Semaine du 08 /02 au 13 /02. 1 Matrices 2 Les polynômes et les

Programme no 16
MPSI2
Semaine du 20/02 au 25/02.
1
Dérivation
1.1
Théorème de Rolle et accroissements finis
ü Théorème de Rolle.
ü Égalité des accroissements finis.
ü Inégalité des accroissements finis.
ü Soit f : I → R dérivable. La fonction f est lipschitzienne ssi f ′ est bornée sur I.
ü Variations des fonctions. CNS de monotonie. CNS de stricte monotonie.
ü CS de dérivabilité en un point si la fonction dérivée admet une limite finie en ce point. Idem avec une limite
infinie.
1.2
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ü
Fonctions n fois dérivables. Linéarité de la dérivation. Formule de Leibniz.
Dn (I, R) est une R-algèbre.
Fonctions de classe C n , de classe C ∞ .
Dérivées n-ième de certaines fonctions usuelles.
Les ensembles C n (I) et C ∞ (I) sont des R−algèbres.
Opérations sur les fonctions C n et C ∞ : composition, inverse, bijection réciproque.
Théorème de « prolongement » C 1 .
Théorème de prolongement C n .
2
Les polynômes et les fractions rationnelles
2.1
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ü
ü
Dérivées successives
Algèbre K[X]
Définition de K[X]. Produit de convolution.
Un polynôme est nul ssi tous ses coefficients sont nuls.
Définitions de 1 et X.
Commutativité du produit, bilinéarité et associativité.
(K[X], +, ×, . ) est une K-algèbre commutative.
Expression de X k pour tout k ∈ N.
Notation sous forme d’une combinaison linéaire des X k .
Base canonique de K[X].
Définition d’un monôme et d’un polynôme constant.
λ 7→ λ.1 de K dans K[X] est un morphisme d’algèbres injectif.
2.2
Propriétés des polynômes
ü Degré d’un polynôme. Définitions du coefficient dominant et d’un polynôme unitaire.
ü Degré d’une somme, d’un produit.
ü Définition de Kn [X] pour n ∈ N. C’est un sev de K[X]. Base canonique de Kn [X].
ü (K[X], +, ×) est un anneau intègre.
ü Les éléments inversibles de cet anneau sont les polynômes de degré 0 c’est à dire les polynômes constants et
non nuls.
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TSVP
Programme no 16
MPSI2
ü Application : toute famille de polynômes tous non nuls de degrés deux à deux distincts est libre. Famille échelonnée en degré.
2.3
ü
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ü
ü
ü
Substitution
Substitution par un élément de K. Fonction polynomiale P̃ associée.
L’application δa : P 7→ P (a) de K[X] dans K est un morphisme d’algèbres.
L’application P 7→ P̃ de K[X] dans F(K, K) est un morphisme d’algèbres.
Généralisation au cas d’une K-algèbre.
Exemples de L (E) et de Mn (K).
Algorithme de Horner.
Composition des polynômes. Relation avec le degré. Parité d’un polynôme. Caractérisation.
2.4
Divisibilité
ü Définition. Propriétés élémentaires. Polynômes associés.
ü Division euclidienne. Algorithme.
2.5
Racines d’un polynôme
ü Définition. α est une racine de P ssi (X − α) | P .
n
∏
ü Si α1 ,...,αn sont des racines distinctes alors
(X − αi ) | P .
i=1
ü Un polynôme de degré n possède au maximum n racines distinctes. Un polynôme de degré inférieur à n qui
possède (n + 1) racines est nul. Un polynôme qui possède une infinité de racines est nul.
ü Application : si K est infini alors l’application P 7→ P̃ de K[X] dans F(K, K) est un morphisme d’algèbres
injectif.
ü Intégrité de l’anneau des fonctions polynomiales sur un tel corps.
ü Généralisation au cas où deux fonctions polynomiales coïncident en un nombre infini de valeurs.
3
Prévisions
• Fin du chapitre.
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