Semaine du 08 /02 au 13 /02. 1 Matrices 2 Les polynômes et les

MPSI2 Programme no16
Semaine du 20/02 au 25/02.
1 Dérivation
1.1 Théorème de Rolle et accroissements finis
üThéorème de Rolle.
üÉgalité des accroissements finis.
üInégalité des accroissements finis.
üSoit f:I→Rdérivable. La fonction fest lipschitzienne ssi f′est bornée sur I.
üVariations des fonctions. CNS de monotonie. CNS de stricte monotonie.
üCS de dérivabilité en un point si la fonction dérivée admet une limite finie en ce point. Idem avec une limite
infinie.
1.2 Dérivées successives
üFonctions nfois dérivables. Linéarité de la dérivation. Formule de Leibniz.
üDn(I, R)est une R-algèbre.
üFonctions de classe Cn, de classe C∞.
üDérivées n-ième de certaines fonctions usuelles.
üLes ensembles Cn(I)et C∞(I)sont des R−algèbres.
üOpérations sur les fonctions Cnet C∞: composition, inverse, bijection réciproque.
üThéorème de « prolongement » C1.
üThéorème de prolongement Cn.
2 Les polynômes et les fractions rationnelles
2.1 Algèbre K[X]
üDéfinition de K[X]. Produit de convolution.
üUn polynôme est nul ssi tous ses coefficients sont nuls.
üDéfinitions de 1et X.
üCommutativité du produit, bilinéarité et associativité.
ü(K[X],+,×, . )est une K-algèbre commutative.
üExpression de Xkpour tout k∈N.
üNotation sous forme d’une combinaison linéaire des Xk.
üBase canonique de K[X].
üDéfinition d’un monôme et d’un polynôme constant.
üλ7→ λ.1de Kdans K[X]est un morphisme d’algèbres injectif.
2.2 Propriétés des polynômes
üDegré d’un polynôme. Définitions du coefficient dominant et d’un polynôme unitaire.
üDegré d’une somme, d’un produit.
üDéfinition de Kn[X]pour n∈N. C’est un sev de K[X]. Base canonique de Kn[X].
ü(K[X],+,×)est un anneau intègre.
üLes éléments inversibles de cet anneau sont les polynômes de degré 0c’est à dire les polynômes constants et
non nuls.
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MPSI2 Programme no16
üApplication : toute famille de polynômes tous non nuls de degrés deux à deux distincts est libre. Famille éche-
lonnée en degré.
2.3 Substitution
üSubstitution par un élément de K. Fonction polynomiale ˜ Passociée.
üL’application δa:P7→ P(a)de K[X]dans Kest un morphisme d’algèbres.
üL’application P7→ ˜ Pde K[X]dans F(K,K)est un morphisme d’algèbres.
üGénéralisation au cas d’une K-algèbre.
üExemples de L(E)et de Mn(K).
üAlgorithme de Horner.
üComposition des polynômes. Relation avec le degré. Parité d’un polynôme. Caractérisation.
2.4 Divisibilité
üDéfinition. Propriétés élémentaires. Polynômes associés.
üDivision euclidienne. Algorithme.
2.5 Racines d’un polynôme
üDéfinition. αest une racine de Pssi (X−α)|P.
üSi α1,...,αnsont des racines distinctes alors
n
∏
i=1
(X−αi)|P.
üUn polynôme de degré npossède au maximum nracines distinctes. Un polynôme de degré inférieur à nqui
possède (n+ 1) racines est nul. Un polynôme qui possède une infinité de racines est nul.
üApplication : si Kest infini alors l’application P7→ ˜ Pde K[X]dans F(K,K)est un morphisme d’algèbres
injectif.
üIntégrité de l’anneau des fonctions polynomiales sur un tel corps.
üGénéralisation au cas où deux fonctions polynomiales coïncident en un nombre infini de valeurs.
3 Prévisions
•Fin du chapitre.
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