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X Maths 1 MP 2009 — Énoncé 1/4
ÉCOLEPOLYTECHNIQUEFILIÈREMP
CONCOURSD’ADMISSION2009
PREMIÈRECOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
⋆ ⋆ ⋆
Exponentiellesd’endomorphisme, intégralesetséries
Premièrepartie
On désigneparC∞(R)l’espace vectorieldesfonctionsréelles,de classeC∞,d’unevariable
réelle.On définitcommesuitdesendomorphismesde cetespace :
•pour toutef∈C∞(R),(Xf)(x)=xf(x),(Df)(x)=f′(x),(Af)(x)=xf′(x),
•pour toutnombreréeltetpour toutef∈C∞(R),(Φtf)(x)=f(etx).
1.Vérifierquelavaleurent=0deladérivée delafonctiont7→ (Φtf)(x)estégaleà(Af)(x).
OnvamaintenantétudierlespuissancesdeAetchercherlesensàdonneràlaformule
exp(tA)=Φt.
2.Vérifierque,sifestun polynôme, lasérieX
n>0
tn
n!(Anf)(x)estconvergente etdesomme
(Φtf)(x).
3.Montrerque,pour toutentiern>0,onaDnX=XDn+nDn−1.
4.Montrerque,pour toutentiern>0, il existedesnombresréelspositifsµn,k,k=1,... ,n,
telsqueAn=
n
X
k=1
µn,kXkDk,etexprimerµn,kenfonction desµn−1,p,p=1,... ,n−1.
Préciserlesvaleursdeµn,1etµn,n.
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X Maths 1 MP 2009 — Énoncé 2/4
5.On désigneparfun polynômed’unevariableréelle.Démontrerlarelation
∀t,x∈Rf(etx)=f(x)+X
k>1ÑX n>k
tn
n!µn,kéxkf(k)(x).
6.Étantdonnéunesuitedenombresréelsak,k∈N,comparerlesrayonsde convergence
des sériesentièresX
k>0
akxketX
k>0
kakxk.
7.Onsedonnemaintenantunefonction développable ensérie entièref(x)=X
k>0
akxkde
rayon de convergence R>0.Onadmettralapropriétésuivante:
(P)si|x|<R, lasérie entière enh:X
k>0
hk
k!f(k)(x)aun rayon de convergence aumoinségalà
R−|x|,et,si|h|<R−|x|,onaX
k>0
hk
k!f(k)(x)=f(x+h).
7.a)Vérifierque,si|x|<R, il existeun réelγx>0telque
|t|<γx⇒|(et−1)x|<R−|x|.
7.b)Démontrerl’existence denombresréelsλn,k,n,k∈N∗, indépendantsdefet telsque
l’onait
∀x∈]−R,R[,∀t∈]−γx,γx[,f(etx)=f(x)+X
k>1ÑX
n>1
tn
n!λn,kéxkf(k)(x).
7.c)Vérifierque
λn,k=(µn,ksik6n
0sik>n.
[On pourrautiliserlerésultatdelaquestion5.]
7.d)Montrerque,pour16k6n,onaλn,k62nn!
(k−1)!.
7.e)On poseZn,k=tn
n!λn,kxkf(k)(x).Indiquerdeuxréelsα>0etη>0telsque
|x|<α,|t|<η⇒X
k>1ÑX
n>1
|Zn,k|é<+∞.
7.f)Montrerque,si|x|<αet|t|<η, lasérieX
n>0
tn
n!(Anf)(x)estconvergente etdesomme
(Φtf)(x).
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X Maths 1 MP 2009 — Énoncé 3/4
Deuxièmepartie
Danscettepartie,on désigneparFl’espace vectorieldesfonctionsfréelles,d’unevariable
réelle,continueset tellesque,pour toutentierk>0, lafonctionx7→ xkf(x)soitbornée.
8.Soitfunefonction deF.Montrerque,pour toutentierk>0, lafonctionx7→ xkf(x)
estintégrablesurR.
On poseramk(f)=ZR
xkf(x)dx.
9.SoientfetgdeuxfonctionsdeF.
9.a)Montrerque,pour tout réelx, lafonctiony7→ f(x−y)g(y)estintégrablesurR.
On noteraf∗glafonctionx7→ ZR
f(x−y)g(y)dy.
9.b)Montrerquef∗gappartientàFetécrireuneformuledelaforme
mk(f∗g)=
k
X
p=0
γk,pmp(f)mk−p(g),
oùlesγk,psontdescoefficientsàdéterminer.
Onadmettralacommutativité etl’associativitédel’opération(f,g)7→ f∗g.
Danslasuitedu problème,on désigneparF0l’ensembledesfonctionsfdeFquisont
positiveset tellesquem0(f)=1etm1(f)=0.
10.Étantdonnédesfonctionsf1,... ,fndeF0,calculerm0(f1∗...∗fn)etm1(f1∗...∗fn)
puisexprimerm2(f1∗...∗fn)enfonction desm2(fi),i=1,... ,n.
Pour tout réela>0,on désigneparTal’endomorphismedeFdéfinipar(Taf)(x)=af(ax).
11.Calculermk(Taf).
Danslasuitedu problèmeon désigneparfi,i=1,2,...,desfonctionsdeF0,et,pour tout
n,on poseFn=f1∗... ∗fn.Onsupposequetouslesm2(fi)sontmajorésparunemême
constanteC.
12.a)Montrerque,pour tout réelα>0, lesdeuxintégralesZ+∞
α
(TnFn)(x)dxet
Z−α
−∞
(TnFn)(x)dxtendentvers0lorsquen→+∞.
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X Maths 1 MP 2009 — Énoncé 4/4
12.b)Étantdonnéunefonctionhcontinuebornée surR,étudierle comportementde
ZR
h(x)(TnFn)(x)dxlorsquen→+∞.
[On pourraconsidérerd’abordle casoùh(0)=0.]
13.a)Établiruneinégalité entrem4(f)etm2(f)2lorsquef∈F0.
13.b)Démontrerlaformule,pourn>2,
m4(Fn)=X
16i6n
m4(fi)+6X
16i<j6n
m2(fi)m2(fj).
13.c)Trouverune condition portantsurlesm4(fi)souslaquelleonait,pour toutα>0,
X
n>1Z+∞
α
(TnFn)(x)dx<+∞.
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