Master de Mathématiques Module H11 Feuille de TD numéro 1 Exercice 1 Trouver un exemple de suite (Xn , Yn ) telle que les suites Xn et Yn convergent en loi vers une même limite X et Xn − Yn ne converge pas en loi vers 0 ? Trouver un exemple de suite (Xn , Yn ) telle que les suites Xn et Yn convergent en loi mais pas la suite de couples (Xn , Yn ). Exercice 2 Trouver un exemple d'une suite de variables aléatoires Xn ≥ 0 convergeant en loi vers 0 mais telle que E(Xn ) tende vers l'inni. Indication : chercher un exemple où chaque Xn ne peut prendre que deux valeurs dont une est nulle. Exercice 3 Montrer que Xn converge en loi vers X si et seulement si pour tout t ∈ R, eitXn converge en loi vers eitX (au sens où (cos(Xn ), sin(Xn )) converge en loi vers (cos(X), sin(X))). Exercice 4 1. Montrer que (Xn ) converge en probabilité vers 0 si et seulement si E[min(|Xn |, 1)] → 0. 2. En déduire que si Xn converge en loi vers x, alors Xn converge en probabilité vers x. √ 3. Soit Sn une suite de variables aléatoires positives. Montrer que si nSn converge en loi alors Sn converge en probabilité vers 0 (utiliser le point 1.). √ 4. Soit Tn une suite de variables aléatoires à valeurs dans Rd . Montrer que si n(Tn −θ) converge en loi alors Tn converge en probabilité vers θ (utiliser la question précedente). Exercice 5 Lemme de Slutsky 1. Soient (Xn ) et (Yn ) deux suites de variables aléatoires réelles. (a) Montrer que si Xn converge en loi vers X , et Yn converge en loi vers une constante c alors (Xn , Yn ) converge en loi vers (Xn , c) Indication : Utiliser la fonction caractéristique. (b) Montrer qu'alors Xn Yn converge en loi vers cX . 2. Une application. Soit (X1 , . . . , Xn ) un échantillon d'une loi possédant un moment d'ordre deux. On note m la moyenne, et σ 2 > 0 la variance de cette loi. La moyenne empirique et la variance empirique de l'échantillon sont notées X n et Sn2 . Montrer que la statistique de Student √ Tn = n(X n − m) Sn converge en loi vers la loi gaussienne standard. Exercice 6 En utilisant la fonction caractéristique montrer qu'une suite de variables Xn de lois binomiales de paramètres (n, λ/n) converge en loi vers une loi de Poisson de paramètre λ. Exercice 7 Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires à valeurs dans Rd telle que (Xn ) converge en loi vers une loi gaussienne N(0, Γ) et A une matrice réelle d × d. Montrer que la suite (AXn ) converge en loi vers la loi gaussienne N(0, AΓAT ). 1 Exercice 8 P P 1. Montrer que si E[|Yn |] < ∞ alors ni=1 Yi converge presque sûrement vers une certaine limite. 2. En déduire que si (Xn ) converge en probabilité vers 0 on peut en extraire une sous suite qui P converge presque sûrement vers 0 (Rappel : (Xn −→ 0) ⇐⇒ (E[min(|Xn |, 1)] → 0)). Exercice 9 Montrer qu'une variable aléatoire X à valeurs dans Rd suit la loi N(m, R) si et seulement si pour tout vecteur u ∈ Rd la variable aléatoire réelle uT X suit la loi gaussienne N(uT m, uT Ru). Exercice 10 Soit (X1 , . . . , Xn ) un échantillon i.i.d. de la loi uniforme sur [−θ, θ] où θ est un paramètre strictement positif. 1. Calculer E[X 2 ] et proposer un estimateur de moment de θ basé sur X 2 := 1 X12 + · · · + Xn2 . n Cet estimateur est-il asymptotiquement normal ? 2. Soit Tn = max1≤i≤n |Xi | (a) Quelle est la loi de (|X1 |/θ, . . . , |Xn |/θ) ? (b) Déterminer la loi de Tn /θ (Indication : calculer la fonction de répartition). (c) En déduire que pour tout α > 0 pour tout ε > 0, √ nα P(|Tn − θ| ≥ ε/ n) → 0, n → ∞. (d) Comparer à 1). Exercice 11 Soit (X(1) , . . . , X(n) ) la statistique d'ordre issue d'un échantillon i.i.d. U([0, 1]). On dénit les écarts : δi = X(i) − X(i−1) , 1 ≤ i ≤ n, avec la convention X(0) = 0. 1. Déterminer la loi du vecteur (X(1) , . . . , X(n) ). On utilisera que pour toute fonction mesurable f , on a avec probabilité 1 f (X(1) , . . . , X(n) ) = X f (Xσ(1) , . . . , Xσ(n) ) σ où la somme est étendue à toutes les permutations. 2. Déterminer la loi du vecteur (δ1 , . . . , δn ). 3. En déduire que la loi de δi a pour densité n(1 − u)n−1 1[0,1] (u), indépendamment de i. 4. Généraliser le résultat précédent au cas des couples (δi , δj ), i 6= j , et montrer que leur loi commune a pour densité n(n − 1)(1 − u − v)n−2 1∆2 (u, v) où l'on a noté ∆k le simplexe de Rk n ∆k = x = (xi ) ∈ Rk : xi ≥ 0, x1 + · · · + xk ≤ 1 o . Exercice 12 Soient (Y1 , . . . , Yn+1 ) un échantillon de la loi exponentielle de paramètre 1. On dénit les sommes partielles Si = Y1 + · · · + Yi et le vecteur ξ = (ξi ) par ξi = Si /Sn+1 , 1 ≤ i ≤ n. 1. Montrer que la loi de ξ coïncide avec celle des statistiques d'ordre de la loi uniforme. 2. Que serait le résultat si la loi exponentielle est de paramètre λ > 0 ? 2