf1,... ,fndeF0,calculerm0(f1∗...∗fn)etm1(f1∗...∗fn)
puisexprimerm2(f1∗...∗fn)enfonction desm2(fi),i=1,... ,n.
Pour tout réela>0,on désigneparTal’endomorphismedeFdéfinipar(Taf)(x)=af(ax).
11.Calculermk(Taf).
Danslasuitedu problèmeon désigneparfi,i=1,2,...,desfonctionsdeF0,et,pour tout
n,on poseFn=f1∗... ∗fn.Onsupposequetouslesm2(fi)sontmajorésparunemême
constanteC.
12.a)Montrerque,pour tout réelα>0, lesdeuxintégralesZ+∞
α
(TnFn)(x)dxet
Z−α
−∞
(TnFn)(x)dxtendentvers0lorsquen→+∞.